【正文】 是否存在a，使在[a,－a]上為減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。又.所以要使,只有,取,當(dāng)時(shí), 因此當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瘮?shù)和在區(qū)間（b,a）上單調(diào)性一致，所以，即，設(shè)，考慮點(diǎn)(b,a)的可行域，函數(shù)的斜率為1的切線的切點(diǎn)設(shè)為則；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瘮?shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瘮?shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以，即而x=0時(shí)，不符合題意， 當(dāng)時(shí)，由題意：，綜上可知。（１） 當(dāng)時(shí)，解不等式；（２） 若在［－１，１］上是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；（３） 當(dāng)時(shí)，求整數(shù)ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解?！?分因?yàn)?，即存在唯一的根，于?……………6分（2）由得，且恒成立，由第（1）題知存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)時(shí)，取得最小值 ……………9分由，得 即 于是 又由，得，從而，故正整數(shù)n的最大值為3。（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求正整數(shù)n的最大值。…………6分等價(jià)于，………………8分設(shè)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以對(duì)任意的都有，即對(duì)任意恒成立，所以整數(shù)的最大值為2．……………………………………………………14分86. （2008山東卷21）已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).⑴當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；⑵當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時(shí)，有f(x)≤x－1.解：⑴由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x＞1}，當(dāng)n=2時(shí)， 所以①當(dāng)a＞0時(shí)，由f(x)=0得＞1，＜1，此時(shí)=.當(dāng)x∈（1，x1）時(shí)，＜0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x1+∞）時(shí)，＞0, f(x)單調(diào)遞增.②當(dāng)a≤0時(shí)，＜0恒成立，所以f(x)無(wú)極值.綜上所述，n=2時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在處取得極小值，極小值為當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)無(wú)極值.⑵證法一：因?yàn)閍=1,所以 ①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令則）=1+＞0（x≥2）.所以當(dāng)x∈[2,+∞]時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，又g(2)=0，因此≥g(2)=0恒成立， 所以f(x)≤x－1成立.②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要證≤x－1,由于＜0，所以只需證ln(x－1) ≤x－1, 令h(x)=x－1－ln(x－1),則=1－≥0(x≥2), 所以,當(dāng)x∈[2，+∞]時(shí)，單調(diào)遞增，又h(2)=1＞0， 所以當(dāng)x≥2時(shí)，恒有h(x)＞0,即ln(x－1)＜x－1命題成立.綜上所述，結(jié)論成立.證法二：當(dāng)a=1時(shí)， 當(dāng)x≤2，時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)n，恒有≤1， 故只需證明1+ln(x－1) ≤x－1. 令 則 當(dāng)x≥2時(shí)，≥0，故h(x)在上單調(diào)遞增， 因此，當(dāng)x≥2時(shí)，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x－1) ≤x－1成立. 故當(dāng)x≥2時(shí)，有≤x－1. 即f（x）≤x－1.五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用87. （綜合運(yùn)用）已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；⑵已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，證明當(dāng)時(shí)，⑶如果，且，證明解：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問(wèn)題的能力.⑴，令=0,得.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表()1()+0極大值∴在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)；極大值.⑵證明：由題意可知g(x)=f(2－x)，∴g(x)=(2－x).令F(x)=f(x)－g(x)＝，則當(dāng)時(shí)，2x－20,從而,從而在[1,+∞)是增函數(shù)。解析：（1）設(shè)，所以，得到．所以的取值范圍為………2分（2）令，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，且，所以是上的增函數(shù)。作為壓軸題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等，常伴隨對(duì)參數(shù)的討論，這也是難點(diǎn)之所在.85. 已知函數(shù)，且函數(shù)是上的增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，.故在，單調(diào)增加，在(－1，0)單調(diào)減少.⑵.令，則.①若，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)x≥0時(shí)≥0，即≥0，符合題意.②若，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)時(shí)＜0，即＜0,不合題意. 