【正文】 的 充分必要條件 為： [ , ]G N v? {1, 2, 3}N ?( ) 0 ( { 1 } ) 2 0 ( { 2 } ) 3 0 ( { 3 } ) 1 5( { 1 , 2 } ) 6 0 ( { 1 , 3 } ) 4 0 ( { 2 , 3 } ) 6 5 ( { 1 , 2 , 3 } ) 1 0 0v v v vv v v v? ? ? ? ?? ? ? ?， ， ， ， ，()Cv 1 2 3( , , ) ( )x x x x C v?1 2 31 2 1 3 2 31 2 3( { 1 }) 20 ( { 2 }) 30 ( { 3 }) 15( { 1 , 2 }) 60 ( { 1 , 3 }) 40 ( { 2 , 3 }) 65( { 1 , 2 , 3 }) ( ) 10 0x v x v x vx x v x x v x x vx x x v v N? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?， ， ，化簡： 32110 0 60 ,10 0 40 ,10 0 65 ,xxx??????即即即32140,60,35,xxx???202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 68 合作收益如何分配的例子 ? 畫出平面上的重心三角形 （即高為 的等邊三角形），以及各不等式要求，可作圖如下 ? 可知，在上圖中轉(zhuǎn)歸集 為三角形△ MNQ內(nèi)的點集，而陰影六邊形 ABDEFG為核心 ，其中 6個頂點的坐標分別為 A（ 20， 60， 20）， B（ 20， 40， 40）， D（ 30， 30， 40）， E（ 35， 30， 35）， F（ 35， 50， 15）， G（ 25， 60， 15）。 123? ()vN12 3A BDEFQGM N120x ?135x ?260x ? 2 30x ? 3 15x ? 3 40x ?( , )I N v()Cv核心 202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 69 合作收益如何分配的例子 例 有 3人合作博弈 ，其中 ，特征函數(shù)的值如下： ? 容易驗證，該博弈的核心 。 [ , ]G N v? {1, 2 , 3}N ?( ) 0( { 1 } ) ( { 2 } ) ( { 3 } ) 023( { 1 , 2 } ) ( { 1 , 3 } ) ( { 2 , 3 } )34( ) 1vv v vv v vvN? ?? ? ?? ? ??，()Cv ??202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 70 核心存在的問題 ? 從以上例題可以看出，在合作博弈 中，核心是一個非常合理的解概念，但是它 存在兩個問題 ： （ 1）核心可能是空集。 （ 2）核心中可能有無窮多的元素。 ? 對一個 人合作博弈，其核心是否為空集，可以用下面線性規(guī)劃求解進行判斷： n[ , ]G N v?12m ins . t ( ) ( ) ( 5 .2 .1 2 ),nz x x xx S v SS N S ?? ? ? ??? ? ?202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 71 核心存在的問題 ? 以上線性規(guī)劃的由來，包括對核心的基本要求以及轉(zhuǎn)歸中的個體合理條件。若設(shè)線性規(guī)劃的最優(yōu)值 ，則該博弈的核心非空。反之，當 ，則該博弈的核心為空集。 ? 在用（ ）求解可以判定核心為非空集時，如何在核心中去確定一個唯一的分配方案，可以借用（ ）式，用 n人納什談判解的方法去確定。此時，可選擇 求解下面的數(shù)學規(guī)劃： * ()z v N?* ()z v N?( { } ) , 1 , 2 , ,id v i i n??1212m a x ( ( { 1 } ) ) ( ( { 2 } ) ) ( ( { } ) ). ( ) ( ) , ,()nnx v x v x v ns t x S v S S N Sx x x v N? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 72 核心存在的問題 ? 由定理 ，上面數(shù)學規(guī)劃有唯一解 。并且由約束條件可知，該唯一解 。 ? 對核心存在的兩個問題解決的另一有效方法是引入強 －核心的概念。 ? 強 核心的 引入，需對核心的部分條件減弱，其中主要是對轉(zhuǎn)歸中條件的減弱。 * * * *12( , , , )nx x x x?* ()x c v???202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 73 預(yù)轉(zhuǎn)歸 定義 設(shè)有 人合作博弈 ， 是一個 維向量，滿足 （ ） 則 稱為 G的一個 預(yù)轉(zhuǎn)歸 （ preimputation）。預(yù)轉(zhuǎn)歸的全體稱為 預(yù)轉(zhuǎn)歸集 ，記為 。 ? 在預(yù)轉(zhuǎn)歸中，保留了轉(zhuǎn)歸中的群體合理條件，而舍去了個體合理條件。 n [ , ]G N v? 12( , , , )nx x x x?n1()niix v N???x( , )I N v?202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 74 強 ε 核心 定義 設(shè)有 人合作博弈 ， 是一個實數(shù)。