【正文】 如果工作，他將得到能夠維持他生存的薪水，同。 圖 凸集 H的中帕累托邊界直線為： 而連接初始參考點 和理想點 的直線為： ，因此 RKS談判解 為下列方程組的解： 經(jīng)求解： 2R**( , ) ( 132 / 35 , 187 / 70) ( 7, 7 )uv ??3 4 2 2uv??** 2 2 1 1( , ) ( , )75uv ?22 22( , )57M ? 105 140 22uv??3 4 2 21 0 5 1 4 0 2 2uvuv???????( , ) ( 132 / 35 , 187 / 70) ( , )uv ?? 0 2 4 624Muv( 1 , 3 )( 2 , 4 )( 4 , 1 ) ( 6 , 1 )《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 72167。經(jīng)求解可得 。 0uv????x ux?yl n( 10 ) l n( 10 )vy? ? ? c20ln10uv ??uv0l n 210M?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 70 該談判問題的理想點 。他們對 10萬元盈利進行分配。在此，我們?nèi)匀? 若局中人 1是公司老板，其收益為 ，增加的效用 。 在 RKS談判解中，兩個人的收益效用轉(zhuǎn)換稱為可自由配置（ free disposal） 。 , 0 , 0 , ( , ) }D u v u u v u u v H? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?( , ) ( , , )u v H u v? ???1 1 2 2 1 1 2 2( , , ) ( , )T u v u v? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?( , )u v H? ( , )v u H? ?? ? vuvu ?TH? ( , , ) ( , , )T u v H u v??? ? ? ??《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 67 定義 滿足上述 Kalai和 Smorodinsky提出公理體系下的 ，稱為 RKS談判解 。) | 39。 公理 7（單調(diào)性） 若 ，則 ),(),( ??? vuvu( , )u v H?( , )u v H? ),(),( vuvu ?( , ) ( , )u v u v?1 1 2 2 1 2{( 39。作一條連接 和 的直線，該直線與可達集 H的邊界相交交點 稱為 RKS談判解 設(shè) 2人談判解的可達集 H是 一個凸集 ， 為談判的 初始參考點 ， 兩個局中人可 接受的 RKS談判解結(jié)果為 ， 令 。 其它談判解 ※ RKS談判解 ※ RKS談判解的公理體系 ※ 定理 談判解的唯一性定理 ※ 例題求解 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 65RKS談判解 RKS談判解 （ RaiffaKalaiSmorodinsky bargaining solution ） ,它由 Raiffa（ 1957）提出，而由 Kalai和 Smorodinsky對該模型進行公理化。 則得到 不同的納什談判解 ： 分別如右圖所示。記 (1) 為 初始參考點 ， 為納什談判解；（ 2） 為 最小期望點 ， 為以 為初始參考點所得的納什談判解；（ 3） 為 最小妥協(xié)點 ， 為以 為初始參考點所得的納什談判解；（ 4） 為含 的 最小矩陣的中心 ， 為以 為初始參考點所得的納什談判解。 S 2R 11( , , ) ( ( , , ) , ( , , ) )M S u v u S u v v S u v? ? ? ? ? ??S 2R 12( , , ) ( ( , , ) , ( , , ) )m S u v m S u v m S u v? ? ? ? ? ??SS 2R1 1 1 2( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )( , )22u S u v m S u v v S u v m S u v? ? ? ? ? ? ? ???SS 2R12,u u u u?? 1vv? 2vv?SS《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 62 納什談判解初始參考點除了前面介紹的 1和 2之外還可以有 下列的選取法： 3. 采用 的 最小期望點 作為新的初始參考點； 4. 采用 的 最小妥協(xié)點 作為新的初始參考點； 5. 包含 的 最小矩形的中心 作為新的初始參考點。 定義 設(shè) 是平面 上的凸集，由 ， 和 所圍成矩形稱為含 的最小矩形。 定義 設(shè) 是平面 上的凸集， 稱為 的 最小期望點 。 ( , )uv??( , )uv??