【正文】 下面進行證明。待計算出所需結(jié)果之后，再引入反變換 ,將新系統(tǒng)變回原來的狀態(tài)空間中去，獲得最終結(jié)果。 1 線性系統(tǒng)的非奇異線性變換及其性質(zhì) （ 1） 非奇異線性變換 先看一個 RLC網(wǎng)絡(luò)例子： 五 線性定常系統(tǒng)的線性變換 12, ,Cx i x u??選擇狀態(tài)變量： R L C i(t) u (t) uc(t) ? ? ?????????????????????????????? ??????????2121211001011xxyuLxxCLLRxx??12, ,x i x id t?? ?選擇狀態(tài)變量： ???????????????????????????????????? ??????????2121211001011xxCyuLxxLCLRxx??12, ,Cx i x u??選擇狀態(tài)變量： 12, ,x i x id t?? ?選擇狀態(tài)變量： 1 1 2 21, x x x xC??11221010xxxxC??? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ???x Px?P為非奇異變換矩陣 x A x B uy Cx D u????x Px?考慮系統(tǒng)： 取非奇異線性變換 ： P x A P x B uy CP x D u? ??? ???11.x P A P x P B uy CP x D u??? ??? ????11, , A P A P B P BC C P D D????x A x B uy C x D u? ??????整理得： 其中： 線性變換的目的在于使系統(tǒng)規(guī)范化，以便于揭示系統(tǒng)特性，簡化分析、計算與設(shè)計，在系統(tǒng)建模，可控性、可觀測性、穩(wěn)定性分析、系統(tǒng)綜合設(shè)計方面特別有用。為了便于分析與設(shè)計，需要對動態(tài)方程進行規(guī)范分解。 ? 所以當(dāng) T?2k?/Im[?i?j]=k? k=1,2,3,…… 時 ,離散化系統(tǒng)才狀態(tài)完全可控和完全可觀。 3. 如果連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控 (可觀 )且存在共軛復(fù)數(shù)特征值 ,則其離散化系統(tǒng)狀態(tài)完全可控 (可觀 )的充分條件為 : ? 對于所有滿足 Re[?i?j]=0的 A的特征值 ?i和 ?j應(yīng)滿足 T?2k?/Im[?i?j] k=1,2,3,…… 其中符號 Re和 Im分別表示復(fù)數(shù)的實數(shù)部分和虛數(shù)部分。 ??????xyuxCBAx?經(jīng)精確離散化的狀態(tài)空間模型為 ???????)()()()()1(kCkkHkGkxyuxx其中 ? 對離散化系統(tǒng)的狀態(tài)可控性 /可觀測性與原連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可控性 /可觀測性以及采樣周期 T的選擇的關(guān)系有如下結(jié)論 : ? 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 ??? T AtAT tBHG 0 dee? 則連續(xù)系統(tǒng) ?(A,B,C)和其離散化系統(tǒng) ?(G,H,C)兩者之間的狀態(tài)可控性和可觀測性關(guān)系為 : 1. 如果連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控 (不完全可觀 ),則其離散化系統(tǒng)必是狀態(tài)不完全可控 (不完全可觀 )的 。 ? 若取 T?k?(k=1,2,…), 即 sinT?0,cosT??1,則有 |Qc|=sinT(sin2Tcos2T+2cosT1)=2sinT(cosT1)?0 |Qo|=sinT?0 即 Qc和 Qo均為滿秩矩陣 ,則此時離散化系統(tǒng)狀態(tài)完全可控又完全可觀。 ? 可控性矩陣和可觀測性矩陣為 : ? 由于系統(tǒng)矩陣 G非奇異矩陣 ,故由定理 412和定理 413可知 , ? 離散化系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控和完全可觀的充分必要條件為可控性矩陣 Qc和可觀測性矩陣 Qo均滿秩。 ? 例 ： 判斷如下線性定常連續(xù)系統(tǒng)離散化后的狀態(tài)可控性和可觀測性。 xyux]10[010110?????????????????x?? 解 1. 求原連續(xù)系統(tǒng)的可控性和可觀測性。 )(001100)()(203120101)1(kkkkxyxx?????????????????????? 