【正文】 以權(quán)重為 的資金投資于證券組合 A，權(quán)重為 的資金投資證券組合 B，權(quán)重為 的資金投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn) rf , 12( 0 , 1 )BB????1w? 2w?1Awx ?? 2Bwx ??121f w 。 W的風(fēng)險(xiǎn)因子（即關(guān)于共同因子的敏感度）分別為 與 ，期望收益率為 E（ rw） .下面我們分析說(shuō)明這種情況在市場(chǎng)均衡狀態(tài)下是不可能存在的。使用同樣的方法，可以構(gòu)造一個(gè) “ 純因子 ” F2的充分分散證券組合 B , 它位于圖中的 B點(diǎn)。 構(gòu)造純因子組合是能實(shí)現(xiàn)的 ， 因?yàn)榭晒┻x擇的證券數(shù)眾多而共同因子的個(gè)數(shù)相對(duì)來(lái)說(shuō)少得多 。 21 1 2 2()p p P pr E r F F??? ? ?2 2 2 2 21 1 2 2P p F p F? ? ? ? ???1 1 2 2,p Q p Q? ? ? ???八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 其次 ， 充分分散證券組合期望收益率與其 β之間存在線(xiàn)性關(guān)系 . 如果影響共同因子有 n個(gè) 1 2 2()p f p pE r r ? ? ? ?? ? ?1 1 2 2)p f n nE r r ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ?（八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 因子套利定價(jià)模型推導(dǎo) 我們先引入 “ 純因子 ” 組合的概念 。 C提供風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率低于 P. 如果以 1/2 P與 1/2 rf構(gòu)成 D組合 ， D的 β值 與 ErD為： 11 022PB? ? ????八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 可見(jiàn)： D與 C有相同 β值 ， 但期望收益率高于 C， 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利存在在市場(chǎng)均衡下 ， 所有組合必須位于直線(xiàn) ， 該直線(xiàn)為： 這就是 充分分散投資組合的 單指數(shù)套利定價(jià)模型 . 代表單位風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬 。 結(jié)論 1：在市場(chǎng)均衡狀態(tài)下 ， 相同值的充分分散證券組合必須有相同收益率 ， 否則無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)存在 。 構(gòu)造零組合 ，其凈收益額為 : [(+1*F)（ +1*F） ] 100萬(wàn) =2（ 萬(wàn)元 ） 該組合 β 值為零 系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)為零 ， 由于都是充分分散 組合 ， 非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)消除 。 由于套利 ， P與 B不能同時(shí)并存 。 ir八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 充分分散投資組合的 ， 在 n不斷增大時(shí) 趨于零 ， （ 以 ） 這時(shí) , 轉(zhuǎn)換為： 下圖 β 值為 1的充分分散的組合 P與單個(gè)證券 Q收益率與共同因子的關(guān)系圖。 八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 同一資產(chǎn)在不同市場(chǎng)上存在的價(jià)格差異而形成套利容易理解 . 以下看一個(gè) 同一市場(chǎng)不同品種間套利的例子 . 各證券在不同環(huán)境下的收益率（ %） 高通脹 低通脹 高利率水平 低利率水平 高利率水平 低利率水平 概率（ P） A 20 40 20 60 B 0 30 70 20 C 90 10 20 70 D 15 15 23 36 八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 收益率統(tǒng)計(jì)表 股票 現(xiàn)價(jià)（元） 期望收益率（ %） 標(biāo)準(zhǔn)差（ %） 相關(guān)系數(shù) A B C D A 10 25 B 10 20 C 10 D 10 八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 將 A、 B、 C組合成 T與股票 D比較 在不同環(huán)境下 T與 D的收益率（ %） 高通脹 低通脹 高利率水平 低利率水平 高利率水平 低利率水平 投資組合 T 20 股票 D 15 15 23 36 綜合考察投資組合 T股票 D的期望收益率與標(biāo)準(zhǔn)差，顯然， T優(yōu)于 D. E(rT)= ρTD= E(rD)= ? ?8 .5 8D? ?