【正文】 先算條件平均 ()X t D? {}na? ? ? ?? ? ? ?( ) | |()nnnannE X t D D x E a g t n T D D xE a g t n T x m g t n T x??? ???? ??? ?? ? ????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ????于是 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?0( ) |1aannTanE Y t E X t D E E X t D DE m g t nT D m E g t nT Dm g t nT x dxT? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ?????????? ? ? ???? ?111/117 2022/2/14 ? ? ? ?? ?? ?? ?0( 1 )( 1 )()()( 0)Tant n Tat nTnt nTat n TnaamE Y t g t nT x dxTmg u d uTmg u duTmmg u du Gu t nT xjT。 ( ) ( )Y t X t D??()Xt (0, )UT()Xt106/117 2022/2/14 ? ? ? ?Y t X t D?0 ? ?Xtt1 1 0 1 1 0 0 1 0 t1 1 0 1 1 0 0 1 DT? ? ? ?nnX t a g t n T??? ? ????()gt1 0 t T1,1,npaq??? ???依概率依概率107/117 2022/2/14 更為一般的形式稱為 數(shù)字傳輸信號(hào) ，如下式， ? ? ? ? ( 3 .3 3 )nnX t a g t n T??? ? ????其中， 為幅度隨機(jī)序列； 為每個(gè)時(shí)隙的脈沖信號(hào)， T 為每個(gè)時(shí)隙寬度。 ( 2 ) 0? ? ?() jvv E e? ?? ??? ??102/117 2022/2/14 隨機(jī)相位的正弦信號(hào)廣義平穩(wěn)的充要條件是： ( 1 ) ( 2 ) 0??????此時(shí)， ? ?( ) 0E X t ?2221 2 0 1 2 0 1 2()( , ) c o s ( ) c o s ( )22AA mEAR t t t t t t??? ?? ? ? ?比如當(dāng) 時(shí)， ( , )U ???? sin() vvv???? ?? ?221 2 0 1 2, c o s ( )2AAXmR t t t t? ????103/117 2022/2/14 解：例 是廣義平穩(wěn)的，并且， 例 : 討論乘法調(diào)制信號(hào)的功率譜 X(t)為實(shí)廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，其功率譜為 ， Θ與 X(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立 ()XS ?0( ) ( ) c o s( )Y t X t t?? ? ?( , )U ????其中：()Yt01( ) ( ) c o s ( )2YXRR? ? ? ??? ?? ?000011( ) ( ) ( ) ( )221( ) ( )4YXXXSSSS? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?104/117 2022/2/14 可見，調(diào)制使得信號(hào)的譜平移到 處 0??? ?001( ) ( ) ( )4Y X XS S S? ? ? ? ?? ? ? ?0 105/117 2022/2/14 例 討論隨機(jī)二元（二進(jìn)制）傳輸信號(hào)的平穩(wěn)性與功率譜。 (1 ) 0? ? ? ? ?( ) 0E X t ?? ? ? ?( ) ( )0c o s 2jjt e e? ?? ? ? ?00ω t + Θ ω t + Θ101/117 2022/2/14 ? ?12。 Am 2A?()v??解：計(jì)算均值與自相關(guān)函數(shù)。 )1e xp22kk k i iikiif x x x n n n f x nx?????????? ??????99/117 2022/2/14 應(yīng)用舉例 例 討論隨機(jī)正弦信號(hào)的廣義平穩(wěn)條件。于是， ? ?Xn1 2 1 21221( , , , 。試求：（ 1）相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)；（ 2） k維密度函數(shù)。 ? ?Nt? ?Nt? ?NS ?即： 是 的函數(shù)。 高斯白噪聲序列 是 獨(dú)立序列 ，利用獨(dú)立性，很容易寫出它的任意階密度函數(shù)。它也 是獨(dú)立信號(hào) ，代表著信號(hào)“隨機(jī)性”的一種極限。白噪聲只是一種理想的數(shù)學(xué)模型。 ()? ?（ 2） 工程上，當(dāng)信號(hào)帶寬 系統(tǒng)帶寬，且信號(hào)功率譜在系統(tǒng)通頻帶內(nèi)及通頻帶附近基本恒定，就認(rèn)為該信號(hào)是白噪聲。簡(jiǎn)稱白噪聲或白信號(hào)。 )c o s ()( 0 ??? tAtZ ?91/117 2022/2/14 通過(guò)傅里葉變換可得， 200( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2YXASS ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?( ) ( )X Y XSS???信號(hào) X(t)， Y(t) 是聯(lián)合平穩(wěn)的 ? ?( , ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( )X Y XR t t E X t X t Z t R? ? ?? ? ? ? ?201( , ) ( ) c o s2YXR t t R A? ? ? ?? ? ?作業(yè)： 92/117 2022/2/14 噪聲：對(duì)信號(hào)和系統(tǒng)功能起干擾作用的隨機(jī)信號(hào)。