【正文】 tA問題：是否 在概率 P下也是鞅？ trt Se?ttT ZAS ??tAtI返回 首頁(yè) 。 問：是否有公平的市場(chǎng)價(jià)值 等于 的適當(dāng)貼現(xiàn)價(jià)值？ 例如 假設(shè)使用無風(fēng)險(xiǎn)利率 r對(duì) 進(jìn)行貼現(xiàn)，取 ]]0,[ ma x [][ tTPtTP IKSEICE ??tC ]]0,[ m a x [tTP IKSE ?]]0,[ m a x [ tTP IKSE ?]]0,[ m a x [)( tTPtTrt IKSEeC ?? ??則 即是鞅 tCtrtCe?原因是 TtCeICeE trttTrTP ?? ?? ,][或 TtCICeE ttTrTrP ???? ,][ )(首頁(yè) 其中是 一個(gè)遞增的隨機(jī)變量， 是一個(gè)考慮信息集 的鞅。 如果起初的連續(xù)時(shí)間過程并不呈現(xiàn)出任何的跳躍，但是連續(xù)的，則產(chǎn)生的鞅就會(huì)是連續(xù)的。 則 意味著 it2/11 ?? p)21(],[ 1110 pSSSSSE kkk tttttp ??? ???1110 ],[ ?? ? kkk tttttp SSSSSE ?即 ? ?ktS 是一下鞅又因 kk tt ZkpS ????? )1)(21(其中 itZ 是鞅首頁(yè) 因此 一個(gè)下鞅可分解成兩部分： 第一部分是一個(gè)遞增的決定變量， 表示的是一種簡(jiǎn)單的道布 —— 邁耶分解得情形 一般地 定理 1 把在一個(gè)連續(xù)間隔的有限時(shí)間點(diǎn)上所觀察的過程中的向上趨勢(shì)的下鞅分解成有一個(gè)決定趨向和一個(gè)鞅。 2/1?p 則 ? ?ktS 就不再是鞅?????????kittt pSpSZ iki1)]21([)]21([itZ說明 提供了一個(gè)概率空間的具體的討論以及如何把概率理論應(yīng)用于與資產(chǎn)定價(jià)有關(guān)的各種軌跡。 ktS itS? ??SktS如果所有的 是由 +1的變化組成的，即 itS?ktt pkSSPk ??? )( 0ktS 的最高的可能的價(jià)值是 kS t ?0則概率取 例如 首頁(yè) 同樣 其產(chǎn)出的概率是 ktS 的最低的可能的價(jià)值是 kS t ?0ktt pkSSPk )1()( 0 ????一般地 通常價(jià)格會(huì)落在 之間的某處 kSS tt k ?? 0 和 kSS tt k ?? 0如在所有 k個(gè)增量變化中，有 m個(gè) +1的變化、 個(gè) 的變化， mk? 1? km ?則 itS 的價(jià)值是)(0 mkmSS tt k ????其概率為 mkmmkktt ppCkmSSPk?? ????? )1()2(0此概率為二項(xiàng)分布，當(dāng) ，它收斂于正態(tài)分布 ??k首頁(yè) 問題 2 考慮由上式給出的概率的期望： ? ?ktS 是鞅嗎？],[ 110 ??? kk ttttp SSSSE ?)]1)(1()1[(1 ppS kt ?????? ?kkk ttt SSS ??? ? 1如果 2/1?p則 1110 ],[ ?? ??? kkk tttttp SSSSSE ?這意味著考慮到包括過去價(jià)格變化 的信息以及這個(gè)特殊的概率分布而定義的 是鞅。 首頁(yè) 如 其次 資產(chǎn)價(jià)格水平 衍生證券通常寫成其本身的價(jià)格 就可從隨后的變化中得到資產(chǎn)價(jià)格的水平 5 0 0amp。 問題 1 11 ?? 和其次定義與這些軌跡有關(guān)的概率，當(dāng)價(jià)格變化是相互獨(dú)立的（且是有限的），則序列的概率是每一價(jià)格變化的概率相乘。 2/1?pitS?如何構(gòu)造標(biāo)的的概率空間： 首先需要構(gòu)造一個(gè)由所有可能價(jià)格變化的樣本路徑或軌跡組成的集合，即樣本空間。 