【正文】 為 G的一個(gè)行動(dòng)組合，且對(duì)任意 有： 。 這樣的策略，稱為局中人 的 觸發(fā)策略 。 [ , { }, { }]iiG N S P?12( , , , )ns s s s?( ) m a x ( , )iii i i isSs P s s? ??? ??()i s? i s《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 18無限重復(fù)博弈 定理 無限重復(fù)博弈 G的子博弈完美納什均衡 設(shè) 是一個(gè)閉環(huán)策略下的無限次重復(fù)博弈， 是原博弈的一個(gè)均衡點(diǎn)， 是 G的一個(gè)行動(dòng)組合，且對(duì)任意 有 ， ( , )是定義 。 [ , { } , { } , , ]iiG N S P ???css?iN? ( ) ( )ciiP s P s? ?s?csiN?( ) ( )( ) ( )iiciis P ss P s?????????《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 19 無限重復(fù)博弈 例 游船定價(jià)的博弈 有一用于旅游的湖，周圍有 5條供游客用的相同的游船，并分屬 5位船主。在每位船主定價(jià)后，每位船主的需求函數(shù)為： 其收入為： 現(xiàn) 5位船主對(duì)其自身的游船的定價(jià)進(jìn)行博弈，這是一個(gè) 靜態(tài)的 5人非合作博弈 。 ? 若船主 在大家共同約定統(tǒng)一定價(jià) 的情況下， 單獨(dú)降價(jià) ，則他的 最好反應(yīng)支付 為： 當(dāng) 時(shí)，有 最好反應(yīng)支付 。 而當(dāng) 時(shí)，觸發(fā)策略組合 ( , )不是子博弈完美納什均衡。從定理，“合作”下的協(xié)調(diào)政策 的選取，會(huì)影響 的確立。 無限重復(fù)博弈 ( 0. 64 3 ,1]? ?s? cs( 0 , 0. 64 3 ]? ?s? cs??s? ??80s?? ?( ) 12500i s? ?? ? 9 / 16? ?? ?( ) 8000ius ?? ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 23有限重復(fù)博弈 例 雙寡頭壟斷定價(jià)博弈 ? 現(xiàn)有兩個(gè)廠商壟斷生產(chǎn)某一產(chǎn)品，每一個(gè)廠商在定價(jià)上都有策略集， {高價(jià)，中價(jià)，低價(jià) }, ? 其收益函數(shù)如右表。 ? 廠商 2：第一階段選取高價(jià)；若第一階段博弈結(jié)果是（ 5， 5），第二階段采取中價(jià)，否則采取低價(jià)。若在第一階段采取了中價(jià)，第二階段只能采取低價(jià)，他的總收益為 ? 比較廠商 是否愿意違背。 ? 該策略組合是 子博弈完美納什均衡 。 1 / 2? ?1 / 2? ?ii????i6i??? ??《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 26 這種不是由全部納什均衡組合構(gòu)成的子博弈完美納什均衡同樣具有兩個(gè)特征： （ 1）這是一個(gè)“ 胡蘿卜加大棒 ”的策略組合； （ 2）這是 可信的威脅 ，以至于沒有局中人愿意單獨(dú)地違背這種策略組合，這就遵循了納什均衡的原則。 局中人的這種策略稱為有區(qū)別的觸發(fā)策略，其組合稱為有區(qū)別的觸發(fā)策略組合，并記為 。 由于多重納什均衡的結(jié)果對(duì)每個(gè)局中人的結(jié)局不一樣，因此在策略組合違背后的懲罰選擇也不一樣。 ? 懲罰的時(shí)段效應(yīng) 。因而設(shè)置了一個(gè)階段 ，對(duì) 之前對(duì)該觸發(fā)策略的違背，至少 T— t*個(gè)階段進(jìn)行懲罰，從而保證有足夠的懲罰威脅 。原博弈 有 多重納什均衡 ， 其納什均衡集為 ， 在 G中有策略組合 ，且滿足 為貼現(xiàn)率。 [ , { } , { } , , ]iiG N S P T??[ , { }, { }]iiG N S P? cS0 , , 1 , ,ics s S i n??0( ) ( ) ( )ii i iP s P s P s? ?? ( ) m in ( )cciciisSP s P s??iN??0( ) ( ) ,( ) ( ) ( ) ( )iici i i is P s iNs P s P s P s??????????? ? ?()r? ()T t r ????01( , , , , , )ns s s s t? ??s?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 31 有限重復(fù)博弈 對(duì)例題 ? 該例中，對(duì)一次靜態(tài)博弈有 兩個(gè)納什均衡點(diǎn) （中價(jià)，中價(jià)）和（低價(jià)，低價(jià)）。 ? 令 （高價(jià)，高價(jià)）， （中價(jià)，中價(jià)）， （低價(jià)，低價(jià)）， ，經(jīng)計(jì)算有： ? 則 是 觸發(fā)策略 。 s?? 0s ? 1s ? 2s ?0 1 2,ccs s s S?0( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) 3iicii i i is P ss P s P s P s??????????? ? ?0 1 2( , , , , )s s s s t? ?? 1/ 3? ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 32? 當(dāng) 。 在例 ， T=2， 。這時(shí)觸發(fā)策略組合 是 子博弈完美納什均衡 。若局中人 在第 1階段違背觸發(fā)策略組合 ，總損失為： 因而局中人 不愿意違背 觸發(fā)策略組合。 ?22225 5 8 52 2 ( ) 2 ( ) 2 11 2 1 2 7 2??? ? ? ? ? ? ?ii55211 2 6? ? ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 34 有限重復(fù)博弈 ? 當(dāng) 時(shí)，則觸發(fā)策略 永遠(yuǎn) 不可能是 子博弈完美納什均衡。而懲罰階段的大小，又與貼現(xiàn)率有關(guān)。 0 1 2( , , , , )s s s s t? ??31143? ??《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 35167。兩企業(yè)的貼現(xiàn)因子均為 。 ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 37其 觸發(fā)策略 為： 在第一階段生產(chǎn)壟斷產(chǎn)量的一半 ，第 階段時(shí)，如果前面 個(gè)階段兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量都為 ，則生產(chǎn) ；否則，生產(chǎn)古諾產(chǎn)量 。那么，要使兩企業(yè)采取上述觸發(fā)戰(zhàn)略成為納什均衡，必須滿足 ? 此時(shí)這一觸發(fā)策略是 子博弈完美納什均衡 例 無限次重復(fù)博弈的古諾模型 2mq2()28mac? ??cq 2()9cac? ??i2mq1m a x ( )2j j m jq a q q c q? ? ?3 ( )8jacq ??29 ( )64dac? ??917? ?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 39 如果 ，企業(yè)的行為將如何？ ? 在重復(fù)無限次的古諾模型中，單階段的納什均衡產(chǎn)量為 ，對(duì)應(yīng)的均衡結(jié)果 。 不是單階段的納什均衡，也不是壟斷產(chǎn)量的 1/2。這里 12 3c c cacq q q ?? ? ? 212()9c c cac? ? ? ?? ? ?917??q?12qqq????? ( , )qq??12( , ) ( , ) ( , ) cq q q q q q? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?( , )qq?? ( , )ccqq( , ) ( 2 )q q a q c q? ? ? ? ?? ? ?例 無限次重復(fù)博弈的古諾模型 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 40例 無限次重復(fù)博弈的古諾模型 ? 產(chǎn)量 和納什均衡產(chǎn)量 組成定義 觸發(fā)策略組合 ，記為 假定在 t階段企業(yè) 在對(duì)方生產(chǎn) 的情況下，違背約定，其最好反應(yīng)支付為： ? 即企業(yè) 在 t階段，的產(chǎn)量為 ，相對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)所得 。因此企業(yè) 要不違背生產(chǎn) 的約定，其充分必要條件為： i( , )qq?? ( , )ccqqq?m a x ( )i iiqa q q c q?? ? ? ?i1 ()2iq a c q ?? ? ?2()4da c q? ????ii ( , )qq? ??d? c?i iq1 1111 ( , ) ( , )1t k t tdck k tq q q q? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ???? ? ?? ??《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 41 上式等價(jià)于 將 和 代入有： （ ） （ ） 當(dāng) 時(shí)，右邊 = ，即壟斷產(chǎn)量的一半；當(dāng) 時(shí)，右邊 = 。夏皮羅和施蒂格里茨（ 1984）就此建立了一個(gè)動(dòng)態(tài)模型，其中企業(yè)為激勵(lì)工人努力工作，一方面支付很高的薪水；同時(shí)又威脅一旦被發(fā)現(xiàn)偷懶，立即開除。失業(yè)工人的人數(shù)越多，一個(gè)被解雇的工人尋找新的工作崗位所需時(shí)間越長(zhǎng)，于是解雇的威脅就更加有效。我們分析一個(gè)企業(yè)和一個(gè)工人的情況，從重復(fù)博弈的角度研究這一模型（而不考慮其競(jìng)爭(zhēng)均衡的特點(diǎn)）。如果工人拒絕了 ，則工人成為個(gè)體戶，保留收益為 ，其中 ，如果工人接受了 ，則工人選擇是努力工作（會(huì)帶來 的負(fù)效用）還是偷懶（不會(huì)帶來任何負(fù)效用）。產(chǎn)出可能高也可能低，為簡(jiǎn)單起見，我們認(rèn)為低水平的產(chǎn)出為 0，高水平的產(chǎn)出為 。 ww0w 0ww? weey0y?p1 p?《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 44 例 有效工資率 ? 假設(shè)企業(yè)以 的工資雇傭了工人，那么如果工人努力工作，帶來高產(chǎn)出時(shí)企業(yè)和工人的收益分別為：企業(yè)為 ，工人為 。為討論方便，我們假定 。 ?因而單階段的貝葉斯納什均衡為（不雇傭，偷懶）。 首先建立由該階段博弈組成的無限重復(fù)博弈的觸發(fā)策略如下： （ 1）企業(yè)在第一階段給出工資 ，在以后各階段若觀察到產(chǎn)量為 ，在其后的下一階段給出工資 ；若觀察到產(chǎn)量為 ，則下一階段不雇傭工人（即單階段的貝葉斯納什均衡中企業(yè)的行為），并一直到結(jié)束。在以后各階段，若企業(yè)付出的工資 ，則一直努力工作；若企業(yè)付出的工資 時(shí)，在下一階段偷懶，并一直到以后各階段。企業(yè)的威脅是，若一旦發(fā)現(xiàn)產(chǎn)出 ，則下一階段就不雇傭工人。 假設(shè)工人被解雇，企業(yè)收入為 0，而工人不解雇，企業(yè)的收入 （見前面假設(shè)）。 （ 1）對(duì)工人進(jìn)行分析 。 （ 2）對(duì)企業(yè)進(jìn)行分析 。則企業(yè)遵循觸