【正文】 5． 二次型及其標準形　　　　　　　　　　　　　　 第五章習(xí)題課本授課單元教學(xué)目標或要求：一、掌握二次型及其標準形的概念二、掌握二次型的表示方法三、掌握二次型的矩陣及秩四、掌握化二次型為標準形五、習(xí)題課本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點難點的方法、例題等）：一、二次型及其標準形的概念二、二次型的表示方法三、二次型的矩陣及秩四、化二次型為標準形重點（難點）：1．　實二次型的化簡問題，在理論和實際中經(jīng)常遇到，通過在二次型和對稱矩陣之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩陣化為對角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問題，請同學(xué)們注意這種研究問題的思想方法．2．　實二次型的化簡，并不局限于使用正交矩陣，根據(jù)二次型本身的特點，可以找到某種運算更快的可逆變換．下一節(jié)將介紹另一種方法——拉格朗日配方法．本授課單元教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí)本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P140：2227。kk（4）若 與 相似，而 是一多項式，則 與 相似()fx()fAfB　　相似變換是對方陣進行的一種運算，它把 A 變成 ，而可逆矩陣 稱為進行這一變換的1P?P相似變換矩陣．這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種運算，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進行運算，從而將比較復(fù)雜的矩陣的運算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對角矩陣的運算．2.　對稱矩陣的性質(zhì)：(1)特征值為實數(shù)；(2)屬于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重數(shù)和與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)相等； (4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值．3.　利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：(1)求特征值；(2) 找特征向量；(3) 將特征向量單位化；(4) 最后正交化．本授課單元教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí) 第 41 頁，共 41 頁 本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P139：111118。3．相似矩陣　　　　　　　　　　　　 　*167。本授課單元教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí)本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P137：11。1． 向量的內(nèi)積、長度及正交性　　　　　　　　　　　　　 167。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P110：222335 第 37 頁，共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課、習(xí)題課 授課時間 2 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）： 第四章 向量組的線性相關(guān)性　　　　　　　　　　　　 　167。二、掌握齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：P109：111117 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）： 第四章 向量組的線性相關(guān)性　　　　　　　　　　　　　 167。本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：. P108： 1120 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）： 第四章 向量組的線性相關(guān)性　　　　　　　　　　　　　　167。1． 　向量組及其線性組合　　　　　　　　　　　　　　167。解 方法一 方程組的系數(shù)行列式 1| (1)42kAk???當 即 時，方程組有唯一解，且唯一解為(按克萊姆法則)|()40k??,? 21 32,11kkxxxk?????時，方程組為1??1234x??????此時 第 32 頁，共 41 頁 1414(,) 023825Ab????????????????方程組無解。n?③ 有無限多解的充分必要條件是 ,.Ab? [2] 求解線性方程組的步驟( 見教材) (2) 重要定理 定理 1 線性方程組 有解的充分必要條件是Axb?(),).R 定理 2 元齊次線性方程組 有非零解的充分必要條件是n0mn? (.An? 把定理 1 推廣到矩陣方程，得 定理 3 矩陣方程 有解的充要條件是XB(),).AB?、難點根據(jù)增廣矩陣的行最簡形熟練寫出線性方程組的通解；線性方程組的基本定理。AXB?本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點難點的方法、例題等）： (1) 線性方程組的解法 [1] 基本定理 ? ① 無解的充分必要條件是 (),)。 