【正文】 應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 30 由第一步的選取是等可能的，則選取 A， B和 C的概率分別是 ，因而商家的期望收益為： 。 上面兩個條件的約定實際上是博弈中局中人策略選擇的理性規(guī)定，稱之為博弈的相關(guān)均衡 。（提示： ） 1 1 1 1( 3 .5 , 3 .5 ) ( , )33?( 4 , 4) ( 3. 5 , 3. 5 )?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 32相關(guān)均衡是一種機制設(shè)計的思想 博弈的相關(guān)均衡的確立是一種機制設(shè)計的思想，這種機制設(shè)計滿足納什均衡的思想，這種機制設(shè)計必須使博弈的局中人對博弈有足夠的理解和相互的信任，因為約定是沒有法律效力的。 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 33167。如何使局中人能得到的收益達(dá)到公平合理，納什給出了 納什公理體系 ，并推導(dǎo)出納什解的結(jié)果。局中人 1取混合策略 ，局中人 2取混合策略集 ，局中人 1和 2的支付矩陣分別是 A和 B，即 。即任何 表示兩個局中人可以共同行動，分別獲得收益 。那么一個局中人能同意讓對方得到多少呢？給對方少一些所得，對方是否會接受呢？這構(gòu)成了兩個局中人的談判問題。 局中人注意到 往往是 的一個內(nèi)點，他們想以 為談判的初始點，在 中尋找比 更高的收益，并且是雙方都能接受的，記為 ，并稱 為 納什談判解 。 公理 6（對稱性） 如果對任意 ，都有 ， 若 ，則 ),(),( ??? vuvu( , )u v S?( , )u v S? ),(),( vuvu ? ),(),( vuvu ?( , ) , ( , ) ( , , )u v T S u v S u v? ??? ? ?),(),( ??? vuTvu ?1 1 2 2 1 2{( 39。) | 39。 , 0 , 0 , ( , ) }T u v u u v v u v S? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?( , ) ( , , )u v S u v? ??? 1 1 2 2 1 1 2 2( , , ) ( , )T u v u v? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?( , )u v S? ( , )v u S??? ?vu vu ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 38納什談判解的定義 定義 滿足上述納什公理體系下的稱為 納什談 判解 （ Nash bargaining solution）。若有 滿足 ，則下面的規(guī)劃有唯一的最優(yōu)解： （ ） 定理 若 是定理 ，令函數(shù) （ ） 則 有 。 證明過程：定理 定理 定理 見 S ),( ?? vu ( , )u v S??? ?? vvuu ,m a x ( , ) ( ) ( ). .( , )g u v u u v vs t u v Suu???? ? ???),( vu( , ) ( ) ( )h u v v v u u u v??? ? ? ? ? ?( , )u v S?? ),(),( vuhvuh ?S ( , )uv??( , , )S u v? ??《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 40定理 ? 最優(yōu)解的 存在性 。 ? 最優(yōu)解的 唯一性 。設(shè)有 和 都是最優(yōu)解且 ，不妨假定 設(shè) 由于 是凸集， 。這與 和 都是最大值點矛盾。 {}S u u??),( 11 vu ),( 22 vu1 2 1 2,u u v v?? 2121 , vvuu ??1 2 1 2? ?( ) / 2 , ( ) / 2v v v u u u? ? ? ?S? ?( , )u v S?1 2 1 21 1 1 2 2 1 2 21 1 2 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )? ?( , )221[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]41 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4u u u u v v v vg u vu u v v u u v v u u v v u u v vu u v v u u v v u u v v? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?),(),()?,?( 2211 vugvugvug ?? ),( 11 vu ),( 2 vug《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 41定理 采用 反證法 。令 。此時 。并由（ ）式有 。故 有 ( , )u v S? ),(),( vuhvuh ?)(39。 vvvv ??? ?S ( 39。)u v S?2( 39。) ( 39。 ) ( ( ) ) ( ( ) )( , ) ( , ) ( ) ( )g u v u u v v u u u u v v v vg u v h u u v v u u v v????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?( , ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( , ) 0h u u v v v v u u u u v vh u v h u v??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?0??),()39。( vugvug ?),( vu g ( , )u v S?? ),(),( vuhvuh ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 42定理 令 是定理 。 顯然， 滿足公理 1和 2。因此，它滿足 公理 3。令 ， 。所以 滿足 公理 5。因為，如果 是對稱的，并且 ，我們易知 ： ，而 是 唯一的最大值點，因此 ，也就是說 。,39。( 39。) [ 39。 ( ) ] ( , )g u v u u v v g u v? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?),( vu ),( vug )39。( vu )39。( vugS ???vu( , ) , ( , ) ( , )v u S g u v g v u?? ),( vu ),( vug),(),( uvvu ? vu ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 43 驗證滿足 納什公理體系的 解的唯一性 —— 如上定理 ，考慮如下集合 （ ） 因為 為定理 ，由定理 ， 。 , 39。 39。, 39。 39。又因為 是對稱的，根據(jù)公理 6可知，討價還價解一定在 線上。因為 ，根據(jù)公理 4， 也是 的解。 當(dāng) 定理 ，有兩種情況： 在 第一種情況 里，取 。 在 第二種情況 里，取 。 039。 ?? ?? vu T39。 vu?( , ) (1,1)uv?? ?),( vu( , , )U u v? ?? ( , )u v S?),( vu( , , )S u v? ??),( vu( , , )S u v? ??, ( , ) , ( , )u u v v u v S u u v v u v S? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?， 和 ，( , )m a x ,u v Su u v v????( , )m a x ,u v Sv v u u????),( vu),( vu定理 （續(xù)） 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 45三個定理的說明 定理 ，滿足納什公理體系的談判解 是存在的，并且由定理 ，它即是 函數(shù)在 中求最大值時的最優(yōu)解。 對定理 ：根據(jù)該定理，對 有 。 ),( vu( , )g u v S( , )u v S?? ),(),( vuhvuh ?( ) ( ) ( , )v v u u u v h u v??? ? ? ? ? ?2RS( , )uv《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 46 當(dāng)結(jié)果集 的邊界是光滑的，該直線是 的切線，且切點在點 。 當(dāng)兩個局中人在談判中的 效用轉(zhuǎn)換率為 1： 1時 ，（ ）問題變得更簡單。 SS( , )uv vvk uu????? ?( , )uv ( , )uv?? vvuu????|| vvk uu???? ?| | 1k ?u v a??S三個定理的說明 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 47 若初始參考點為 ，則納什談判解為 根據(jù)公理 3，討價還價問題 的解 一定在 的子集 上。我們稱 為 帕累托最優(yōu)邊界。, 39。vv?39。初始參考點與納什談判解的連線的斜率與過該談判點的 的支撐線的斜率互為相反數(shù)。如圖 ，若 T是初始參考點，P是納什談判解，則 TP的斜率與過 P點 的切線的斜率互為相反數(shù)。 SSSS《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 49 對于雙矩陣博弈來說， 是一個封閉的有限的多邊形，其帕累托最優(yōu)邊界 為折線 ABCD，如圖 。對于像過 C點在 上，左右 “ 切線 ” 的斜率不相等的點，則若初始談判點在 （斜率等于過 C點在 上左 “ 切線 ” 的斜率的相反數(shù)）上， 在 （斜率等于過 C點在 上右 “ 切線 ” 的斜率的相反