【正文】 ：了解對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，正交相似變換矩陣 將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣；：正交相似變換矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣；：正交相似變換矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣1. 教學(xué)內(nèi)容：對(duì)稱矩陣的對(duì)角化2. 時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；3. 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4. 教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示. 授課內(nèi)容 基本內(nèi)容備注　第四節(jié) 對(duì)稱矩陣的相似矩陣定理5 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù). 于是有 兩式相減，因?yàn)?p≠0, 定理6 依次是它們對(duì)應(yīng)的特征向量. 則與正交.證明 由已知有 左乘（2）式的兩端得因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣，所以 于是即 p1與 p2 正交.定理 7 設(shè)為階對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣,使，是以的個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣.它們的重?cái)?shù)依次為于是, .根據(jù)定理 5及定理 7 知，恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)特征向量, 把它們正交單位化，即得個(gè)單位正交的特征向量, .由. 知這樣的特征向量恰有個(gè). 又實(shí)對(duì)稱矩陣不等的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交( 根據(jù)定理6 )。復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：方陣可對(duì)角化的條件？ P138 14作業(yè)題: P138 7，8，10，12，15實(shí)施情況及分析，大部分學(xué)員掌握了特征值與特征向量的概念....第（17）次課 授課時(shí)間（ ）教學(xué)章節(jié)第五章第4節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書1.《線性代數(shù)》(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2. 同濟(jì)大學(xué) 胡一鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》。2 例1中的 3 階矩陣 只有 2 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以它不可能與對(duì)角矩陣相似.167。1. 教學(xué)目的：掌握特征值與特征向量的概念，計(jì)算特征值與特征向量的方法； 掌握相似矩陣的概念、主要性質(zhì)及矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件； 2. 教學(xué)重點(diǎn): 計(jì)算特征值與特征向量的方法,矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件；3. 教學(xué)難點(diǎn): 計(jì)算特征值與特征向量的方法, 矩陣與對(duì)角矩陣相似的條件.1. 教學(xué)內(nèi)容: 方陣的特征值與特征向量，相似矩陣2. 時(shí)間安排: 2小時(shí)；3. 教學(xué)方法：講授。(4)正交變換把標(biāo)準(zhǔn)正交基仍變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基.例 7. 與都為正交變換.若線性變換為正交變換，回顧和小結(jié)小 結(jié)：、向量長(zhǎng)度、夾角的概念..，施米特正交化公式.復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：向量的正交、線性無(wú)關(guān)之間關(guān)系？