線性方程組的解本授課單元教學(xué)目標或要求：,有唯一解或有無限多個解的充分必要條件(包括非齊次線性方程組有解的充分必要條件及齊次線性方程組有非零解的充要條件).。RA?② 當 時, ?()。AR??② 當 時, 且?|,1,1。例 為 1xA???????試求秩 ()RA[分析] 矩陣 含有參數(shù) 因此其秩一般隨 的變化而變化，討論其秩主要從兩點著手分析：矩陣,xx秩的行列式定義和初等變換不改變矩陣的秩。BR??特別地，當 為列向量 時，有b (),1bA?⑥ ()(。T③ 若 則~,B()R?④ 若 可逆，則PQ()。k(2) 的行階梯形含 個非零行 的標準形()RAr??r????????(3) 矩陣秩的性質(zhì)① 0min{,}。 矩陣的秩本授課單元教學(xué)目標或要求：，知道初等變換不改變矩陣的秩的原理，掌握用初等變換求矩陣的秩的方法。k (3) 把矩陣的某一行(列)的 倍加到另一行(列). 參見 PPT本授課單元思考題、討論題、作業(yè)：　　　　　　　　　　　 ()3P 第 24 頁，共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）： 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組167。ijiijcccA初等變換, 與 等價 .AB(~)矩陣的行階梯形、行最簡形、標準形 ???????? 矩陣的初等變換對矩陣施行以下三種變換稱為矩陣的初等變換： (1) 交換矩陣的兩行(列)。本授課單元教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點，以及引導(dǎo)學(xué)生解決重點難點的方法、例題等）： 定義與記號初等行變換 與 行等價 。P56:29.本授課單元參考資料（含參考書、文獻等，必要時可列出）線性代數(shù)附冊 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選講（同濟第四版） 第 23 頁，共 41 頁 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 1 節(jié)授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第三章 矩陣的初等變換與線性方程組167。4 矩陣分塊法. 對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 A,運算時常采用分塊法,使大矩陣的運算化成小矩陣的運算將矩陣 A用若干條縱線和橫線分成許多小矩陣,每一個小矩陣稱為 A 為分塊矩陣. 例 將 矩陣3? ???????3432121aaA可以分塊為 (1) (2) (3) ??????343212aa ??????3432121a??????3432121a分法(1)可記為 ???????21A其中 ,21a???????24311a ,??32??分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則類似,滿足:(1) 設(shè)矩陣 A 與矩陣 B 的行數(shù)相同 ,列數(shù)相同,采用相同的分塊法 ,有 ,???????srsrA? ???11???????srsrB? ???11其中, 與 的行數(shù)相同,列數(shù)相同,那么ijij ?????????srsrB? ???11(2) 設(shè) , 為數(shù),那么???????srsrA? ???11? 第 19 頁，共 41 頁 ???????srsrAA??? ???11(3) 設(shè) A 為 矩陣,B 為 矩陣,分塊成lm?nl,???????stst? ???1 ???????trtrB? ???11其中 的列數(shù)分別等于 的行數(shù),那么iti?,2 jjj?,2 ?AB??????srsrC? ???11其中 ),。P55:19,22 第 18 頁，共 41 頁 本授課單元參考資料（含參考書、文獻等，必要時可列出）線性代數(shù)附冊 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選講（同濟第四版） 線性代數(shù) 課程教案授課類型 理論課 授課時間 2 節(jié)第三講: 167。3 逆矩陣定義 7 對于 階矩陣 A,如果有一個 階矩陣 B,使nn EBA?則說矩陣 A 是可逆的,并把矩陣 B 稱為 A 的逆矩陣, 1?A 如果 A 可逆,則 A : 設(shè) B,C 都是 A 的逆陣,則有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C 定理 1 若矩陣 A 可逆,則 0? 證 A 可逆,即有 ,使 ,故 所以 .1?E?111??0? 定理 2 若 ,則矩陣 A 可逆,且0 ??1其中 為 A 的伴隨矩陣.? 證 由例 9 可知 EA??所以有 ??1按照逆矩陣的定義知 A 可逆 ,且有 ???1當 時稱 A 為奇異矩陣 ,否則稱 A 為非奇異矩陣,可逆矩陣就是非奇異矩陣 .0?推論 若 ,則)(EB?或 1?證 ,故 ,因而 存在,有1?0? 111)()( ????AEBA逆陣滿足下列運算:(1) 若 A 可逆,則 也可逆,且 .1??1)( 第 15 頁，共 41 頁 (2) 若 A 可逆,數(shù) ,則 可逆,且0??A??11??A?(3) 若 A,B 為同階矩陣且可逆 ,則 AB 也可逆,且11)(???B證 ,由推論有: EAAB??1))( 11)(???AB(4) 若 A 可逆, 則 也可逆 ,且TTT)((1?證 ,由推論有: ET????)()(11 T)((1?當 時,定義0? , 為正整數(shù)TTA)()(1? kkA)(,10?這樣,當 , 為整數(shù),有?? ??????)(,重點,難點: 2 說明通過求伴隨矩陣的方式,讓學(xué)生掌握矩陣求逆,并告知學(xué)生下一章里還有更簡單的求逆方法.例 10 求二階矩陣 的逆陣.??????dcba解 , , 當 時,有A????a0?A bcd??1??????例 11 求方陣 ??