函數(shù)零點易錯題、三角函數(shù)重難點教師版(參考版)
2025-03-27 12:18本頁面
【正文】 例2．已知函數(shù)．，且． （1）求實數(shù)，的值；（2）求函數(shù)的最大值及取得最大值時的值．分析：待定系數(shù)求，；然后用倍角公式和降冪公式轉(zhuǎn)化問題．解析：函數(shù)可化為． （1）由，可得，所以，． （2），故當(dāng)即時，函數(shù)取得最大值為．點評：結(jié)論是三角函數(shù)中的一個重要公式，它在解決三角函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值、周期以及化簡求值恒等式的證明中有著廣泛應(yīng)用，是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的工具，是聯(lián)系三角函數(shù)問題間的一條紐帶，是三角函數(shù)部分高考命題的重點內(nèi)容．題型2 三角函數(shù)的圖象：三角函數(shù)圖象從“形”上反應(yīng)了三角函數(shù)的性質(zhì)，一直是高考所重點考查的問題之一．例3．（2009年福建省理科數(shù)學(xué)高考樣卷第8題）為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位分析：先統(tǒng)一函數(shù)名稱，在根據(jù)平移的法則解決．解析：函數(shù)，故要將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位，選擇答案A．例4 （2008高考江西文10）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象是20090318分析：分段去絕對值后，結(jié)合選擇支分析判斷．解析：函數(shù)．結(jié)合選擇支和一些特殊點，選擇答案D．點評：本題綜合考察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)不注意正切函數(shù)的定義域或是函數(shù)分段不準(zhǔn)確時，就會解錯這個題目．題型3 用三角恒等變換求值：其主要方法是通過和與差的，二倍角的三角變換公式解決．例5 （2008高考山東卷理5）已知，則的值是A． B． C． D． 分析：所求的，將已知條件分拆整合后解決．解析：C ．，所以．點評：本題考查兩角和與差的正余弦、誘導(dǎo)公式等三角函數(shù)的知識，考查分拆與整合的數(shù) 學(xué)思想和運算能力．解題的關(guān)鍵是對的分拆與整合．例6（2008高考浙江理8）若則=A． B． C． D．分析：可以結(jié)合已知和求解多方位地尋找解題的思路．方法一：，其中，即，再由知道，所以，所以． 方法二：將已知式兩端平方得方法三：令，和已知式平方相加得，故，即，故．方法四：我們可以認(rèn)為點在直線上，而點又在單位圓上，解方程組可得，從而．這個解法和用方程組求解實質(zhì)上是一致的． 方法五：只能是第三象限角，排除C．D．，這時直接從選擇支入手驗證，由于計算麻煩，我們假定，不難由同角三角函數(shù)關(guān)系求出，檢驗符合已知條件，故選B．點評：本題考查利用三角恒等變換求值的能力，試題的根源是考生所常見的“已知，求的值（人教A版必修4第三章復(fù)習(xí)題B組最后一題第一問）”之類的題目 ，背景是熟悉的，但要解決這個問題還需要考生具有相當(dāng)?shù)闹R遷移能力．題型4 正余弦定理的實際應(yīng)用：這類問題通常是有實際背景的應(yīng)用問題，主要表現(xiàn)在航海和測量上，解決的主要方法是利用正余弦定理建立數(shù)學(xué)模型．例7．（2008高考湖南理19）在一個特定時段內(nèi)，以點為中心的海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域．點正北海里處有一個雷達(dá)觀測站．某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點北偏東且與點相距海里的位置，經(jīng)過分鐘又測得該船已行駛到點北偏東 (其中，)且與點相距海里的位置． （1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會進(jìn)入警戒水域，并說明理由．分析：根據(jù)方位角畫出圖形，如圖．第一問實際上就是求的長，在中用余弦定理即可解決；第二問本質(zhì)上求是求點到直線的距離，即可以用平面解析幾何的方法，也可以通過解三角形解決．解析：（1）如圖， ， ，由于，所以由余弦定理得所以船的行駛速度為（海里/小時）．（2）方法一 ： 如上面的圖所示，以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點的坐標(biāo)分別是，與軸的交點為．由題設(shè)有， ，所以過點的直線
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