例 ： 試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性 ? 解 由狀態(tài)可觀測性判據(jù)有 nCGCGCQ o ??????????????????????????? 2311201000000291310r a n kr a n kr a n k2? 系統(tǒng)不完全可觀測 ?3 連續(xù)動態(tài)方程離散化后的可控性和可觀測性 ? 這里所要討論的線性定常連續(xù)系統(tǒng)離散化后的狀態(tài)可控性 /可觀測性問題 ,是指 : 1. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)離散化后是否仍能保持其狀態(tài)可控性 /可觀測性 ? 2. 離散化系統(tǒng)可控性和可觀測性與原連續(xù)系統(tǒng)的可控性 /可觀測性之間的關(guān)系 ? ? 該問題是計算機控制中一個十分重要的問題。 ? 由線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的求解公式 ,可得 y(0)=Cx(0) y(1)=Cx(1)=CGx(0) …… y(n1)=Cx(n1)=CGn1x(0) ? 將上述 n個方程寫成矩陣的形式 ,有 ? 因此 ,由線性方程的解存在性理論可知 ,無論輸出向量的維數(shù)是否大于 1,上述方程有 x(0)的唯一解的充分必要條件為 ? rankQo=n ? 由可觀測性的定義可知 ,上式亦為線性定常離散系統(tǒng)?(G,C)狀態(tài)完全可觀的充要條件。 ? 對線性定常離散系統(tǒng) ,存在與線性定常連續(xù)系統(tǒng)在形式上完全一致的狀態(tài)可觀測性判據(jù)。 ? 定義： 若線性時變離散系統(tǒng) ??????)()()()()()1(kkCkkkGkxyxx ? 在線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性定義中 ,只要求以在 n個采樣周期內(nèi)采樣到的輸出來確定系統(tǒng)的狀態(tài)。 ? 若對狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都可觀 ,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀 ,簡稱為系統(tǒng)可觀。 ? 下面我們先引入線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)可觀測性的定義。 rank[H GH … Gn1H]=rank[H GH … Gn1H Gnx(0)] ? 當(dāng)系統(tǒng)矩陣 G滿秩時 ,顯然有 ? rankGn=n ? 因此 ? rank[H GH … Gn1H Gn]=n 所以由結(jié)論 1可知 ,在系統(tǒng)矩陣 G滿秩時 ,系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件為 ? rankQc=rank[H GH … Gn1H]=n 注意： ? 若離散系統(tǒng)可控，則經(jīng) n個采樣周期一定可以到達狀態(tài)空間原點，即 x(n)=0； ? 若離散系統(tǒng)可控，由任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點一般也可以少于 n個采樣周期 ? rankQc=rank[Qc Gn] )(01)(00 10)1( kkk uxx ???????????????? 解 由線性定常離散系統(tǒng)的可控性矩陣的定義有 100 01r a n k]r a n k [r a n k ????????? GHHQ c但 10000 0001r a n k]r a n k [ 2 ????????GQ c因此 rankQc=rank[Qc G2] 由定理的結(jié)論 2可知 ,該系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。 ? 故在上述定義中 ,只要求系統(tǒng)在 n步之內(nèi)尋找控制作用。 ? 在上述狀態(tài)可控性定義中 ,只要求在 n步之內(nèi)尋找控制作用 ,使得系統(tǒng)狀態(tài)在第 n步上到達原點。 ? 若狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都可控 ,則稱系統(tǒng)狀態(tài)完全可控 。 ? 由于線性連續(xù)系統(tǒng)只是線性離散系統(tǒng)當(dāng)采樣周期趨于無窮小時的無限近似 ,所以 ? 離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性 /可觀測性的定義與線性連續(xù)系統(tǒng)的極其相似 , ? 可控性 /可觀測性判據(jù)則在形式上基本一致。 ? 