【正文】 動力學(xué) 66 1 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 2 力的功 3 質(zhì)點動能定理 4 質(zhì)點系動能定理 5 功率、功率方程、機械效率 6 機械能守恒定律 本章主要內(nèi)容 。 動力學(xué) 65 ③ 桿要滑動時 ， 應(yīng)用 質(zhì)心運動定理： ???????)()(ΣΣennCeCFmaFma ???????????2???KlaKlanCC式中 ????????????m a x2 s i nc o sFmgKlmNmgKlm D????(3) (4) 補充： DfNF ?ma x(5) ④ 聯(lián)立方程 (1)~(5)，解得 21361t a n Kf????可見，桿滑動時的角度只與質(zhì)心 偏置系數(shù) K 和 摩擦系數(shù) f 有關(guān)，與桿的長度和質(zhì)量無關(guān)。 解： ① . 桿要滑動時角度為 ? ，畫受力、運動如圖。 動力學(xué) 64 D mg A B C Kl mg ? A B C ND Fmax ? ? nCa?CavC 例 613 均質(zhì)桿 AB，質(zhì)量為 m，長度為 l，偏置在粗糙的平臺上，自水平位置無初速度繞臺角轉(zhuǎn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)至某角度時開始滑動。 解： 單獨研究三個滑輪，受力分析，運動分析，列動力學(xué)方程： Ra CC ?? ?E BC ?? ?… .① )(21212 RFFmRB ?????s i n2 mgFFma C ????RFmR C ???221對定滑輪 B： 對動滑輪 C： 1Fmgma A ??RFmR A ?? 1221 ?對動滑輪 A： …. ② ……. ③ .... ⑥ …….. ⑦ ….. ④ …… ⑤ AA Rga ?21?? …….. ⑧ F2′ F1 F1′ F2 理論力學(xué) 斜面粗糙，不計滾阻。 τ BCn BCCB aaaa ??? ??? ????解 3： 理論力學(xué) 動力學(xué) 61 τ BCn BCCB aaaa ??? ??? ????CCτBCCyBBRyaaaa????? ????? ?? )(OCC Ry ?? ?????? ??OC ?? ???? ?可知：和據(jù) c)(a)(RgOC 52?? ?? ????mgmRF O 5121 ?? ??? gyC 54???分析 C輪可知： B‘為輪 C上的點 沿 Y軸投影，得： 代入（ b）（ c）解得： 再解得： C ynBCa ?CaτBCa ?B‘ C?聯(lián)合求解得出角加速度，再求繩子內(nèi)力。若系統(tǒng)從靜止開始運動，求輪心 C的加速度和繩 AB的內(nèi)力。 動力學(xué) 59 對上式求導(dǎo)且知 ?? ?? atvvtsr dd,dd解得 gmmm ma ?? 22212s i n232s i n????并將式 (1)代入， )c o s2(2121 22221 ?rr vvvvmvm ??? ???由 動能定理 ， 有 系統(tǒng)動能為 2212221 21212121 ?rmvmvmEOk ??? ?O θ s O ve FN m1g m2g v△ vr vO a△ 二個自由度要二個動力學(xué)方程 ?s in2 gsm? 02121 222 ????????rvrm r理論力學(xué) 動力學(xué) 58 O θ s O 例 610 已知三棱柱 m1；圓柱 m2；純滾動；光滑水平面；求 a△ 。 ① 動能定理求速度，但 不方便求加速度 ② 運動學(xué)知識求加速度。 時解得： glvC 321?lg3??P C A ? ? vC vA ?? ??tdd?法 1：上式兩邊求導(dǎo)： ?????? ?? ?????? c o s2c o s3s i n)c o s311( 232lmgmvavmCCCCCCC m g vmvlavm ????342 c o s3s i n2)c o s311(??? )c o sc o s3(c o s3s i n22442??????? gva CC??? 1212 WEE KK理論力學(xué) 解： ① 地面光滑 ， 桿沿水平方向不受力 ， 倒下過程中質(zhì)心鉛直下落 。 動力學(xué) 56 例 69 均質(zhì)桿長 l， 質(zhì)量 m， 靜止直立于光滑水平面上 。 0)c o s2c o s3(s i n43 0N ??? ???mgF A )c o s32a r c c o s (0?? ?得 AB桿開始脫離墻壁的角度為 理論力學(xué) 桿的速度瞬心為 D， 桿的動能為 222234)2(121 mlmllmmlJJCD ?????2223221 ?? mlJEDK ??對時間 t 求導(dǎo)數(shù)，得 所有力的功率為 ??234dd mltE K ?CvgmP?? ?????? s i n)90c o s ( lmgm g v C ????根據(jù) 功率方程 得 桿的角加速度為 ?? PtE Kdd???? s i n34 2 lmgml ??? s i n43 lg?