綜合得的取值范圍為81. （2011全國(guó)新理21，恒成立，反比例，提出公因式再處理的技巧，本題的創(chuàng)新之處是將一般的過(guò)定點(diǎn)（0,0）變?yōu)檫^(guò)定點(diǎn)（1,0），如果第2問(wèn)范圍變?yōu)閯t更間單）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.⑴求、的值；⑵如果當(dāng)，且時(shí)，求的取值范圍。（Ⅲ）證明：.解：（Ⅰ）由題意知：………………………………2分解得：； 解得：所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減………………4分（Ⅱ）=得：. 若即，++極大值極小值此時(shí)的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)………………………………7分 若即，則， 在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn). 若即，++極大值極小值此時(shí)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn).綜上述：當(dāng)時(shí)，的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn).80. （2011全國(guó)I文21，恒成立，一次，提出一部分再處理的技巧）設(shè)函數(shù).⑴若a =，求的單調(diào)區(qū)間；⑵若當(dāng)≥0時(shí)≥0，求a的取值范圍.解：⑴時(shí)，.當(dāng)時(shí)。若 x0, .∴x=0是F(x)的極小值點(diǎn), ∴a=2符合題意. (Ⅱ) ∵a=1, 且PQ//x軸,由f(x1)=g(x2)得:,所以.令當(dāng)x0時(shí)恒成立.∴x∈[0,+∞時(shí),h(x)的最小值為h(0)=1.∴|PQ|min=1. (Ⅲ)令則.因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)恒成立, 所以函數(shù)S(x)在上單調(diào)遞增, ∴S(x)≥S(0)=0當(dāng)x∈[0,+∞時(shí)恒成立。⑵若不等式對(duì)任意的都成立（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求a的最大值.（分離常數(shù)）解: ⑴函數(shù)的定義域是，設(shè)則令則當(dāng)時(shí)， 在（－1，0）上為增函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，在上為減函數(shù).所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以，函數(shù)g(x)在上為減函數(shù).于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，在（－1，0）上為增函數(shù).當(dāng)x＞0時(shí)，在上為減函數(shù).故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為.⑵不等式等價(jià)于不等式由知，＞0，∴上式變形得設(shè)，則則由⑴結(jié)論知，（≤）即所以于是G(x)在上為減函數(shù).故函數(shù)在上的最小值為所以a的最大值為74. （變形，分離常數(shù)）已知函數(shù)(a為實(shí)常數(shù)).(1)若，求證：函數(shù)在(1,+∞)上是增函數(shù)； (2)求函數(shù)在[1,e]上的最小值及相應(yīng)的值；(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：⑴當(dāng)時(shí)，當(dāng)，故函數(shù)在上是增函數(shù)．⑵，當(dāng)，．若，在上非負(fù)（僅當(dāng)，x=1時(shí)，），故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時(shí)．若，當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)，此時(shí)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)是增函數(shù)．故．若，在上非正（僅當(dāng)，x=e時(shí)，），故函數(shù) 在上是減函數(shù)，此時(shí)．⑶不等式，可化為．∵, ∴且等號(hào)不能同時(shí)取，所以，即，因而（）令（），又，當(dāng)時(shí)，從而（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），所以在上為增函數(shù)，故的最小值為，所以a的取值范圍是．75. （分離常數(shù)，轉(zhuǎn)換變量，有技巧）設(shè)函數(shù).⑴若函數(shù)在處與直線相切：①求實(shí)數(shù)的值；②求函數(shù)在上的最大值；⑵當(dāng)時(shí)，若不等式≥對(duì)所有的都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）①。從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減。又故存在，使得。設(shè)，則，因?yàn)?，有。即不等式在上恒成立?0. （第3問(wèn)不常見(jiàn)，有特點(diǎn)，由特殊到一般，先猜后證）已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)f (x)的定義域（Ⅱ）確定函數(shù)f (x)在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.（Ⅲ）若x0時(shí)恒成立，求正整數(shù)k的最大值.解：（1）定義域（2）單調(diào)遞減。xxexxgx+=, 設(shè),則, 在上為增函數(shù),≥, ,在上為增函數(shù), ≥,≤．[方法二], , 設(shè), ≥0,≥0,在上為增函數(shù), ≥. 又≥0恒成立,≥0,≤,≥,在上為增函數(shù), 此時(shí)≥≥0恒成立,≤．（改x≥0時(shí)，≥0恒成立.≤1）解：先證明在上是增函數(shù)，再由洛比達(dá)法則，∴，∴≤1.（正常的討論進(jìn)行不了，除非系數(shù)調(diào)到二次項(xiàng)上，分兩種情況討論可得≤1）67. （兩邊取對(duì)數(shù)的技巧）設(shè)函數(shù)且） （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）求的取值范圍； （3）已知對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 由所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為.(2) ，且對(duì)時(shí)，恒成立,即.設(shè).當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,.所以當(dāng)時(shí),函數(shù)在上取到最大值,且所以,所以 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（法二）討論法，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).