【正文】 小結(jié)：求直線與平面所成的角一般要有三個步驟：（1）作圖：作出所求的角及題中涉及的有關(guān)圖形等；（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的；（3）計算：在證明的基礎(chǔ)上計算得出結(jié)果。所以直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30176。解（1）連結(jié)BC1交B1C于點O，連結(jié)OA1，因為A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1，因為BCC1B1為正方形，所以B1C⊥BC1，又，所以BO⊥平面A1B1CD，所以∠BA1O為直線A1B和平面A1B1CD所成的角，且∠BOA = 90176。范圍：。注：l ⊥α?xí)r，所成角為90176。問題：如圖，E為長方體ABCD—A1B1C1D1的邊AB上任意一點，直線AA1，A1E，A1B中哪些與底面ABCD垂直？從位置關(guān)系來看，同為直線，但它們的相對位置是不同的，如何刻畫直線與平面的位置關(guān)系？模型演示：筆與桌面的位置關(guān)系。逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。射影：過垂足和斜足的直線叫做斜線在平面上的射影。三、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情景，引入新課復(fù)習(xí)：平面的垂線：垂直于平面的直線。二、教學(xué)重點：直線與平面所成的角的定義、范圍與計算。情感態(tài)度與價值觀：（1）培養(yǎng)學(xué)生不斷探索發(fā)現(xiàn)新知識的精神，滲透事物相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實際的辯證唯物主義觀點。教學(xué)反思：直線與平面所成的角授課類型：新授課 授課時間：第 周 年 月 日（星期 ）一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：理解并掌握直線與平面所成的角的定義，熟記直線與平面所成角的范圍，會求直線與平面所成的角。如圖，PD⊥平面ABC，AC = BC，D為AB的中點，求證：AB⊥PC。學(xué)會按“一定、二找、三證”的步驟應(yīng)用兩個定理證明線線垂直。探究：如圖，直四棱柱（側(cè)面與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，？解：連結(jié)，因為平面，所以為在平面內(nèi)的射影，由三垂線定理知，當(dāng)時，有，即四邊形ABCD的對角線互相垂直時。由于逆定理與原定理的實質(zhì)相同，結(jié)構(gòu)相似，因而使用時也可以按以上步驟進(jìn)行，這對我們在復(fù)雜圖形中使用定理很有好處。又O是△ABC的垂心，所以AD⊥BC，由三垂線定理可得BC⊥PA。分析：PO是平面的垂線，PA是平面的斜線，BC在平面ABC上，所以，欲證BC⊥PA，只需證明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可。（2）條件與結(jié)論不同：原定理：“與射影垂直”“與斜線垂直”；逆定理：“與斜線垂直”“與射影垂直”。（五）原、逆定理的比較相同點：（1）結(jié)構(gòu)相同：都是由線線垂直推證線線垂直；（2）證明方法相同：都采用了線面垂直法。剛才我們由a與PA、AO垂直得到了a與平面PAO垂直，現(xiàn)在我們再看，由于PA與a總垂直，那么當(dāng)a與PO垂直時還會有a⊥平面PAO嗎？進(jìn)一步可得到什么結(jié)論？（a⊥AO）這樣我們又得到了一個重要定理：三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。三垂線定理的實質(zhì)是平面內(nèi)的直線與平面的斜線垂直的判定定理。（四）揭示定理上面命題反映了平面內(nèi)一條直線、平面的斜線和斜線在這個平面內(nèi)的射影這三者之間的垂直關(guān)系，這就是著名的三垂線定理，下面請大家根據(jù)已知條件和結(jié)論，把三垂線定理完整地表達(dá)出來。分析：證明兩直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面，從本題條件看，PO在平面PAO內(nèi)，只要證明a⊥平面PAO即可。已知：PA、PO分別是平面α的垂線、斜線，AO是PO在平面α上的射影，（如圖）。結(jié)論：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。如圖表示平面的斜線（PO）在平面內(nèi)有垂線（a），且有無數(shù)條。（二）猜想和發(fā)現(xiàn)揭示問題，引導(dǎo)探究根據(jù)直線和平面垂直的定義知平面內(nèi)的任意一條直線都和平面的垂線垂直。）（2）直線和平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。本節(jié)課采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探索式相結(jié)合的教學(xué)方法，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生積極思考，勇于探索，使學(xué)生的心理達(dá)到一種“欲罷不能”的興奮狀態(tài)，從而產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，體現(xiàn)學(xué)生的主體作用。