【正文】 最小核心 123? G( , )I N v G ()Cv202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 80123A BCDE FHIJK MLC10x ?11 / 1 2x ??11 / 1 8x ?11 / 6x ?11 / 3x ?21x?25/6x?213/18x?21/12x??21/18x?30x?31/18x?20x?359x?32/3x?35/6x?31/12x??G圖 三人合作博弈的核心及最小 核心 最小核心 202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 81? 取 ，由強 核心的定義， 應滿足下列條件要求： ? 在上面重心三角形 中，可得 的 為六邊形 EFGHIJ所圍成的區(qū)域。 ? 該線性規(guī)劃的解 即為所求最小 核心對 要求，而其余解 則是最小 核心在 C中所含的分配方案。 值得一提的是 一個合作博弈的最小 ε核心 LC一定存在，但不一定是單點集。若時 才有 ， 可以看到這時的預轉歸不一定滿足一般轉歸中的個體合理條件。非空的預轉歸子集稱為 的 強 核心 （ Strong core），記為 ： （ ） n [ , ]G N v? ?G ?()Cv?*( ) { | ( ) ( ) , , , ( , ) }C v x v S x S S S N S x I N v? ??? ? ? ? ? ? ??202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 75 強 ε 核心 ? 當 ，則放松了對 的要求，到 達某一正數(shù)時，可以使合作博弈的原核心由空集變?yōu)榉强盏膹? 核心； ? 當 ? 當 時，則加強了對 的要求，可以使合作博弈的核心集合變小。 ? 在預轉歸中，保留了轉歸中的群體合理條件，而舍去了個體合理條件。 * * * *12( , , , )nx x x x?* ()x c v???202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 73 預轉歸 定義 設有 人合作博弈 ， 是一個 維向量，滿足 （ ） 則 稱為 G的一個 預轉歸 （ preimputation）。 ? 對核心存在的兩個問題解決的另一有效方法是引入強 －核心的概念。此時，可選擇 求解下面的數(shù)學規(guī)劃： * ()z v N?* ()z v N?( { } ) , 1 , 2 , ,id v i i n??1212m a x ( ( { 1 } ) ) ( ( { 2 } ) ) ( ( { } ) ). ( ) ( ) , ,()nnx v x v x v ns t x S v S S N Sx x x v N? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 72 核心存在的問題 ? 由定理 ，上面數(shù)學規(guī)劃有唯一解 。反之，當 ，則該博弈的核心為空集。 ? 對一個 人合作博弈，其核心是否為空集，可以用下面線性規(guī)劃求解進行判斷： n[ , ]G N v?12m ins . t ( ) ( ) ( 5 .2 .1 2 ),nz x x xx S v SS N S ?? ? ? ??? ? ?202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 71 核心存在的問題 ? 以上線性規(guī)劃的由來，包括對核心的基本要求以及轉歸中的個體合理條件。 [ , ]G N v? {1, 2 , 3}N ?( ) 0( { 1 } ) ( { 2 } ) ( { 3 } ) 023( { 1 , 2 } ) ( { 1 , 3 } ) ( { 2 , 3 } )34( ) 1vv v vv v vvN? ?? ? ?? ? ??，()Cv ??202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 70 核心存在的問題 ? 從以上例題可以看出，在合作博弈 中，核心是一個非常合理的解概念，但是它 存在兩個問題 ： （ 1）核心可能是空集。 現(xiàn)三人合作后應該對所得 如何分配 ？ 202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 67 合作收益如何分配的例子 ? 這是一個三人合作博弈問題 ， ， 特征函數(shù) 為： ? 由核心 的定義，轉歸 的 充分必要條件 為： [ , ]G N v? {1, 2, 3}N ?( ) 0 ( { 1 } ) 2 0 ( { 2 } ) 3 0 ( { 3 } ) 1 5( { 1 , 2 } ) 6 0 ( { 1 , 3 } ) 4 0 ( { 2 , 3 } ) 6 5 ( { 1 , 2 , 3 } ) 1 0 0v v v vv v v v? ? ? ? ?? ? ? ?