當(dāng)≤時(shí)，≥，解得，∴≤.當(dāng)時(shí)，解得，∴.綜上.66. （2011長(zhǎng)春一模，恒成立，分離常數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)）已知函數(shù),（其中R,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)≥1時(shí),若關(guān)于的不等式≥0恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.（改x≥0時(shí)，≥0恒成立.≤1）解：（1）當(dāng)時(shí)，, 切線方程為．（2）[方法一]≥1,12)(2=\axxexfx≥a219。⑵當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以不?huì)有當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知在上的最大值是，所以等價(jià)于,解綜上：故當(dāng)時(shí)，的取值范圍是[，0].63. （2008天津理20倒數(shù)第3大題，最值的直接應(yīng)用，第3問(wèn)帶有小的處理技巧）已知函數(shù)，其中.⑴若曲線在點(diǎn)處切線方程為,求函數(shù)的解析式；⑵討論函數(shù)的單調(diào)性；⑶若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.解：⑴，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，于是．由切點(diǎn)在直線上可得，解得．所以函數(shù)的解析式為．⑵．當(dāng)時(shí)，顯然(),這時(shí)在，上內(nèi)是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，令，解得．當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：＋0－－0＋↗極大值↘↘極小值↗∴在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．⑶由⑵知，在上的最大值為與的較大者，對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，對(duì)任意的成立．從而得，所以滿足條件的的取值范圍是．64. （轉(zhuǎn)換變量，作差）已知函數(shù). ⑴若，求的單調(diào)區(qū)間；⑵已知是的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，若恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。綜上可知，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有唯一極值點(diǎn).(2)由(1)可知，當(dāng)時(shí)，.由(1)知，若恒成立，只需即可，化簡(jiǎn)得：,所以的取值范圍是[1，+∞）.(3)由(2)知，∴.∴ 59. (替換構(gòu)造)已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑵若≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（一次，作差構(gòu)造）⑶證明：①當(dāng)時(shí)，；②.解：⑴函數(shù)的定義域?yàn)橹校?　 當(dāng)≤0時(shí)，則在上是增函數(shù).　 當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).⑵由⑴知，當(dāng)≤0時(shí)，≤0不成立.當(dāng)時(shí)，由⑴知，要使≤0恒成立，則≤0，解得≥1.⑶①由⑵知當(dāng)時(shí)，有在上恒成立，且在是減函數(shù).　 又，∴當(dāng)時(shí)，即.　 ②令則即，從而.　 ∴成立.60. （2011浙江理22,替換構(gòu)造）已知函數(shù).⑴求的單調(diào)區(qū)間和極值；⑵求證：.解：⑴定義域?yàn)?. 令，令 故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為 的極大值為 ⑵證明：要證 即證， 即證 即證 令，由⑴可知在上遞減，故 即，令，故 累加得， 故，得證 法二：= ，其余相同證法.61. （替換構(gòu)造）已知函數(shù).⑴求函數(shù)的最小值；⑵若≥0對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；（一次，作差構(gòu)造）⑶在⑵的條件下，證明：.解：（1）由題意，由得. 當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí)，. ∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 即在處取得極小值，且為最小值， 其最小值為 （2）對(duì)任意的恒成立，即在上，. 由（1），設(shè)，所以. 由得. ∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， ∴在處取得極大值. 因此的解為，∴.（3）由（2）知，因?yàn)?，所以?duì)任意實(shí)數(shù)均有，即.令 ，則.∴.∴. 四、不等式恒成立求字母范圍恒成立之最值的直接應(yīng)用62. （2011北京理18倒數(shù)第3大題，最值的直接應(yīng)用）已知函數(shù)。在（1，+∞）上無(wú)極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，則.所以當(dāng)時(shí)，∴在上是增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，∴在上是減函數(shù)。（2）若恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍。②時(shí)， 若，故當(dāng)時(shí)。 （III）證明，當(dāng)時(shí)，53. 已知函數(shù)、（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為正常數(shù)，設(shè)，求函數(shù)的最小值；（Ⅲ）若，證明：、解:（Ⅰ）∵，解，得；解，得.∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. ……3′（Ⅱ）∵，定義域是.∴……5′由，得，由，得∴ 函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增……7′故函數(shù)的最小值是：. ……8′（Ⅲ）∵，∴ 在（Ⅱ）中取，可得，即.……10′∴，∴.即.……12′54. （替換構(gòu)造不等式）已知函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為.⑴求函數(shù)的解析式；⑵設(shè)，求證：≥在上恒成立；（反比例，變形構(gòu)