高中數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何教案新課標(biāo)人教a版選修(參考版)
2025-06-10 23:19本頁面
【正文】 BGDCAFE，已知ABCD是邊長為4的正方形，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2，求點(diǎn)B到平面FEG的距離。ED1CDB1A1C1BA練習(xí)：1．如圖,在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動。圖9ADCBD1C1A1B1zxyNM應(yīng)用平面的法向量解決立體幾何問題的一般步驟是： (1)建立空間直角坐標(biāo)系并寫出相應(yīng)的點(diǎn)與向量的坐標(biāo)； (2)由法向量的定義求出平面的法向量； (3)由向量代數(shù)的有關(guān)知識判定平面的法向量與對應(yīng)向量的關(guān)系(共線、垂直、夾角及距離等)； (4)根據(jù)題目的要求得出問題的結(jié)果。B圖7a/baQPA2．求異面直線的距離 兩異面直線間的距離可先求得兩直線的公共“法向量”（即與兩直線都垂直的向量），然后在兩直線上各取一點(diǎn)，求出過這兩點(diǎn)的向量在法向量上的射影長就是兩異面直線間的距離。（1）求證：A1C⊥平面DBC1（2）求二面角B－EF－C的大小。 ：。αAPθHP圖2三、利用平面的法向量求空間角 求直線和平面所成的角。AB=2，AC=PA=1，求平面PBC的一個法向量。一、平面的法向量的定義如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量二、平面的法向量的求法在幾何體中找平面的垂線對應(yīng)的有向線段作為平面的法向量；在空間直角坐標(biāo)系中利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來求法向量。將向量引入中學(xué)數(shù)學(xué)后，既豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，拓寬了中學(xué)生的視野；也為我們解決數(shù)學(xué)問題帶來了一套全新的思想方法——向量法。j＝i＝＝(0,1,)＝(1,0,0)3. 出示例3：如圖，M、N分別是棱長為1的正方體的棱、的中點(diǎn)．求異面直線MN與所成的角．解：∵＝，＝，∴＝b＝０可以解決線段或直線的垂直問題；?、抢眯再|(zhì)acos＜a,b＞由此可以得出：cos＜a,b＞＝這個公式成為兩個向量的夾角公式．利用這個共識，我們可以求出兩個向量的夾角，并可以進(jìn)一步得出兩個向量的某些特殊位置關(guān)系：當(dāng)cos＜a、b＞＝1時，a與b同向；當(dāng)cos＜a、b＞＝－1時，a與b反向；當(dāng)cos＜a、b＞＝0時，a⊥b．3. 兩點(diǎn)間距離共識：利用向量的長度公式，我們還可以得出空間兩點(diǎn)間的距離公式：在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則，其中表示A與B兩點(diǎn)間的距離．3. 練習(xí)：已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；⑵到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z滿足的條件． （答案：(2,3)；；）說明：⑴中點(diǎn)坐標(biāo)公式：＝；⑵中點(diǎn)p的軌跡是線段AB的垂直平分平面．在空間中，關(guān)于x、y、z的三元一次方程的圖形是平面．4. 出示例5：如圖，在正方體中，求與所成的角的余弦值．分析：如何建系？ → 點(diǎn)的坐標(biāo)？ → 如何用向量運(yùn)算求夾角？ → 變式：課本P9例65. 用向量方法證明：如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行． 作業(yè)：課本P97練習(xí) 3題.（一）教學(xué)要求：向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用．掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題．教學(xué)重點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用．教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入1. 用向量解決立體幾何中的一些典型問題的基本思考方法是：⑴如何把已知的幾何條件（如線段、角度等）轉(zhuǎn)化為向量表示；?、瓶紤]一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式；?、侨绾螌σ呀?jīng)表示出來的向量進(jìn)行運(yùn)算，才能獲得需要的結(jié)論？2. 通法分析：利用兩個向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)可以解決哪些問題呢？⑴利用定義ab＝|a||b|cos＜a,b＞ ∴ ?。絙．解：略．7. 出示例：課本P94 例4 . （解略）三、鞏固練習(xí) 作業(yè)：課本P94 練習(xí)3題 .（夾角和距離公式）教學(xué)要求：掌握空間向量的長度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并會用這些公式解決有關(guān)問題．教學(xué)重點(diǎn)：夾角公式、距離公式．教學(xué)難點(diǎn)：夾角公式、距離公
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