正弦定理和余弦定理(參考版)
2024-11-17 04:47本頁(yè)面
【正文】 ＜C＜120176。cosC－2cos120176。∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120176。AC＝＝.在△ABC中，B＝60176。－30176。＝∠DAC，所以C＝180176。AB＝，A的角平分線(xiàn)AD＝，則AC＝______解析 由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，所以∠ADB＝45176。cosB知7＝c2＋4－2c，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(負(fù)值舍去)．∴BC邊上的高為AB則BC邊上的高等于( )A. B. C. D.解析 設(shè)AB＝c，則由AC2＝AB2＋BC2－2ABc∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc由余弦定理，得cosA＝＝，∴sinA＝.由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4，∴S△ABC＝bcDCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a－c＝b，sinB＝sinC(1)求cosA的值；(2)求cos的值．解 (1)△ABC中，由＝，及sinB＝sinC，可得b＝c，又由a－c＝b，有a＝2c，所以cosA＝＝＝(2)在△ABC中，由cosA＝，可得sinA＝于是，cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinAADsin∠CAD.因?yàn)镾△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC，由正弦定理可得＝＝.(2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2ADcosB，∵0Aπ，∴sinA0，∴sinB－cosB＝1，即sin＝，又∵0Bπ，∴－B－，∴B＝.(2)∵S＝acsinB＝，∴ac＝4，①，又∵b2＝a2＋c2－2accosB，即a2＋c2＝8.②由①②聯(lián)立解得a＝c＝2.如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng)．解 (1)S△ABD＝ABABcosA，化簡(jiǎn)得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.在△ABC中，A＝，a＝c，則＝________解析 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，將A＝，a＝c代入，可得(c)2＝b2＋c2－2bc，整理得2c2＝b2＋bc，∵c≠0，∴等式兩邊同時(shí)除以c2，得2＝2＋，可解得＝1在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為3，b－c＝2，cosA＝－，則a的值為_(kāi)_____解析 ∵cosA＝－，0＜A＜π，∴sinA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc＝3，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－224＝64，∴a＝8.解答題在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面積為3，求b的值．解 (1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝－cos2B＝sin2C.①又由A＝，即B＋C＝π，得－cos2B＝－cos2＝－cos＝sin2C＝2sinCcosC，②，由①②解得tanC＝2.(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝，co
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