， ， ， ， ，()Cv 1 2 3( , , ) ( )x x x x C v?1 2 31 2 1 3 2 31 2 3( { 1 }) 20 ( { 2 }) 30 ( { 3 }) 15( { 1 , 2 }) 60 ( { 1 , 3 }) 40 ( { 2 , 3 }) 65( { 1 , 2 , 3 }) ( ) 10 0x v x v x vx x v x x v x x vx x x v v N? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?， ， ，化簡： 32110 0 60 ,10 0 40 ,10 0 65 ,xxx??????即即即32140,60,35,xxx???202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 68 合作收益如何分配的例子 ? 畫出平面上的重心三角形 （即高為 的等邊三角形），以及各不等式要求，可作圖如下 ? 可知，在上圖中轉歸集 為三角形△ MNQ內的點集，而陰影六邊形 ABDEFG為核心 ，其中 6個頂點的坐標分別為 A（ 20， 60， 20）， B（ 20， 40， 40）， D（ 30， 30， 40）， E（ 35， 30， 35）， F（ 35， 50， 15）， G（ 25， 60， 15）。 ? 若局中人 1和 2合作 ，將企業(yè)承包給第三方，可獲得 60萬元； 若局中人 1和局中人 3合作 ，由于融資的不暢，但仍可獲得 40萬元；若局中人 2和局中人 3合作 ，進行其他項目開發(fā)，考慮到技術原因造成的項目風險，因而年均可獲得 65萬元。因而所需證明的逆否命題成立。又因為由（ ）式有： 可知 。為此，令 滿足下面條件的實數(shù)： （ ） 令： （ ） x ()x C v?()x C v? ( ) ( )v S x S?{}iyx ?10 [ ( ) ( ) ]v s x sS?? ? ? 1 [ ( \ ) ] iix i Sy x N S S i SnS??????? ???? ??當當202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 65 充分必要條件 顯然有：當 時， 由于 其中，前一個不等號來自（ ）式；后一個不等號來 自定理假設，具有弱超可加性。 由定理條件，博弈 G是一個實質性博弈，因而可以認為已被轉 為（ 0， 1）規(guī)范化形式。 假設， 被某個轉歸 ，占優(yōu)，即 ，則由占優(yōu)的定義，存在某個 ，使得： 這與 相矛盾。 證明： 必要性 。 核心和 ε 核心 ※ 定義 核心的定義 ※ 定理 充分必要條件 ※ 一個關于合作博弈收益分配的例子 ※ 定義 預轉歸 ※ 定義 強 ε核心 ※ 定義 最小核心 202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 62核心的定義 定義 設 是一個 人合作博弈，存在一個轉歸 ，使得對所有 ，滿足 : （ ） 則這種轉歸 組成的集合稱為 的 核心 （ Core） ,并記為 。往往稱這種聯(lián)盟 為 的 “阻塞”聯(lián)盟 。 ? 如果有 則由定義 （ ） 和 （ ）， 有 這也與轉歸定義 。 ()vS() iisv S y???202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 59 轉歸之間的占優(yōu)關系 ? 上述定義的聯(lián)盟 不含單人聯(lián)盟 和大聯(lián)盟 。而當 （ ） 式不成立，即 時，聯(lián)盟 S不能保證其成員能得到分配方案 y中的支付，也就無力去反對分配方案 x。記為： （ ） 1 2 1 2( , , , ) , ( , , , )nnx x x x y y y y??[ , ]G N v? , ( , )x y I N v? SSN?() iisv S y?? ?,iiy x i S??y Sxy xsSyxxs202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 58 轉歸之間的占優(yōu)關系 ? 條件（ ） 稱為 可行性或有效性 （ effectiveness） 條件 。 1()n iix v N???1()n iix v N???202233 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 57轉歸之間的占優(yōu)關系 定義 若有 是合作博弈 兩個轉歸，即 ， 是博弈的一個非空聯(lián)盟， 。 這個條件可以理解為：任何一個個體參加到合作博弈中，他分配所得到的至少應該比單干好，否則他不會同意這種分配。對于一個實質性的合作博弈，有無窮多個轉歸。全體轉歸稱為轉歸集 ，記為 。 轉歸與占優(yōu)原則 ※ 轉歸集的定義 ※ 個體合理性條件 ※ 群體合理性條件 ※ 轉歸之間的占優(yōu)關系 202233