【正文】 雙矩陣博弈的納什均衡 ※ 雙矩陣博弈納什均衡的求解 ※ 例 含一個(gè)參數(shù) 的 雙矩陣博弈 ※ 例 小偷與守衛(wèi)的博弈 22?22?a 22?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 85 雙矩陣博弈納什均衡的求解 ※ 存在策略占優(yōu)時(shí)納什均衡的求解 ※ 不存在策略占優(yōu)時(shí)納什均衡的求解 22?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 86存在策略占優(yōu)時(shí)納什均衡的求解
。由定理 ， 是 的混合策略納什均衡。因此根據(jù)（ ）式，有 ,即 。由此可得 : 。 由（ ）有： 。 是 的連續(xù)函數(shù)，所以 是 的連續(xù)函數(shù)。對(duì)于每個(gè) 的每個(gè)純策 ， ，定義 對(duì)于每個(gè) ，定義 12( , , , )nx x x x? GiN? ()iks1, 2 , , ikm?()( ) m a x { 0 , ( ) ( ) }iik i k ix E x s E x? ??() () , 1 , 2 , , , 1 , 2 , ,ikix k m i n??()()1()1 ( )iii k ikk mikkxxyx?????? ?() 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 81定理 (續(xù) ) Brouwer 不 動(dòng) 點(diǎn)定理：定 義 在有限 維歐 式空 間緊 凸集 S上 從 S映入其本身的連續(xù) 映射必有不 動(dòng) 點(diǎn) 。 由此可知， 是 的混合策略納什均衡。 設(shè)（ ）式成立，即對(duì)于每個(gè) 有 ， （ ） 設(shè) 是局中人 的任意一個(gè)混合策略。 顯然成立。 （ ） 這里 是將局中人 的混合策略 換成一個(gè)純策略 后的期望支付。 { ( )}iEx?12( , , , )nx x x x? ? ? ?? nGNi?iixX?( || ) ( )i i iE x x E x??? ni ,2,1 ???x G()iEx 12( , , , )nx x x x? i《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 76 混合策略納什均衡點(diǎn)的存在性定理 定理 混合策略納什均衡點(diǎn)的充分必要條件 定理 混合策略納什均衡點(diǎn)的存在性 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 77定理 設(shè) 是 人非合作博弈。如果對(duì)于每一個(gè) 和每個(gè) ，有 : ， ， （ ） 則稱 是 （在混合策略下）的一個(gè) 混合策略納什均衡點(diǎn) ， 為對(duì)應(yīng)的 均衡結(jié)果 。 i iSiiX( ) ( ) ( ) ( ) ( )121{ ( , , ) , | 0 , 1 , 2 , , , 1 }imi i i i ii i m i k i kkX x x x x x k m x?? ? ? ? ??12( , , )nx x x x? G《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 74混合策略下 n 人非合作博弈三要素 (1)局中人的集 ； (2)每個(gè)局中人 有一個(gè) 混合策略的集 其中 滿足（ ）； (3)每個(gè)局中人有一個(gè) 支付函數(shù) 并設(shè) 是局中人 的支付函數(shù) 在混合策略局勢(shì) 下得到的期望支付。 iN?i( ) ( ) ( )12{ , , , }i i ii m iS s s s?i()iks()ikx( ) ( ) ( )12( , , , )i i ii m ix x x x?i() 0ikx ? 1 , 2 , , ikm? ()11imikkx???《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 73混合策略的定義 局中人 混合策略就是定義在其純策略集 上的一個(gè)概率分布。若局中人 對(duì)每一個(gè)純策略 以 概率 進(jìn)行選擇，則 被稱為局中人 的一個(gè) 混合策略 。 雙矩陣博弈的納什均衡 22?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 71167。 混合策略納什均衡 167。 ? 求 并且令 ，有最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)如下： （ ） （ ） （ ）（ ） 式聯(lián)立解方程組得： （ ） ipiip???0iip?? ??121120p c t pp?? ? ? ? ? ??2 12220p c t pp?? ? ? ? ? ??**12p p c t? ? ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 69豪泰林價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型（續(xù)） 即為納什均衡點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的均衡結(jié)果，即每個(gè)商店的均衡利潤(rùn)為： **12( , )pp12 2t????《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 70167。那么存在一點(diǎn) ，住在 左邊的消費(fèi)者都將到商店 1去購(gòu)買，住在 右邊的消費(fèi)者都將到商店 2去購(gòu)買，我們說(shuō)住在 處的消費(fèi)者在兩個(gè)商店之間是無(wú)差異的。 0?x 1?xcttx )1( xt ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 66豪泰林價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型（續(xù)） ? 模型的建立 —— 令 為商店的商品 的價(jià)格 ，商店 的出價(jià)，即是它的策略，因而商店 的策略集為 ， 。為方便討論，再假定消費(fèi)者都有單位的物質(zhì)需求，即消費(fèi) 1個(gè)單位消費(fèi)品。消費(fèi)者購(gòu)買商品的旅行成本與離商店的距離成正比例，單位距離的成本為 。假設(shè)有兩個(gè)商店分別位于城市的兩端，商店 1位于處 ，商店 2位于處 ，他們出售物質(zhì)性能相同的產(chǎn)品。但在更多的實(shí)際問題中，不同的企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品是有差異的，替代彈性不會(huì)是無(wú)限的，此時(shí)消費(fèi)者對(duì)不同的產(chǎn)品有不同的偏好。這就是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的 “ 公共地的悲劇 ” 。并由（ ）式， 個(gè)牧民養(yǎng)羊的總收益低于社會(huì)計(jì)劃管理者的總收益。39。 39。( ) ( ) ( )f G v G G v G??* * * * 39。 * *1( ) ( ) ( ) ( )v G G v G v G G v Gn? ? ?() 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 62例 公共地的悲劇 (續(xù) ) 令 由（ ）式和（ ）式有： 由（ ）式和（ ）式得： 由（ ）和（ ）有： () () () () 由于 個(gè)牧民是對(duì)稱的，則他們分散養(yǎng)羊的總收益為： ，而社會(huì)計(jì)劃管理者的養(yǎng)羊帶來(lái)的總收益為 : 。 * *( ) ( ) 0v G G v G c? ? ?* **GG?* * 39。 *1( ) ( ) 0v G G v G ? ? ?ni《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 61例 公共地的悲劇 (續(xù) ) 若草地是由社會(huì)計(jì)劃者管理，社會(huì)計(jì)劃者選擇草地的最優(yōu)牧 養(yǎng)量是 ，則 應(yīng)該是下式的解： 若上式的最優(yōu)解為 ，則 應(yīng)滿足 （邊際收益等于邊際成本），即： 比較（ ）式和（ ）式，下面我們證明 。 令 ，則由（ ）式得： 再將（ ）的 個(gè)方程加總，有： () () n *iq1, 2 , ,in? n**ijqq? **,ij ij???? , 1 , 2 , ,i j n?* * * *12 nG q q q? ? ? ?* * 39。 在 個(gè)牧民分散獨(dú)立決策牧養(yǎng)羊情況下，設(shè) 是第 個(gè)牧民的養(yǎng)羊數(shù) 最優(yōu)決策， 。 ni? iq? iqiiq??? 0iiq?? ??39。很明顯， 在任何 時(shí)，都是 的凹函數(shù)。當(dāng)其他村民養(yǎng)羊數(shù)為 時(shí)，牧民 牧養(yǎng) 只羊獲得的收益為： 現(xiàn)在要討論的問題是：牧民 如何決定自己的牧養(yǎng)羊數(shù) ， ，以獲得自己的最大收益 。假設(shè)其是連續(xù)的可分割的。39。 niqi 12 nG q q q? ? ? ?G()vG ( ) 0vG ? GGGmaxG()vG39。并有當(dāng)羊群總數(shù) 達(dá)到一個(gè)極限 時(shí)，再增加一只羊?qū)?duì)已經(jīng)牧養(yǎng)的羊帶來(lái)?yè)p害。當(dāng)草地上羊的總頭數(shù) 較少時(shí)，每只羊有相對(duì)較多的空間，每只羊能吃到的草也豐盛些。購(gòu)買羊崽和照看一只羊的成本為 c， c不隨某一牧民擁有羊的樹目的多少而變化。每年所有的牧民都會(huì)在共同的草地上放牧養(yǎng)羊。另外企業(yè) 的策略 是所選價(jià)格 ，也即每個(gè)企業(yè)的策略集 。企業(yè)生產(chǎn)沒有固定成本，并且邊際成本為常數(shù) ， 。廠商 1和廠商 2分別選擇價(jià)格 和 。 博弈論的一