非空的預(yù)轉(zhuǎn)歸子集稱為 的 強 核心 （ Strong core），記為 ： （ ） n [ , ]G N v? ?G ?()Cv?*( ) { | ( ) ( ) , , , ( , ) }C v x v S x S S S N S x I N v? ??? ? ? ? ? ? ??202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 75 強 ε 核心 ? 當 ，則放松了對 的要求，到 達某一正數(shù)時，可以使合作博弈的原核心由空集變?yōu)榉强盏膹? 核心； ? 當 ? 當 時，則加強了對 的要求，可以使合作博弈的核心集合變小。 ? 實質(zhì)上 起到一個對核心的調(diào)節(jié)作用 。若時 才有 ， 可以看到這時的預(yù)轉(zhuǎn)歸不一定滿足一般轉(zhuǎn)歸中的個體合理條件。 很容易證明，若有 和 ，若 和 都非空，有： 若 ， 則 0?? x ??0 , ( ) ( )C v C v?? ??時0?? x? 0?? ()Cv? ??1? 2? 1 ( , )C N v? 2 ( , )C N v?12??? 12( , ) ( , ) ( 5 . 2 . 1 6 )C N v C N v?? ?202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 76 最小核心 定義 設(shè) 是一個 人合作博弈， 是使得強 ε核心 的最小 ，稱 為 的 最小核心 （ Least core）， 記為 LC。 值得一提的是 一個合作博弈的最小 ε核心 LC一定存在，但不一定是單點集。 [ , ]G N v? n 0?()Cv? ?? ? 0()Cv? G202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 77 最小核心 ? 一般情況下，對合作博弈的最小 核心 LC，可用下面線性規(guī)劃求解： ? 該線性規(guī)劃的 第一個約束是強 核心的要求 ， 第二個約束是 屬于預(yù)轉(zhuǎn)歸的要求 ，與判斷核心的線性規(guī)劃相比，其約束多了一個等式約束，變量為 個。 ? 該線性規(guī)劃的解 即為所求最小 核心對 要求，而其余解 則是最小 核心在 C中所含的分配方案。 ?m ins . t ( ) ( ) , , , ( 5 .2 .17 )( ) ( )zx S S v S S N Sx N v N????? ? ? ? ??? x1n?*? *??* * *12( , , , )nx x x?202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 78? 例 設(shè)有一個三人合作博弈 ，其中 ，特征函數(shù)的取值如下： ? 由核心的定義， 的條件，可類似于例 應(yīng)該滿足下列要求： [ , ]G N v? {1, 2 , 3}N ?( ) 0 , ( { } ) 0 , 1 , 2 , 3( { 1 , 2 } ) 1 / 3 , ( { 1 , 3 } ) 1 / 6 , ( { 2 , 3 } ) 5 / 6( ) 1v v i iv v vvN? ? ? ?? ? ??1 2 3( , , ) ( )x x x x C v??1 2 31 2 30 , 1 , 2 , 3 ,1 / 6 , 5 / 6 , 2 / 3 ,1ixix x xx x x??? ? ?? ? ? 最小核心 202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 79? 作重心三角形 （高度為 1的等邊三角形），可得 的轉(zhuǎn)歸集 即為三角形△ 123內(nèi)的點組成的集合， 的核心 為四邊形 ABCD所圍成的區(qū)域。 最小核心 123? G( , )I N v G ()Cv202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 80123A BCDE FHIJK MLC10x ?11 / 1 2x ??11 / 1 8x ?11 / 6x ?11 / 3x ?21x?25/6x?213/18x?21/12x??21/18x?30x?31/18x?20x?359x?32/3x?35/6x?31/12x??G圖 三人合作博弈的核心及最小 核心 最小核心 202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 81? 取 ，由強 核心的定義， 應(yīng)滿足下列條件要求： ? 在上面重心三角形 中，可得 的 為六邊形 EFGHIJ所圍成的區(qū)域。 1 /12? ? ?1 2 3 12( , , ) ( , )x x x x C N v??1 2 31 ` 3 22 3 11 2 310 , 1 , 2 , 3 ,121 1 52,1 2 3 6112 , 11 2 61 5 12,1 2 6 31,ixix x xx x xx x xx x x? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?即即即123? G 112()Cv 最小核心 202233 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應(yīng)用 》 （汪賢裕） 82? 取 ，由強