由于本節(jié)課安排在立體幾何學(xué)習(xí)的初始階段，是學(xué)生空間觀念形成的關(guān)鍵時期，因此要重視讓學(xué)生動手做模型，教師演示指導(dǎo)，讓學(xué)生直觀地感受到空間線面、線線關(guān)系的變化，再在教師的引導(dǎo)下思考線面、線線垂直關(guān)系存在的因果關(guān)系，逐步推理、猜想命題，論證命題，從而發(fā)現(xiàn)定理，揭示定理的實質(zhì)，在定理論證中進(jìn)一步發(fā)展定理，引出逆定理，再進(jìn)行比較，從而更進(jìn)一步地把握定理的關(guān)鍵。三、教材分析：“三垂線定理”是高中立體幾何中的重要內(nèi)容之一，它是在研究了空間直線和平面垂直的基礎(chǔ)上研究兩條直線垂直關(guān)系的一個重要定理，它既是線面垂直關(guān)系的一個應(yīng)用，又為以后學(xué)習(xí)面面垂直，研究空間距離、空間角奠定了基礎(chǔ)，同時這節(jié)課也是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力都有重要意義。難點：三垂線定理中的垂直關(guān)系及證明過程。情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生的觀察、猜想和論證能力；培養(yǎng)學(xué)生對待知識的科學(xué)態(tài)度和辯證唯物主義觀點。教學(xué)反思：三垂線定理授課類型：新授課 授課時間：第 周 年 月 日（星期 ）一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：理解三垂線定理及其逆定理的證明，準(zhǔn)確把握“空間三線”垂直關(guān)系的實質(zhì)；掌握三垂線定理及其逆定理解題的一般步驟。如圖，已知PA⊥平面ABC，AC⊥BC，O、D分別為AB、AC的中點，求證：OD⊥平面PAC。（四）歸納小結(jié)：（1）獲得直線與平面垂直的判定定理的基本過程。（2）若PA = PB = PC，則點O是三角形ABC的 心。（1）若PA = PB = PC，∠C = 90176。如圖，在三棱錐V—ABC中，VA = VC，AB = BC，求證：VB⊥AC。說明：可以由兩條直線與一個平面垂直判定兩條直線平行，性質(zhì)定理揭示了“平行”與“垂直”之間的內(nèi)在聯(lián)系。這樣在平面β內(nèi)，經(jīng)過直線c上同一點O就有兩條直線b，與c垂直，顯然不可能，因此a // b。直線b與確定平面β，設(shè)，則。命題2：如圖，已知直線a ⊥α ，b ⊥α ，那么a // b。證明：在平面α內(nèi)作兩條相交直線m，n，因為直線，根據(jù)直線與平面垂直的定義知，又因為a // b，所以，又因為，m，n是兩條相交直線，所以。如果是真命題，請予以證明；如果是假命題，請舉一個反例。課堂練習(xí)：已知三角形ABC，直線l ⊥AB，l ⊥AC，求證l ⊥BC。）強調(diào)：① 定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；② 定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。作用：由線線垂直得到線面垂直。① 折痕AD與桌面所在平面α垂直嗎？② 如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面α垂直？（AD是BC邊上的高）（2）思考：① 有人說，折痕AD所在直線已桌面所在平面α上的一條直線垂直，就可以判斷AD垂直平面α ，你同意他的說法嗎？② 如圖，由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD，由此你能得到什么結(jié)論？（3）歸納結(jié)論：（直線與平面垂直的判定定理）一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。直線與平面垂直的判定：（1）探究：準(zhǔn)備一塊三角形紙片。記作：l ⊥α 。模型演示：直棱柱的側(cè)棱與底面的位置關(guān)系。二、教學(xué)重點、難點：直線與平面垂直的定義和判定定理的探究。過程與方法（1）感受直線和平面垂直的定義的形成過程；（2）探究判定直線與平面垂直的方法。教學(xué)反思：授課類型：新授課 授課時間：第 周 年 月 日（星期 ）一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能（1）掌握直線和平面垂直的定義及判定定理、性質(zhì)定理；（2）掌握判定直線和平面垂直的方法；掌握直線和平面垂直的性質(zhì)。（4）經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行。（2）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。（三）歸納小結(jié)平面與平面平行的幾條性質(zhì)：（1）性質(zhì)定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。變式2：如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點，平面PAD平面PBC = l。變式1：如圖，α // β // γ，直線a與b分別交α ，β ，γ于點A、B、C和點D、E、F，求證：。已知：，求證：AB = CD。（4）如果直線a，b和平面α滿足a // b，a // α，那么b // α。（2）如果直線a和平面α滿足a // α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行。課堂練習(xí)1：判斷下列命題是否正確。符號語言：。證明：因為，所以，又因為，所以a，b沒有公共點，又因為a，b同在平面γ內(nèi)，所以a // b。