作業(yè)題：P138 1（2），2，3實(shí)施情況及分析，大部分學(xué)員掌握了向量的內(nèi)積、向量長(zhǎng)度、夾角的概念；.，能夠運(yùn)用施米特正交化公式將線性無(wú)關(guān)的向量組規(guī)范正交化第（16）次課 授課時(shí)間（ ）教學(xué)章節(jié)第五章 第3節(jié)學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教材和參考書1.《線性代數(shù)》(第四版)同濟(jì)大學(xué)編；2. 同濟(jì)大學(xué) 胡一鳴編《線性代數(shù)輔導(dǎo)及習(xí)題精解》。(2)正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變(保距性)。2. ；3. ?！毒€性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)與典型例題解析》。8. 教學(xué)手段:板演與多媒體相結(jié)合. 基本內(nèi)容備注 第五節(jié) 向量空間定義6 設(shè)是維向量的集合，如果集合非空，且對(duì)任意 和任意實(shí)數(shù)，都有那么稱集合為向量空間.例1. 3維向量的全體是一個(gè)向量空間, 由單個(gè)零向量組成的集合也是一個(gè)向量空間.例 2. 集合是一個(gè)向量空間.例 3. 集合不是向量空間.定義 7 設(shè)有向量空間及,若就稱是的子空間.定義 8 設(shè)為向量空間，如果個(gè)向量且滿足 1 線性無(wú)關(guān)；2 中任意向量都可由線性表示.那么，向量組就稱為的一個(gè)基，稱為向量空間的維數(shù)，并說(shuō)是維向量空間. 例1中的維數(shù)為 3 ，因?yàn)椋?的一個(gè)基.例2中V 的維數(shù)為,因?yàn)槭撬囊粋€(gè)基.事實(shí)上，維向量空間中的個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量就可以組成它的一個(gè)基.如果向量是向量空間的一個(gè)基, 則例4. 設(shè)，問(wèn)是否為向量空間？若是向量空間，試求出它的一個(gè)基和它的維數(shù).解：因?yàn)?，?duì)任意的和任意的，都有. 所以，是向量空間. 因?yàn)橄蛄烤€性無(wú)關(guān)，且每個(gè)，都可由表示為，所以向量組是的一個(gè)基. 是 1維向量空間.回顧和小結(jié)小 結(jié)：，向量空間的基與維數(shù)的概念..復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題思考題：向量組的秩與向量空間的基關(guān)系？作業(yè)題：P112 36，39，40實(shí)施情況及分析，大部分學(xué)員掌握了解向量空間以及向量空間的基與維數(shù)的概念；；?！毒€性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)與典型例題解析》。作業(yè)題：P110 22（1），（3），29，33實(shí)施情況及分析，大部分學(xué)員掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)和基礎(chǔ)解系的概念；會(huì)求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解.。4. 教學(xué)手段:板演與多媒體相結(jié)合?！毒€性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)與典型例題解析》。了解向量組的相關(guān)性的判定定理、向量組的秩概念以及求法；2. 對(duì)向量組的線性相關(guān)性的判定方法以及向量組的秩求法方面有待加強(qiáng)。回顧和小結(jié)；； ； 。,且它們的秩相等,證明向量組與向量組等價(jià)。又因?yàn)榈乃膫€(gè)分量顯然不成比例,故 線性無(wú)關(guān),從而是的最大無(wú)關(guān)組,。的全體解向量構(gòu)成的向量組為,求的秩。于是 是向量組 的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。只含零向量的向量組沒有最大無(wú)關(guān)組,規(guī)定它的秩為0。 (2) 不能由線性表示. 證明 (1) 因線性無(wú)關(guān), 由定理5(1)知線性無(wú)關(guān), 而線性相關(guān), 由定理5(3)知能由線性表示. (2)用反證法. 若能由線性表示, 由(1)知能由線性表示, 故能由線性表示, 與線性無(wú)關(guān)矛盾.