再求桿的角速度， 兩邊積分， ????????dddddddd ???tt????? s i n43dd lg???? ? ??? ???? 0 ds i n43d0 lg ? ???? c o sc o s23 0 ?? lg理論力學(xué) 動力學(xué) 52 聯(lián)立求解① … ⑤ 式，得 代入式⑥，得 …… ⑧ …… ⑦ …… ⑥ 現(xiàn)在求桿的角速度 ?， …… ⑨ 式⑨代入式⑦、⑧，得 ?? s in43 lg????? s i nc o ss i n43 2N mlmgF A ????? c o ss i n43 22N mlmgmgF B ????? tdd ??? ?tdddd ??????dd???? s i n43dd lg? ?? ? ???????0ds i n43d0 lg)c os( c os23 0 ??? ?? lg)c o s2c o s3(s i n43 0N ??? ?? mgF A)c o sc o s6c o s71(4 02N ??? ??? mgF BA B ? l l C mg FNB FNA ? 理論力學(xué) 用 平面運動微分方程 求解。初瞬時，桿與墻壁的夾角為 ? 0，由靜止開始運動。 理論力學(xué) 則 又 B解： 輪 B平移 mg FAy FAx 90? ? 時 ?2lCACBA?AvBv0Cv ?速度如圖 0 11 ???? BxAx vmvmP由 (初始為零勢能 )，有 0??PK EE2 2 2 21 1 11 1 1 12 [ ( 2 ) ] 02 2 2 1 2ABlm g lm g m v m v m l ?? ? ? ? ?－ lv A??而glmmmmvvBA62 11?????滑塊 A向左平移 ？ 理論力學(xué) 00x C xP , v??有0xF? ＝ ，研究整體，因 研究輪 B， Σ 0BM,?因 0B? ? 。 動力學(xué) 48 討論 4: 若桿與圓盤固接為一體，求（ 1）桿初瞬時角速度、角加速度及軸承 O處約束反力；（ 2）桿落至與水平線成 角時，桿的角速度、角加速度？軸承 O處約束反力？ ? O ? ? A mg 2mg B ? ??? 22 3731 rlmJL OO ???系統(tǒng)對軸 O的 動量矩 為 系統(tǒng)對軸 O的轉(zhuǎn)動慣量為 222 222131 lmrmmlJO ??????? ?22 3731 rlm ??系統(tǒng)的 動能 為 ? ? 2222 376121 ?? rlmJE OK ???理論力學(xué) A39。 動力學(xué) 46 O mg 2mg B FOx A BaAa?0 再用 質(zhì)心運動定理 求 O處反力 討論 2: 初始 OA桿水平時軸承 O處約束反力如何求？ ,0?? xF 0?OxFABOy mamamgmgF 22 ????? ,?? ? C i yiy amF00 ,21 ?? lalaAB ??所以 x y 先由 動量矩定理 求 ?0： ?? )F(dd OO MtLm g llmgllmmlt 221231dd 2 ???????? ??? ??lg14150 ??mgF Oy 289?得 FOy 理論力學(xué) 圓盤受力如圖， 根據(jù)對 質(zhì)心的動量矩定理 ，有 0?AAJ ?0,0 ??? AA ??即：盤為平動！ 系統(tǒng)落至 θ角處，受力如圖， 法 1：由 動能定理 ，有 lg7s i n15 ?? ?0)(2213121 222 ??? ?? lmml解得 ?? s i n2s i n2 m g llmg ??求導(dǎo)且注意到 ,dd ?? ?t ?? ?tdd ?? co s1415lg?所以 理論力學(xué) ? ? O A 例 66 已知桿 m、 l，圓盤 2m、 R，初始時 OA桿水平，系統(tǒng)靜止；求落至 θ角時桿的角速度、角加速度。 理論力學(xué) O ?60c o sACx Fma ? FA aA aCA aA 應(yīng)用 平面運動加速度 分析，取 A 為基點。 ,)(?? exCx Fma,)(?? eyCy Fma,)F(?? CC MJ ?解：取 AB 桿為研究對象 ,受力、運動分析 列 平面運動微分方程 ： A B C mg 60176。 動力學(xué) 43 .132,1318,13 32 galgmgF AA ??? ?解得： 例 65 已知 桿長 l ，質(zhì)量 m。 ?? CyKy FF039。 (3)取懸臂梁 CK為研究對象， 受力如圖， 由靜力平衡得： 039。 動力學(xué) 42 C D K H A E B vA ?D vB mg mg FKy MK 2mg 2mg FT FKx FEH FCy FCx （ 2） 取物塊 A與輪 C系統(tǒng)為研究對象， 受力如圖， 由 ?? )F(ddCC MtLm gRRFRmvmRtEHAC???? )221(dd 2?式中 ,AC vR ??mgF EH 34?解得 由 質(zhì)心運動定理 ，有 CxF?0 EHCyA FmgmgFma ???? 2求得 mgFFCyCx ,0 ??Fcy39。 動力學(xué) 41