文科一輪學(xué)學(xué)案47．正弦定理、余弦定理(參考版)
2025-06-10 19:44本頁面
【正文】 山東)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b， B＝，sin(A＋B)＝，ac＝2， 求sin A和c的值.解 在△ABC中，由cos B＝，得sin B＝，因為A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)＝.因為sin C＜sin B，所以C＜B，可知C為銳角.所以cos C＝.因此sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝＋＝.由＝，可得a＝＝＝2c，又ac＝2，所以c＝1. 17 。c.∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理，得cos A＝＝.∴sin A＝.由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4.∴S△ABC＝bctan B＝，∴sin B＝，∴B＝或.7.(2015＝3，所以BC＝.3.(2015AB＝2，且△ABC的面積為，則BC的長為( )A. B. 答案 B解析 因為S＝ABACsin A＝2AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB∴B＝30176。a＝2，b＝，則B等于( )A. B. D.答案 D解析 ∵A＝120176。DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1. 變式訓(xùn)練(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，則△ABC的形狀為( ) (2)如圖，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，則BD的長為 .答案 (1)D (2)解析 (1)∵c－acos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，∴sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，∴A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC為等腰或直角三角形.(2)sin∠BAC＝sin(＋∠BAD)＝cos∠BAD，∴cos∠BAD＝.BD2＝AB2＋AD2－2ABADsin∠CAD.因為S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得＝＝.(2)因為S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD課標全國Ⅱ)如圖，在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長.解 (1)S△ABD＝ABc＝a＋c，∴a＝cos Bsin A－sin AABcos A，化簡得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1. 考點二 和三角形面積有關(guān)的問題例2 (2015AC＝2，BC＝，則AB等于 .答案 (1)C (2)1解析 (1)若三角形有兩解，則必有a＞b，∴x＞2，又由sin A＝sin B＝＜1，可得x＜2，∴x的取值范圍是2＜x＜2.(2)∵A＝60176。.(3)因為sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，B＋Cπ，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1. 變式訓(xùn)練：(1)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45176。sin B＝，B＝30176。105176。廣東)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，＝，sin B＝，C＝，則b＝ .答案 (1)B (2)45176。山東)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b， B＝，sin(A＋B)＝，ac＝2， 求sin A和c的值.
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