第三節(jié) 向量組的秩一、最大無(wú)關(guān)組與向量組的秩定義5設(shè)有向量組,如果在中能選出 個(gè)向量滿足（1）向量組：線性無(wú)關(guān), （2）向量組中任意個(gè)向量（如果有個(gè)向量的話）都是線性相關(guān)的； 那末稱是向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)向量組,簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組。 因?yàn)榫仃嚨牧邢蛄拷M線性無(wú)關(guān), 所以可推知. 又因, 知方程只有零解 所以矩陣的列向量組線性無(wú)關(guān). 證三 把已知條件合寫成 , 記作. 因?yàn)椋?知可逆, 根據(jù)上章所述矩陣的性質(zhì)4知 . 因?yàn)榈牧邢蛄拷M線性無(wú)關(guān), 根據(jù)定理4知, 從而, 定理4知的列向量線性無(wú)關(guān), 即線性無(wú)關(guān). 本例給出三種證法, 這三種證法都是常用的. 證明一的關(guān)鍵步驟是: 按定義4把證明向量線性無(wú)關(guān)轉(zhuǎn)化為證明齊次線性方程沒有非零解；證明二的證明過(guò)程與證明一相同, 只是在敘述時(shí)改用矩陣形式；證明三也采用矩陣形式, 并用了矩陣的秩的有關(guān)知識(shí), 還用了定理4, 從而可以不涉及線性方程而直接證得結(jié)論. 線性相關(guān)是向量的一個(gè)重要性質(zhì), 下而介紹與之有關(guān)的一些簡(jiǎn)單的結(jié)論. 定理5 (1)若向量組線性相關(guān), 則向量組也線性相關(guān). 反之, 若向量組線性無(wú)關(guān), 則向量組也線性無(wú)關(guān). (2) 個(gè)維向量組成的向量組, 當(dāng)維數(shù)小于向量個(gè)數(shù)時(shí)一定線性相關(guān). 特別地, 個(gè)維向量一定線性相關(guān). (3)設(shè)向量組線性無(wú)關(guān), 而向量組線性相關(guān), 則向量必能由向量組線性表示, 且表示式是唯一的. 證明 這些結(jié)論都可利用定理4來(lái)證明. (1) 記，, 有. 若向量組線性相關(guān), 則根據(jù)定理4, 從而, 因此根據(jù)定理4知向量組線性相關(guān). 結(jié)論(1)是對(duì)向量組增加1個(gè)向量而言的, 增加多個(gè)向量結(jié)論也仍然成立. 即設(shè)向量組是向量組的一部分(這時(shí)稱組是組的部分組), 于是結(jié)論(1)可一般地?cái)⑹鰹? 一個(gè)向量組若有線性相關(guān)的部分組, 則該向量組線性相關(guān). 特別地, 含零向量的向量組必線性相關(guān). 一個(gè)向量組若線性無(wú)關(guān), 則它的任何部分組都線性無(wú)關(guān). (2) 個(gè)維向量構(gòu)成矩陣, 有 . 若 , 則, 故個(gè)向量線性相關(guān). (3)記， 有. 因組線性無(wú)關(guān), 有。 向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是. . 解: 維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成的矩陣為, 是階單位矩陣. 由, 知, 即等于向量組中向量個(gè)數(shù), 故由定理4知此向量組是線性無(wú)關(guān)的. ,試討論向量組及向量組的線性相關(guān)性. 解: 對(duì)矩陣施行初等行變換變成行階梯形矩陣, 即可同時(shí)得出矩陣及的秩, 利用定理4即可得出結(jié)論. ,可見, 故向量組線性相關(guān)。1. 教學(xué)內(nèi)容：向量組線性相關(guān)性，向量組的秩；2. 時(shí)間安排：2學(xué)時(shí)；3. 教學(xué)方法：講授與討論相結(jié)合；4. 教學(xué)手段：黑板講解與多媒體演示.基本內(nèi)容備注第二節(jié) 向量組的線性相關(guān)性定義 給定向量組，如果存在不全為零的數(shù)使則稱向量組是線性相關(guān)的, 否則稱它線性無(wú)關(guān). 說(shuō)向量組線性相關(guān), 通常是指的情形, 但定義4也適用于的情形. 當(dāng)時(shí), 向量組只含一個(gè)向量, 對(duì)于只含一個(gè)向量的向量組, 當(dāng)時(shí)是線性相關(guān)的, 當(dāng)時(shí)是線性無(wú)關(guān)的. 對(duì)于含個(gè)向量的向量組, 它線性相關(guān)的充分必要條件是的分量對(duì)應(yīng)成比例, 其幾何意義是兩個(gè)向量共線. 