( , )uv??《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 60 設(shè)結(jié)果集或可達集 是一個有界凸集。 在例 ，采取的是保守收益點方法確定 。即用（ ）式和（ ）式求 ； 2. 納什均衡結(jié)果 。 其它談判解 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 58167。 初始參考點和其它談判解 167。 可達集 在 點的切線即為（ ）表示的直線，斜率為 。由（ ）可以得： 代入（ ）式 得出 ，代回到 ，得到 。 6 1 1 3,2 4 4 1AB? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?3 2 3 4( ( , 1 ) , ( , 1 ) ) ( ( , ) , ( , ) )5 5 7 7x x y y? ? ? ?? ? ?2 2 1 1( , ) ( , )75uv?? ?S 2RS《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 54 帕累托邊界：（ 2， 4）和（ 6， 1）兩點連成的線段。 ( , )g u v Su20ln2 0 1 0uuu???5. 44u? ? 5. 44xu???10 4. 56yx? ? ?例題 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 53例題 例 考慮下面的雙矩陣博弈 若兩個局中人能通過契約進行合作，那么對合作的收益應(yīng)如何分配，即納什談判解 是什么？ 先求納什均衡以將其作為談判初始參考點。即公司老板分配得 萬元，而雇員分得 萬元。則有 （ ） 則結(jié)果集 為下圖所示，其中 的右上曲線（即帕累托最優(yōu)邊界 ）為 。公司老板是富有的，如他能分到盈利 ，他所增加的效用為 。 S0S11PT11PT1PSCT2SSCT3S0S《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 50例題 例 設(shè)有一雇員為公司老板打工，若雇員打工后可為公司一年盈利 10萬元，而雇員不打工，則無盈利，那么對這 10萬元盈利應(yīng)如何分配？ 假設(shè)雇員本人總共有資產(chǎn)價值 10萬元，若能分到盈利 ，他所增加的效用為 ，令 ， 為大于 0的一個常數(shù)。若 的斜率等于 BC斜率的相反數(shù)，則對 上任一點 U，作為初始談判點，那么它們的納什談判解都是 。在 TP上任意一點 U作為初始談判點，其納什談判解仍是 P點。如果 的帕累托最優(yōu)邊界是光滑的，那么這條支撐線其實就是過談判點 的切線。 0S S《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 48 定理 殊的關(guān)系。)u v S?uu?39。 圖 圖 ( , )uv?? 2 ( 4 .3 .1 4 )2u v auv u av????? ????????????( , , )S u v?? ),( vu S 0SS 0S ( , )u v S? ( 39。因為 是凸的，因此 是這些 的點：不存在一個 ，使得 并且 。例如，兩人談判 問題的結(jié)果集在直線 的左下方。再從（ ）式看，該直線的斜率為： 而連接 和 直線斜率為 ，正好是上式的 相反數(shù) 同時， 反映了在談判過程中，兩個局中人可以接受的效用轉(zhuǎn)換率 。若取等號，即有： （ ） 上式右端是一個常數(shù)，因此上式 是 上的一條直線，對于任意 中的 點 都在該直線的左下方。滿足納什公理體系（公理 1— 公理 6）的 納什談判解 也簡稱為 談判解 ，有的教材也稱為 納什解 。39。39。此時從公理 1至公理 3可以看出不存在其它的解，且滿足從公理 1到公理 6也只有這樣的 唯一解 。此時從公理 1至公理 3可以看出不存在其它的解，且滿足從公理 1到公理 6也只有這樣的 唯一解 。而這個問題的最優(yōu)解是唯一的，所以 是 唯一最優(yōu)解 。根據(jù)公理 3 ，它即為點 根據(jù)上述線性變換的反變換，由公理 5可知， 一定是 的解。 2 }T u v u v? ? ?),( vu定理 （續(xù)） 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 44 此時，由（ ）式有 。) | 39。 2uv??{ ( 39。u u v vuvu u v v??????),(),( vuhvuh ? ( ) ( ) ( ) ( )v v u u u v v v u u u v? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) 0v v u u u u v v??? ? ? ? ? ?,u u v v???? 0u u v vu u v v??????0u u u u v v v vu u u u