【正文】 例題 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 90? 在該信號(hào)博弈中，自然賦予每個(gè)類型的可能性是相同的，接收者在收到 L信號(hào)后的信息集 有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，設(shè)接收者的信念分別為 ，在圖中用 [ ]標(biāo)記；在收到 R信號(hào)后的信息集 。對(duì)應(yīng)接收者也有 4個(gè)純策略，（ u，u），（ u， d），（ u， d），（ d， d）。因此，發(fā)送者有4個(gè)純策略（ L， L），（ L， R），（ R， L），（ R， R）。 如果 發(fā)送者 的策略是混同或分離的，我們稱均衡分別為混同均衡和分離均衡。亦即 為下式的解 ? 要求 3 對(duì)信號(hào)集 M中的每一 ，如果在類型集 T中存在 ，則接收者對(duì)應(yīng)于 的信息集 中所持有的信念必須取決于貝葉斯法則和發(fā)送者的戰(zhàn)略： )( jma? ()imt?))(,(m a xa rg)( jjismimamtUtmj?? ?jmjm()jhmji mtm ?? )(( | ) ( )( | )()j i iijjp m t p ttmpm???1( ) ( | ) ( )mj j i iip m p m t p t????()imt?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 87 信號(hào)博弈的精煉貝葉斯均衡要求 ? 要求 4 對(duì)處于均衡路徑之外的信息集，信念由貝葉斯法則及可能情況下局中人的均衡策略組合決定。 11( , )aa12( , )aa 21( , )aajm12aa和22( , )aa《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 85信號(hào)博弈的精煉貝葉斯均衡要求 ? 要求 1 當(dāng)接收者在觀測(cè)到 M中的任何信號(hào) 之后，依據(jù)對(duì)哪些類型可能發(fā)送信號(hào) 有一個(gè)信念概率表示 且 ， ? 要求 2R 對(duì)接收者，他對(duì)每一個(gè)信號(hào) ，依據(jù)對(duì)哪些類型可能發(fā)送信號(hào) 的信念概率 的條件下，選擇行動(dòng) ，并使自己效用最大化。當(dāng)接收者在觀察到某一信息 后，隨機(jī)地選擇 ，也有相對(duì)應(yīng)的混合策略，同樣，我們也將此稱為接收者的 雜合策略 。 12mm和21( , )mm12( , )mm11( , )mm 22( , )mm《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 83信號(hào)博弈的接收者純策略 1． ：如果收到發(fā)送者信號(hào) ，選擇 ； 如果收到發(fā)送者信號(hào) ，選擇 ； 2． ：如果收到發(fā)送者信號(hào) ，選擇 ； 如果收到發(fā)送者信號(hào) ，選擇 ； 3． ：如果收到發(fā)送者信號(hào) ，選擇 ； 如果收到發(fā)送者信號(hào) ，選擇 ； 4． ：如果收到發(fā)送者信號(hào) ，選擇 ； 如果收到發(fā)送者信號(hào) ，選擇 。 當(dāng)發(fā)送者在同一類型下，隨機(jī)地選擇 ，也有相對(duì)應(yīng)的混合策略 ，對(duì)此，我們稱為 雜合策略 。 },{, 1 Ii ttTTt ???()ipt0)( ?itp( ) 1ii pt ??it },{ 1 JmmM ??jmjm },{ 1 KaaA ??ka),( kjis amtu ( , , )r i j ku t m ait《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 81信號(hào)博弈的發(fā)送者純策略 1． ：如果自然賦予類型 ，選擇信號(hào) ； 如果自然賦予類型 ，選擇信號(hào) ； 2． ：如果自然賦予類型 ，選擇信號(hào) ； 如果自然賦予類型 ，選擇信號(hào) ； 3． ：如果自然賦予類型 ，選擇信號(hào) ； 如果自然賦予類型 ，選擇信號(hào) ； 4． ：如果自然賦予類型 ，選擇信號(hào) ； 如果自然賦予類型 ，選擇信號(hào) 。 3．接收者 r觀測(cè)到 ，然后從可行的行動(dòng)集 中選擇一個(gè)行動(dòng) 。對(duì)發(fā)送者類型的先驗(yàn)信念 是共同知識(shí)，且 ， 。 信號(hào)博弈 ※ 信號(hào)博弈的時(shí)間順序 ※ 信號(hào)博弈的發(fā)送者純策略 ※ 信號(hào)博弈的接收者純策略 ※ 信號(hào)博弈的精煉貝葉斯均衡要求 ※ 精煉貝葉斯均衡定義 ※ 例題 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 80 信號(hào)博弈的時(shí)間順序 1．自然賦予發(fā)送者某種類型 是發(fā)送者的類型空間。 ? 在不完全信息動(dòng)態(tài)博弈中，若局中人在某一中類型有多個(gè)行動(dòng)，并在同一信息集中，則先驗(yàn)判斷概率直接用于對(duì)信息集中所處結(jié)點(diǎn)的后續(xù)結(jié)果和可能的均衡，進(jìn)行各節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)信息的概率判斷，如例 。 ? 因此，精煉貝葉斯均衡是一個(gè)對(duì)應(yīng)的不動(dòng)點(diǎn) ： （ ） 12( , , )np p p p? ? ? ?? ))(,),(()( 11 nnsss ??? ??? ? ?))(,),(()( 11 nnsss ??? ??? ? ?( , )sp??( ( ) ) 。如果 不是均衡策略下的行動(dòng)，則是前面敘述中要求 4所提及的“不在均衡路徑上”，那么對(duì)任意 都是允許的，但它必須與均衡策略組合相容。它表明在其它局中人策略 和局中人 的后驗(yàn)信念 給定以后，局中人 的戰(zhàn)略從信息集 開始以后的后續(xù)博弈上都是最優(yōu)的，因此，在信息集 開始的后續(xù)博弈中構(gòu)成了貝葉斯均衡。 