個(gè)向量線性相關(guān)的幾何意義是三向量共面. 向量組線性相關(guān), 也就是在向量組中至少有一個(gè)向量能由其余個(gè)向量線性表示. 這是因?yàn)? 如果向量組線性相關(guān), 則有不全為0的數(shù)使 .因?yàn)椴蝗珵?, 不妨設(shè), 于是便有,即能由線性表示. 如果向量組中有某個(gè)向量能由其余個(gè)向量線性表示, 不妨設(shè)能由線性表示, 即有使于是 因?yàn)檫@個(gè)數(shù)不全為0, 所以向量組線性相關(guān). 向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念也可移用于線性方程組. 當(dāng)方程組中有某個(gè)方程是其余方程的線性組合時(shí), 這個(gè)方程就是多余的, 這時(shí)稱方程組(各個(gè)方程)是線性相關(guān)的。顯然, 當(dāng)時(shí), 便是的逆陣. 故上述結(jié)論可看作是逆矩陣概念的推廣. 給定向量組 和向量,若存在數(shù)使則稱向量能由向量組線性表示因?yàn)?，所以也就是說(shuō)非齊次線性方程組 無(wú)解.就是說(shuō)非齊次線性方程組有解.一般地， 向量能由向量組 線性表示的充分必要條件是非齊次線性方程組有解. 據(jù)第 3 章定理 3，所以有定理 1 向量能由向量組線性表示的充要條件是 ,其中矩陣, .解： 由此可知，, ，即 ，因此向量不能由向量組線性表示.回顧和小結(jié)、線性表示和向量組等價(jià)的定義復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題1. 復(fù)習(xí)思考題：P109 9，102. 作業(yè)題: P108 2，3，4，6，7實(shí)施情況及分析，大部分學(xué)員理解了線性組合、線性表示以及向量組等價(jià)的定義；、準(zhǔn)確記憶還需課下加強(qiáng)。方程有解. 要掌握上述對(duì)應(yīng)關(guān)系, 須注意兩個(gè)方面: 一方面是把向量組的關(guān)系用矩陣及其運(yùn)算表達(dá)出來(lái), 另一方面是給矩陣及其運(yùn)算以幾何解釋. , 階單位矩陣的列向量叫做維單位坐標(biāo)向量. 證明: 維單位坐標(biāo)向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是. 證明 根據(jù)定理2, 向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是. 而, 又矩陣含n行, 知, 合起來(lái)有 . 因此條件就是. 本例用方程的語(yǔ)言可敘述為: 方程有解的充分必要條件是. 本例用矩陣的語(yǔ)言可敘述為: 對(duì)矩陣, 存在矩陣, 使的充分必要條件是。l, 使, 也就是矩陣方程有解. 由上章定理7, 立即可得定理2 向量組能由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩, 即 . 推論 向量組與向量組等價(jià)的充分必要條件是,其中和是向量組和所構(gòu)成的矩陣. 證明 因?yàn)榻M和組能相互線性表示, 依定理2, 知它們等價(jià)的充分必要條件是且 ,而 即得充分必要條件為.例1．設(shè)，證明向量能由向量組線性表示, 并求出表示式. 解：根據(jù)定理1, 要證明矩陣與的秩相等, 為此, 把化成行最簡(jiǎn)形: ,可見, 因此向量能由向量組線性表示. 由上列行最簡(jiǎn)形, 可得方程的通解為,從而得表示式其中可任意取值. 例2．設(shè)， ,證明向量組與向量組等價(jià). 證明 記. 根據(jù)定理2的推論, 只要證明,為此把矩陣化成行階梯形: , 可見, ,. 由于矩陣中有不等于的階子式, 故. 又, 于是知 . 因此. 定理3 設(shè)向量組能由向量組線性表示, 則. 證明 記 按定理的條件, 根據(jù)定理2有, 而 因此. 前面我們把定理1與上章定理5對(duì)應(yīng), 把定理2與上章定理7對(duì)應(yīng), 而定理3可與上章定理8對(duì)應(yīng). 事實(shí)上, 按定理3的條件, 知有矩陣, 使, 從而根據(jù)上章定理8, 即有. 上述各定理之間的對(duì)應(yīng), 其基礎(chǔ)是向量組與矩陣的對(duì)應(yīng), 從而有下述對(duì)應(yīng): 向量組能由向量組線性表示 219。 若方程組的每個(gè)方程都是方程組的線性組合, 就稱方程組能由方程組線性表示, 這時(shí)方程組的解一定是方程組的解。 .同時(shí), 的行向量組能由的行向量組線性表示, 為這一表示的系矩陣: 設(shè), , 則 219。 個(gè)維行向量所組成的向量組構(gòu)成一個(gè)矩陣. 又如線性