【正文】 ? 本節(jié)不作為教學(xué)內(nèi)容，供有興趣的同學(xué)自學(xué)。 四、非線性約束 說(shuō)明 ? 非線性約束檢驗(yàn)是建立在最大似然原理基礎(chǔ)上的。 例 中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品人均消費(fèi)需求的鄒氏檢驗(yàn)。 ? 轉(zhuǎn)變?yōu)榧s束回歸問(wèn)題。 ? 鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)的基本思想 : ? 先用前一時(shí)間段 n1個(gè)樣本估計(jì)原模型，再用估計(jì)出的參數(shù)進(jìn)行后一時(shí)間段 n2個(gè)樣本的預(yù)測(cè)。 ? 該檢驗(yàn)也被稱為 鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn) （ Chow test for parameter stability）。 ???? ????? kk XXY ?1101110 ???? ????? kk XXY ?2110 ???? ????? kk XXY ?（ 1,2,… ， n1） （ n1+1,… ， n1+n2） 合并兩個(gè)時(shí)間序列為 ( 1,2,… ， n1 ， n1+1,… ， n1+n2 )，則可寫出如下 無(wú)約束回 歸模型 ??????????????????????????????????212121μμαβX00XYY 如果 ?=?，表示沒有發(fā)生結(jié)構(gòu)變化，因此可針對(duì)如下假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)： H0: ?=? ??????????????????????????212121μμβXXYY施加上述約束后變換為 受約束 回歸模型： 檢驗(yàn)的 F統(tǒng)計(jì)量為： )]1(2,[~)]1(2/[ /)( 2121???????? knnkFknnR S S kR S SR S SFUUR21 R S SR S SR S S U ??)]1(2,[~)]1(2/[)( /)]([ 21212121 ?????????? knnkFknnR S SR S SkR S SR S SR S SF R? 參數(shù)穩(wěn)定性的檢驗(yàn)步驟： – 分別以兩連續(xù)時(shí)間序列作為兩個(gè)樣本進(jìn)行回歸，得到相應(yīng)的殘差平方： RSS1與 RSS2 – 將兩序列并為一個(gè)大樣本后進(jìn)行回歸，得到大樣本下的殘差平方和 RSSR – 計(jì)算 F統(tǒng)計(jì)量的值，與臨界值比較。 無(wú)約束回歸 :RSSU=， kU=3 受約束回歸 :RSSR=， KR=2 樣本容量 n=22， 約束條件個(gè)數(shù) kU kR=32=1 0 3 9 )0 1 7 7 4 1 7 7 8 ( ???F二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量 ???? ????? kk XXY ?110?????? ??????? ???? qkqkkkkk XXXXY ?? 11110前者可以被看成是后者的 受約束回歸，通過(guò)約束檢驗(yàn)決定是否增加變量。 ? 可用 （ RSSR － RSSU） 的大小來(lái)檢驗(yàn)約束的真實(shí)性。 這意味著 ，通常情況下，對(duì)模型施加約束條件會(huì)降低模型的解釋能力 。 ? F檢驗(yàn) – 構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量； – 檢驗(yàn)施加約束后模型的解釋能力是否發(fā)生顯著變化。 一、模型參數(shù)的線性約束 參數(shù)的線性約束 ????? ?????? kk XXXY ?22110121 ?? ?? kk ?? ??1*11121110 )1( ?????? ???????? ??? kkkk XXXXY ?** 1133*110* ????? ?????? ?? kk XXXY ?1310 ?,?,?,? ?k???? ?12 ?1? ?? ?? 1?? ?? kk ??kkkXXXXXXXYY???????? 1*121*12*參數(shù)線性約束檢驗(yàn) ? 對(duì)所考查的具體問(wèn)題 能否施加約束？ 需進(jìn)一步進(jìn)行相應(yīng)的檢驗(yàn)。例如： – 需求函數(shù)的 0階齊次性 條件 – 生產(chǎn)函數(shù)的 1階齊次性 條件 ? 模型施加約束條件后進(jìn)行回歸 ，稱為 受約束回歸 （ restricted regression） 。 167。 – NLS不能直接處理。 ? 根據(jù)參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義和數(shù)值范圍選取迭代初值。如果差異較大，在確認(rèn)非線性估計(jì)結(jié)果為總體最小時(shí)，應(yīng)該懷疑和檢驗(yàn)線性模型。 ⒌ 非線性普通最小二乘法在軟件中的實(shí)現(xiàn) ? 給定初值 ? 寫出模型 ? 估計(jì)模型 ? 改變初值 ? 反復(fù)估計(jì) ⒍ 例題 ? 例 建立中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品消費(fèi)需求函數(shù)模型。 ? 與高斯－牛頓迭代法的區(qū)別 – 直接對(duì)殘差平方和展開臺(tái)勞級(jí)數(shù)，而不是對(duì)其中的原模型展開； – 取二階近似值，而不是取一階近似值 。 )/l n ()/l n ()?l n ( 010 PPPXQ ???三、非線性最小二乘估計(jì) ⒈ 普通最小二乘原理 y f xi i i? ?( , )? ?S y f xi iin( ? ) ( ( , ? ))? ?? ??? 21dSdy f xdf xdi iiin? ( ( ,? )( ( ,? )? )? ???? ? ?????2 01( ( , ? )( ( ,? )? )y f xdf xdi iiin? ??? ? ??10殘差平方和 取極小值的一階條件 如何求解非線性方程？ ⒉ 高斯－牛頓 (GaussNewton)迭代法 ? 高斯－牛頓迭代法的原理 對(duì)原始模型展開臺(tái)勞級(jí)數(shù)，取一階近似值 f x f x df xdi i i( , ? ) ( , ? ) ( ,? )? ( ? ? )( ) ? ( )( )? ??? ? ??? ? ?0 00z df xdi i( ? ) ( ,? )?????S y f x zi i iin( ? ) ( ( , ? ) ( ? )( ? ? ) )( ) ( ) ( )? ? ? ? ?? ? ? ??? 0 0 012? ? ? ??? ( ( , ? ) ( ? ) ? ( ? ) ? )( ) ( ) ( ) ( )y f x z zi i i iin? ? ? ? ?0 0 0 012? ??? ( ~ ( ? ) ( ? ) ? )( ) ( )y ziini? ? ?0102 構(gòu)造并估計(jì)線性偽模型 iii zy ???? ?? )?()?(~ )0()0(構(gòu)造線性模型 S y ziini(? ) ( ~ ( ? ) ( ? ) ? )( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ?1 010 12? ???估計(jì)得到參數(shù)的第 1次迭代值 ?( )?1迭代 ? 高斯－牛頓迭代法的步驟 第一步：給出參數(shù)估計(jì)值 ??的初值?( )? 0，將f x i( , ? )?在?( )? 0處展開臺(tái)勞級(jí) 數(shù)， 取一階近似值； 第二步：計(jì)算 zdf xdii?( , ? )? ? ( )??? 0和 ~ ( , ? ) ?( ) ( )y y f x zi i i i? ? ? ?? ?0 0的樣本觀測(cè)值； 第三步：采用普通最小二乘法估計(jì)模型 iii zy ?? ??~，得到?的估計(jì)值?( )? 1； 第四步：用?( )? 1代替第一步中的?( )? 0，重復(fù)這一過(guò)程，直至收斂。 X：人均消費(fèi) X1：人均食品消費(fèi) GP：居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù) FP：居民食品消費(fèi)價(jià)格指數(shù) Q：人均食品消費(fèi)（ 90年價(jià)） P0：居民消費(fèi)價(jià)格縮減指數(shù)（ 1990=100） P1：居民食品消費(fèi)價(jià)格縮減指數(shù)（ 1990=100） 表 3 . 中國(guó)城鎮(zhèn)居民消費(fèi)支出及價(jià)格指數(shù) （ 單位：元 ） X ( 當(dāng)年價(jià) ) 1X ( 當(dāng)年價(jià) ) GP ( 上年 = 1 0 0 ) FP ( 上年 = 1 0 0 ) Q (2 0 0 0 年價(jià) ) 0P (2 0 0 0 年 = 1 0 0 ) 1P (2 0 0 0 年 = 1 0 0 ) 1985 1 1 1. 9 1 1986 1987 1 1988 1 104. 0 1989 121 1. 0 1 1 1990 1991 1992 1 1993 21 10. 8 1 1 1994 1995 3537 .6 1 1996 1 1997 1 1998 1999 2022 1971. 3 2022 2022 2022 2022 1 2022 101 .6 1 2022 31 1 1 .9 ? 按（ ***）式估計(jì) )l n ()l n ()l n ()?l n ( 01 PPXQ ????具體解釋估計(jì)結(jié)果及其經(jīng)濟(jì)含義。 零階齊次性 ，當(dāng)所有商品和消費(fèi)者貨幣支出總額按同一比例變動(dòng)時(shí)，需求量保持不變 )/,/( 010 PPPXfQ ?(*) (**) 為了進(jìn)行比較，將同時(shí)估計(jì)（ *）式與（ **）式。 如取 0階 、 1階 、 2階項(xiàng) ， 可得 22121 ln21lnlnlnln???????? ??????????LKmLmKmAY ?????二、可化為線性的非線性回歸實(shí)例 例 建立中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品消費(fèi)需求函數(shù)模型。 ? 但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過(guò)一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從而可以運(yùn)用線性回歸模型的理論方法。 回歸模型的其他函數(shù)形式 一、模型的類型與變換 二 、 非線性回歸實(shí)例 三、非線性最小二乘估計(jì) 說(shuō) 明 ? 在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系是復(fù)雜的，直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。 多元線性回歸模型的預(yù)測(cè) 一、 E(Y0)的置信區(qū)間 二、 Y0