傳遞函數(shù)描述的只是可控又可觀測部分； ? 傳遞函數(shù)中消去的極點對應(yīng)于不可控或不可觀測模態(tài)。 ? 對單輸出系統(tǒng)， c(sIA) 1無零極點對消是系統(tǒng) 完全可觀測 的 充要條件。 2. 缺點為需變換成標(biāo)準(zhǔn)形 1. 易于分析哪些特征值 (極點 )可觀測。 ? 可觀測性判據(jù)小結(jié) 判定方法 特點 判據(jù) 代數(shù)判據(jù) 規(guī)范性判據(jù) PBH秩判據(jù) 可觀測性矩陣 Qo滿秩 約旦標(biāo)準(zhǔn)形中同一特征值對應(yīng)的 C矩陣分塊的第一列線性無關(guān) 對于所有特征值 ? , rank[?IA? C?]=n 1. 計算簡便可行。 xyx]154[6116100010???????????????x?? 解 由方程 |?IA|=0,可解得矩陣 A的特征值分別為 1,2和 3。 ? 解 由于 A中特征值 4的兩個約旦塊所對應(yīng)的 C的分塊的第一列線性相關(guān) ,該系統(tǒng)的狀態(tài) x1,x2和 x4不完全可觀測 ,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全可觀測。 x3yx]0[5007)1(??????????x?? 解 由定理 48可知 ,A為特征值互異的對角線矩陣 ,但 C中的第 2列全為零 ,故該系統(tǒng)的狀態(tài) x2不可觀測 ,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全可觀測。 ? 這對于進行系統(tǒng)分析、狀態(tài)觀測器和反饋校正是非常有幫助的。 2) 若 A為某個特征值有多于一個約旦塊的約旦矩陣 ,則系統(tǒng)可觀測的充要條件為 ? 對應(yīng) A的每個特征值的所有約旦塊的 C的分塊的第一列線性無關(guān) 。 ? 對角規(guī)范型判據(jù)： 對為對角規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng)?(A,C), 有： 1) 若 A的所有特征值互異 ,則系統(tǒng)可觀測的充要條件為： ? C中不包含元素全為 0的列； 2) 若 A有重特征值 ,則系統(tǒng)可觀測的充要條件為： ? 重特征值對應(yīng)的 C中的列線性無關(guān)。 ? 根據(jù)輸出方程解的表達式 ,有 y(t)=CeAtx(0) ? 由可觀測性的定義可知 ,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)是否完全可觀測 ,等價于上述方程是否有 x(0)的唯一解問題。 3. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性判據(jù) ? 線性定常連續(xù)系統(tǒng) ?(A, C) 可觀測性判據(jù)有許多不同形式 ,包括 ? 格拉姆矩陣判據(jù) ? 秩判據(jù) ? 模態(tài)判據(jù) ( ) ( )( ) ( )x t Ax ty t C x t??（ 1）格拉姆矩陣判據(jù) ? 線性定常連續(xù)系統(tǒng) ?(A,C) 完全可觀測的充要條件為 :存在t1(t10),使得如下可觀測格拉姆 (Gram)矩陣為非奇異的 11 0( 0 , ) dTt A t T A tM t e C C e t? ?（ 2）秩判據(jù) ? 線性定常連續(xù)系統(tǒng) ?(A,C) 完全可觀測的充要條件為 : 定義如下的可觀測性矩陣 滿秩 ,即 rankQo=n ??????????????1...noCACACQ ? 證明 對于線性定常系統(tǒng) ,由可觀測性定義可知 ,其狀態(tài)可觀測性與初始時刻無關(guān)。由于 mn,為了能唯一地求出狀態(tài)變量的值 ,不得不依靠在一定區(qū)間內(nèi)測量得的連續(xù) (或有限幾組 )輸出值以確定系統(tǒng)狀態(tài)。 這是因為 ,輸出變量 y(t)的維數(shù) m一般總是小于狀態(tài)變量 x(t)的維數(shù) n。 ,由于系統(tǒng)矩陣 A(t)和輸出矩陣 C(t)都為常數(shù)矩陣 ,與時間無關(guān) , ? 因此不必在定義中強調(diào)“ 在所有時刻狀態(tài)完全可觀測 ” ,而為“ 某一時刻狀態(tài)完全可觀測 ,則系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測 ”。若存在某個狀態(tài) x(t0) 不可觀測，稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全可觀測的 ,簡稱系統(tǒng)為狀態(tài)不可觀測。 000() Φ ( ) ( ) Φ ( ) ( ) dttt C t t t C t τ B τ τ? ? ? ??y x u? 定義： 若線