八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 可作零投資組合套利 . 股票 投資額（萬(wàn)元） 高通脹 低通脹 高利率水平 低利率水平 高利率水平 低利率水平 A 100 20 40 20 60 B 100 0 30 70 20 C 100 90 10 20 70 D 300 45 45 69 108 零投資組合 0 25 15 1 2 八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 (二 ) 單因子套利定價(jià)模型 如果各證券收益率只受一個(gè)共同因子 F的影響 ， 不需要知道這一因子是什么 ， 那么證券 i的收益率可以表示為： i i i ir r b F e? ? ?式中： ri表示證券 i的未來(lái)收益率； 代表證券 i的期望收益率； F為對(duì)各證券都有影響的共同因子； bi是某證券 i收益率對(duì) F因子的敏感程度，也叫風(fēng)險(xiǎn)因子 公式中各參數(shù)滿(mǎn)足以下條件： E(F)=0， E(ei)=0 , cov(ei， F)=0， cov(ei， ej)=0 套利定價(jià)模型和指數(shù)模型形式上相似 ， 但它們實(shí)質(zhì)是不同的 。 套利定價(jià)模型就是要說(shuō)明通過(guò) 套利均衡價(jià)格 是如何形成的 ,是從套利者的角度出發(fā)，考察市場(chǎng)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)而達(dá)到均衡時(shí)各證券及證券組合的定價(jià)關(guān)系。其次又指同一市場(chǎng)不同品種間套利 . 大量套利者利用不合理的定價(jià)套利就會(huì)打破原先的供需格局，使價(jià)格發(fā)生波動(dòng)，差價(jià)逐漸消失，相應(yīng)的證券就在均衡價(jià)格處獲得一種平衡。 1976年，羅斯在指數(shù)模型基礎(chǔ)上發(fā)展了資本資產(chǎn)定價(jià)理論，提出了套利定價(jià)理論 (the arbitrage pricing theory，簡(jiǎn)記為 APT)，該理論是能用經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)加以檢驗(yàn)的。我們面臨著復(fù)雜多變的環(huán)境，各種因素往往交互作用，互相影響，個(gè)別因素可能難以達(dá)到對(duì)世界精確的描述。 122 2 2 2 2 2 2 212ni i F i F in F ib b b e? ? ? ? ?? ? ? ? ?21 knij ik jk Fkbb???? ?1 1 nPnP P P Pr a b F b F e? ? ? ? ?2 2 2 21 j j PkP P F ejb? ? ????? jn2 2 2p i iji1b x b?? ? pin2 2 2e i ei1 x??????八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 在按單指數(shù)模型確定收益率時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)各證券收益率殘差間的協(xié)方差基本為零，由此而產(chǎn)生的誤差超出了允許的范圍，則應(yīng)該修正原單指數(shù)模型，引入第二種因素。 八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 在作了以上假設(shè)后 ， 可以求出證券的期望收益率 、 方差和協(xié)方差 。 但是 ， 只要做一定的數(shù)學(xué)處理 ， 就 可以剔除因素之間的相互影響 ， 最后可以使公式中的各因數(shù)之間不再相 關(guān) 。 八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 三 、 多指數(shù)模型 單指數(shù)模型一般只能近似地反映證券間的關(guān)聯(lián)性，要準(zhǔn)確反映證券收益率的多類(lèi)影響因素，就必須引入多種變量。 CAPM可以看成是單一因素 rM的指數(shù)模型，兩模型參數(shù)之間存在以下關(guān)系： ai=rf、 bi=β i和 __MFr? 