試求： (1) 受擾后的信號(hào) Y(t) 的相關(guān)函數(shù) RY(t +τ, t) 。 89/117 2022/2/14 例 討論（加性）單頻干擾 。 212??? ? ?0XS ? ?2）是 判斷準(zhǔn)則：非負(fù)的、實(shí)的、偶的 87/117 2022/2/14 定義 ： 聯(lián)合平穩(wěn)信號(hào) X(t)與 Y(t)的互功率譜定義為其互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，即 ( ) ( ) jX Y X YS R e d??? ? ??? ???? ?( ) ( ) jY X Y XS R e d??? ? ??? ???? ?物理意義：如果 很大，表明兩個(gè) 頻率分量關(guān)聯(lián)度很高；如果 表明其相應(yīng)頻率分量是正交的。而 的功率譜為， ()Xt0( ) c o s ( )R ? ? ??? ? ? ?c o s sin 0jE e E jE??? ? ? ? ? ???85/117 2022/2/14 例 已知 WSS隨機(jī)信號(hào)的功率譜為 2424()1 0 9S????????，求自相關(guān)函數(shù)和均方值。 0co s t?考慮 0( ) c os( )X t t?? ? ? ? ?02U ?? ，84/117 2022/2/14 ? ? ( ) ( )0ΘΘc o s ( ) / 2( ) / 2jjjjjjt e ee e e e? ???? ? ? ???0000ω t + Θ ω t + Θω t ω t相位的不確定性，使 的傅里葉變換是隨機(jī)的， ()Xt000( ) c os( )( ) ( )FjjX t tee?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ???? ? ? ?00( ) ( )2S ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?雖然損失了相位特性，但有效地給出信號(hào)成份的分布。 ?物理含義：如果在某個(gè) ω0處 S (ω0)比較大，則信號(hào) x(t)中含有較大的 ω0頻率分量；如果在某個(gè) ω0處 S(ω0)=0，則信號(hào)中不含有該 ω0頻率分量。 P：歸一化功率（單位電阻上耗散的平均功率） 70/117 2022/2/14 截取 稱為 的 截?cái)嗪瘮?shù)。 ?69/117 2022/2/14 (2) 功率型信號(hào) ? ?21l im 2 T TTP x t d tT???? ? ??功率型信號(hào)一般持續(xù)時(shí)間無(wú)限，不滿足絕對(duì)可積的條件。 U(t)是 X(t)的非周期分量，可得 ? ? 10UUmR? ? ? ? ? 10X U Vm m m? ? ? ?? ? ? ?2 0 3 0 0XE X t R?? ????? ?22 0 20 0X X XRm? ? ? ?于是， 10 10 0 c os 10( ) 10 0 10 0XRe? ?? ?? ? ?()Xt65/117 2022/2/14 作業(yè)： 66/117 2022/2/14 功率譜密度與互功率譜密度 確定信號(hào) 時(shí)域：信號(hào)隨時(shí)間變化的特性 頻域：信號(hào)頻率成分及各頻率成分大小 信號(hào)譜 隨機(jī)信號(hào) 時(shí)域：從統(tǒng)計(jì)意義上分析 頻域：一個(gè)樣本函數(shù)的特性不能代表全體，故也應(yīng)從統(tǒng)計(jì)意義上分析 功率譜 68/117 2022/2/14 由帕塞瓦爾定理： ? ? ? ? 22 12E x t d t X d?????? ? ? ?????? ? 2X ?能量譜分布密度函數(shù)， 表征了信號(hào)能量沿 軸的分布。 , )11e xp{2( 1 )2 4 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )[ ] }2 2 2 2f x x t tx x x xf x x t tx x x x??? ? ????? ? ? ? ? ? ????? ? ????? ? ? ? ? ? ????63/117 2022/2/14 解：信號(hào) X(t)通常被視為兩個(gè)平穩(wěn)信號(hào) U(t)與 V(t)的和，即 例 工程應(yīng)用中平穩(wěn)信號(hào) X(t) 的自相關(guān)函數(shù)為 10( ) 10 0 10 0 c os 10 10 0XRe??? ?? ? ?試估計(jì)其均值、均方值和方差。 , ) e xp{2( 1 )21( ) 2 ( ) ( ) ( ) [ ] } Xxxx x x xt t T C TCTTf x x t tx m x m x m x m??? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ? ???當(dāng) 時(shí)：T T 4 ()XC ??62/117 2022/2/14 1 2 1 222221 1 2 2221 2 1 222221 1 2 222( , 。 ) ( 。 )111e xp88( , 。 , ) ( 。 ) e xp82411( 。( txf X1 2 1 2( , 。 ? ?1 2 1 1 2 2( , ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]X X XC t t E X t m t X t m t? ? ?57/117 2022/2/14 2） ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?2222200001 si n,210 , 0 12si n,12si n2,bXYX X Y YbXYbc X Xc Y Yc X c YbC e CbCCbebd e dbbddbbX t Y t??????????? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ?????????????? ? ? ???? ? ?? ? ??????所以 比 的起伏速度快sin x dxx ?????－58/117 2022/2/14 補(bǔ)充例：若 . 的自相關(guān)函數(shù) 如圖所示，求 (1) ；