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 73精煉貝葉斯納什均衡正式定義 符號(hào)規(guī)定 1 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 74精煉貝葉斯納什均衡正式定義 符號(hào)規(guī)定 2 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 75定義 在不完全信息動(dòng)態(tài)博弈中，精煉貝葉斯均衡是 一個(gè)策略組合 和 一 個(gè)后驗(yàn)概率組合 它們滿足： （ 1）對(duì)每一個(gè)局中人 和每個(gè)信息集有 （ ） （ 2） 是使用貝葉斯法則從先驗(yàn)信念 ，觀測(cè)到的 和最優(yōu)戰(zhàn)略 得到的（在可能的情況下）。 ? 該博弈滿足要求 1到要求 4的精練貝葉斯納什均衡為 (D,L,R’) 1p?0p?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 72精煉貝葉斯納什均衡的四個(gè)要求（ 4） ? 綜合上面要求 1到 4，在完全但不完美信息動(dòng)態(tài)博弈中，精練貝葉斯均衡要求不只是一個(gè)簡(jiǎn)單的均衡策略組合，而且還要求相對(duì)應(yīng)的每個(gè)信息集中決策結(jié)點(diǎn)的信度推斷?？疾榧{什均衡（ A,L,L’ ）和局中人 3的推斷 ，這個(gè)納什均衡也滿足要求 1和要求 2，但它不是子博弈納什均衡。這一組策略組合和局中人 3的推斷 滿足了 ，要求 1到 3，也滿足了要求 4。 見例 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 70精煉貝葉斯納什均衡的四個(gè)要求（ 4） 例 考慮下面的三人博弈，其擴(kuò)展式表示及規(guī)范式表示如下： 2,0,0 2,0,0 3,3,3 0,1,1 2,0,0 2,0,0 1,2,1 0,1,2 1 2 2 3 A D R L R L 圖 三人博弈擴(kuò)展式 表 三人博弈規(guī)范式 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 71精煉貝葉斯納什均衡的四個(gè)要求（ 4） ? 該博弈有一個(gè)子博弈：它始于局中人 2 的單點(diǎn)信集。 這時(shí) 。右邊決策結(jié)點(diǎn)是在（ R,B）均衡路徑上；因此，局中人 2對(duì)右邊決策結(jié)點(diǎn)的 置信推斷 必然是 ，即 。反之，我們稱之為處于均衡路徑之外的信息集。 2 (1 ) 1 1p p p? ? ? ? ? ?1 pp??p1 ( 1 ) 0p p p? ? ? ? ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 66精煉貝葉斯納什均衡的四個(gè)要求（ 3） 要求 3 在 處于均衡路徑上 的信息集，其 推斷 由貝葉斯法則及局中人的均衡戰(zhàn)略 給出 。 1pp?和 [0,1]p ?精煉貝葉斯納什均衡的四個(gè)要求（ 2） 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 65精煉貝葉斯納什均衡的四個(gè)要求（ 2） ? 按照 2的要求，給定局中人 2的推斷， 局中人 2選擇 A的數(shù)學(xué)期望為： 局中人 2選擇 B的數(shù)學(xué)期望為： 由于對(duì)任意 都有 ，因此局中人 2必定選 B，因而排除了 A。 ? 按照 1的要求，若博弈進(jìn)行到局中人 2行動(dòng)時(shí)，它的兩個(gè)決策結(jié)點(diǎn)是在同一個(gè)信息集中。因此（ L,A）和（ R,B）都是子博弈完美納什均衡。 其博弈的過程和結(jié)果用 擴(kuò)展式表示為 用規(guī)范式表示為 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 64? 從博弈規(guī)范式可以得到，該博弈有兩個(gè)純策略納什均衡（ L,A）和（ R,B）。后續(xù)博弈策略是指，后續(xù)博弈的每一種情況的完全的行動(dòng)計(jì)劃。即每一個(gè)局中人對(duì)于給定的信息集上的信息推斷以及 后續(xù)博弈的策略都必須是 最優(yōu) 反應(yīng)。 2a1a 1 6p ?2b1b 2k?2 8p ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 60 博弈過程和兩階段兩人的總收入圖 精煉貝葉斯納什均衡的四個(gè)要求（ 1） 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 61? 由上圖可知局中人 2必須要有一個(gè)對(duì)所在結(jié)點(diǎn)的置信度。 局中人 1在第一階段有收入，第二階段也有收入，而局中人 2只在第二階段有收入。 博弈的第二階段是局中人 2在知道局中人 1的定價(jià)后，決定是否進(jìn)入。 精煉貝葉斯納什均衡的四個(gè)要求（ 1） 1t 2t1( ) 0. 3pt ?2( ) ?21cc?2c《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 59精煉貝葉斯納什均衡的四個(gè)要求（ 1） 博弈進(jìn)行的第一階段是生產(chǎn)廠商對(duì)產(chǎn)品定價(jià)。 局中人 2為進(jìn)入廠商，他不知道局中人 1的具體類型，只有一個(gè)共同知識(shí)，即類型方面的概率分布： 和 。新廠商對(duì)該廠生產(chǎn)成本的高低具有一個(gè)共同知識(shí)的概率分布，但當(dāng)他看到產(chǎn)品的定價(jià)以后，將對(duì)生產(chǎn)廠商的類型分布給出一個(gè)新的修訂評(píng)價(jià)，以決定它是進(jìn)入該種產(chǎn)品生產(chǎn)還是不進(jìn)入該種產(chǎn)品生產(chǎn)。 見例 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 57精煉貝葉斯納什均衡的四個(gè)要求（ 1） 例 有