應(yīng)當(dāng)指出的是，不能把一般單指數(shù)模型中的 bi同 CAPM中 的 β 系數(shù)等同，它們各有其定義背景和使用環(huán)境， β i只是 bi 中的一個(gè)特例， rM也只是 F的一個(gè)特例。 2ij i j Fbb??? ( ) ( )i i iE r a b E F??2 2 2 2i i F e ib? ? ???八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 對(duì)證券投資組合 P來(lái)講，組合的收益率為： 1 1 1n n nP i i i i ii i iP P PR x a x b F x ea b F e? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?np i ii1a x a???np i ii1b x b???np i ii1e x e???式中： 同理也可以得到投資組合的風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)成： 當(dāng)投資相當(dāng)分散時(shí)，有理由認(rèn)為非因素風(fēng)險(xiǎn)會(huì)降到很小 ，可忽略 2 2 2 2P P F Pbe? ? ??? np i ii1b x b???in2 2 2p i ei1ex???? ?Pe八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 單指數(shù)模型建立 t t tr a bGDP e? ? ? 年份 證券收益率 (%) GDP增長(zhǎng)率 (%) 1 2 3 4 5 6 八 .指數(shù)模型 與套利定價(jià)模型 利用表中的數(shù)據(jù) ， 用最小二乘法求出證券收益率公式中的系數(shù) a和 b， 也可以通過(guò)圖形擬合出直線(xiàn)方程 ， 如圖所示 。 這種由單個(gè)因素所確定的收益模型就是單指數(shù)模型或稱(chēng)之為單因素模型 ，可表示為： i i i ir a b F e? ? ? F因素可以是各種宏觀因素 ， 如國(guó)民生產(chǎn)總值 、 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng) 率和通貨膨脹率等； bi為證券 i對(duì)這種因素的敏感系數(shù)； ai為基 本收益率 ， 也稱(chēng)作零因素； ei為隨機(jī)誤差項(xiàng) ， 期望值為 0。 盡管未來(lái)會(huì)發(fā) 生一些對(duì)企業(yè)有影響的事件 ， 但它們對(duì)企業(yè)收益率只會(huì)有隨機(jī)影響 ， 相當(dāng)于隨機(jī)誤差 ， 其期望值也就為零 。 2. 宏觀因素和微觀因素不相關(guān) ， 即 cov(ei， RM)=0。證券的基本收益率記作 α i，表示證券收益率獨(dú)立于市場(chǎng)的部分 ， bi為單個(gè)證券對(duì)宏觀因素的敏感系數(shù) ,于是得到： ri=α i+biRi+ei 對(duì)指數(shù)模型作如下假定： 1. 證券間影響不相關(guān) ， 即 cov(ei， ej)=0。 單個(gè)證券的收益率的影響來(lái)自 3方面：宏觀因素方面、微觀因素方面和基本收益率。 一 、 指數(shù)模型的假定條件 指數(shù)模型并不通過(guò)計(jì)算證券間的協(xié)方差來(lái)考慮證券間的關(guān)聯(lián)性 ， 而是認(rèn)為證券之間之所以存在關(guān)聯(lián)性 ， 是因?yàn)榇嬖谀承┕餐囊蛩刈饔?。 但是在單指數(shù)模型中 ， 相應(yīng)只需估計(jì) n種證券的敏感系數(shù) bi收益率殘差方差 σ 2(ei)和市場(chǎng)證券組合方差 σ 2M 共 2n+1個(gè)數(shù)據(jù) ， 威廉 如果證券組合內(nèi)的證券種類(lèi)較多 ， 計(jì)算量則相當(dāng)大 。 以 rM —rf 為橫軸， ri —rf縱軸，形成坐標(biāo)，描繪兩者關(guān)系為特征線(xiàn)。 rA: 預(yù)期收益率 。 SML M E β E（ r） E（ rF） E（ rM） E（ rF） rf βE= βM=1 βF= 0 SML M E F E（ r） E（ rF） E（ rM） E（ rF） бIm〈 бM2 бIm=бM2 бImбM2 бiM бMM бM2 бM2 бM2 七、證券市場(chǎng)線(xiàn)與證券特征線(xiàn) ② 非均衡定價(jià) SML A M B βi βA βM βB F r rBe rA rM rAe rB rf 在 βA 相同情況下 rA — rAe 0 ，表示 A證券被低估，大量被買(mǎi)入，收益率下降，價(jià)格上升