問題1：若兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的直線與另一個平面內(nèi)的直線具有什么位置關(guān)系？學(xué)生借助長方體模型思考、交流得出結(jié)論：異面或平行。相關(guān)性質(zhì)：若兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的任意一條直線都和另一個平面平行。三、學(xué)法指導(dǎo)：學(xué)生借助實物，通過類比、交流等，得出性質(zhì)及基本應(yīng)用。二、教學(xué)重點：平面與平面平行的性質(zhì)定理的理解。過程與方法：學(xué)生通過觀察與類比，借助實物模型理解性質(zhì)及應(yīng)用。）（六）布置作業(yè)：課本P61， [A組] 第5，6題；[B組]第2題；導(dǎo)與練P47，1 ~ 11。（五）歸納小結(jié)證明線面平行的轉(zhuǎn)化思想：要證a // α ，通過構(gòu)造過直線a的平面β與平面α相交于直線b，只要證明a // b即可。（2）若兩直線a、b相交，且a // α ，則b與α的位置關(guān)系可能是 。（四）課堂練習(xí)判斷下列命題的真假：（1）； （ ） （2）； （ ）（3）； （ ） （4）； （ ）（5）過平面外一點和這個平面平行的直線只有一條。證明：過a作平面交于b，因為，所以a // b，過a作平面交平面于c，因為，所以a // c，所以b // c。已知：，求證：a // l。說明：線線平行線面平行，轉(zhuǎn)化是立體幾何的一種重要的思想方法。已知：，求證：。（2）由于所作的直線EF平行于BC，所以所畫的線EF與平面AC平行，而BE、CF則與平面AC相交。（1）要經(jīng)過面內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？（2）所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系？分析：（1）經(jīng)過木料表面內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開，實際上是經(jīng)過BC及BC外一點P作截面，也就是找出平面與平面的交線。作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。證明：因為，所以，因為，所以a與b沒有公共點，又因為，所以a // b。歸納（直線與平面平行的性質(zhì)定理）：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。四、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情景、引入新課復(fù)習(xí)：直線與平面平行的判定定理：。難點：直線與平面平行的性質(zhì)定理的證明及正確運用。情感態(tài)度與價值觀：進(jìn)一步提高學(xué)生空間想象能力、思維能力；體會類比的作用；滲透等價轉(zhuǎn)化的思想。教學(xué)反思： 直線與平面平行的性質(zhì)授課類型：新授課 授課時間：第 周 年 月 日（星期 ）一、教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用。面面平行的判定定理的實質(zhì)就是一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行。變式3：如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是A1DA1B1的中點，在該正方體中作出與平面AMN平行的平面，并證明你的結(jié)論。證明：連結(jié)AD，取AD的中點為G，連結(jié)EG，因為E為AB的中點，所以EG為△ABD的中位線，所以EG // BD，因為EG平面β，BD平面β，所以EG // β。例3：如圖，α // β，A、C，B、D，且A、B、C、D不共面，E、F分別是AB、CD的中點，求證：EF // α，EF // β。小結(jié)：面面平行的判定定理的實質(zhì)就是一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行，本例可作為定理使用。已知：，求證：α // β。求證（1）E、F、B、D四點共面；（2）平面AMN // 平面EFBD。同理AB1 // 平面C1BD，又，所以平面AB1D1//平面C1BD。平面α與平面β平行的條件可以是（ ）（A）α內(nèi)有無窮多條直線都與β平行（B）直線a // α，a // β，且直線a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)（C）直線，直線，且（D）α內(nèi)的任何直線都與β平行（三）定理的應(yīng)用：例已知正方體ABCD—A1B1C1D1，求證：平面AB1D1//平面C1BD。平面平行的傳遞性：如果平面α // 平面β，平面β // 平面γ，則平面α // 平面γ?！椒栒Z言：。歸納（兩個平面平行的判定定理）：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。（二）平面與平面平行的判定觀察：三角板的一條邊所在直線與桌面平行，這個三角板所在平面與桌面平行嗎？三角板的兩條邊所在直線分別與桌面平行，情況又如何呢？若一個平面內(nèi)的所有直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面一定平行。用圖形表示為：畫兩個相互平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行。三、學(xué)法指導(dǎo)：學(xué)生