返回 首頁(yè) 第五節(jié) 鞅表示 一、例子 假設(shè)一個(gè)交易者觀察 it 時(shí)刻金融資產(chǎn) itS 的價(jià)格Ttttt kk ????? ? 110 ?若每一時(shí)間間隔非常小，且市場(chǎng)是“流動(dòng)”的，則資產(chǎn)價(jià)格就有可能表現(xiàn)出至多一個(gè)向上或向下的過程 即 的變化可表示為 ??????? ppSit 1,1,1概率為概率為itS并且假設(shè) 是相互獨(dú)立的。因此，任何風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格，若由無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)就不是鞅。 首頁(yè) 注 例子再次描述了同一理論 如果一隨機(jī)過程不是鞅，那么通過抽取一適當(dāng)?shù)木稻湍茏兂慎薄? 考慮泊松累加過程 tN由于 tN 是累加過程并且跳躍的數(shù)量會(huì)隨時(shí)間增長(zhǎng)tN?tNtNN tt ????就是鞅。 可將 轉(zhuǎn)換成是鞅。 tZ首頁(yè) 此為例 3：指數(shù)過程 說明 2 考慮轉(zhuǎn)換 }2ex p {2tXS tt ?? ??其中 ? 是任意實(shí)數(shù)， tX 的均值是 0則此轉(zhuǎn)換能將 變成鞅， tX即 是鞅。 tX過程 tX 是無窮小增量 tdX 的累積? ?? ?? Tt uTt dXXX 00][][ ? ?? ?? Ttt uttTtt dXXEXE][][ ? ??? Ttt uttt dXEXE][ tTttt XXEX ??? ?][ Tttt XEX ????TX t ???tX首頁(yè) 說明 1 若做新過程 則 是一個(gè)鞅。 意味著在連續(xù)平方可積鞅中不是非常有用的實(shí)用的量。 1V ， 2V意味著無論軌跡如何不規(guī)則，鞅是平方可積且小于間隔的增量的平方和是收斂。 tM若 ????? GGtNP ?)1( ???? BBtNP ?)1(則 0][ ?????? BGtt ME ??故 不是鞅。 ?GtN 表示到 t 時(shí)間所有好信息數(shù)， BtN 則代表壞信息數(shù)即增量變化的概率可表示為 )1( ?? GtNP = )1( ?? BtNP ?? ?則變量 是鞅 tM = GtN BtN?首頁(yè) 證明 則條件期望 其中 故 tM 的增量在微小間隔 ? 內(nèi)可表示成tM? = GtN? BtN??][][][ BttGtttt NENEME ????????????? ?? 1)1(0][ Gtt NE ???][ Btt NE ? ?? ?0][ ?????? ??tt ME因此在信息 tI 下 tM 的增量是不可預(yù)測(cè)的，即 是鞅。且用 假定到達(dá)金融市場(chǎng)的信息與過去完全無關(guān)，并且好、壞信息是完全獨(dú)立的。 首頁(yè) 例 1 構(gòu)造一個(gè)具有兩個(gè)相互獨(dú)立泊松過程的鞅 假設(shè)金融市場(chǎng)由“好”和“壞”的消息影響。 時(shí)間 圖 2 連續(xù)平方可積鞅 設(shè) 是一連續(xù)鞅，且具有有限二階矩： tX??][ 2tXE則稱具有有限方差的過程 為連續(xù)平方可積鞅。其對(duì)應(yīng)的是連續(xù)鞅和右連續(xù)鞅 tX連續(xù)鞅軌跡 對(duì)于任意 0??0)( ??? ?tXP0??時(shí)間 連續(xù)鞅軌跡是連續(xù)的 首頁(yè) 右連續(xù)鞅軌跡 軌跡被偶然的跳躍所干擾 ， 從而使軌跡成為右連續(xù) 。 事實(shí)上 ?若 呈現(xiàn)出任何肉眼能看出的趨勢(shì)，則就是可測(cè)的。 P~首頁(yè) 債券價(jià)格 例如 股票價(jià)格 可以找一概率分布 以使債券或股票價(jià)格通過無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)變成鞅 P~tTuBBeE tutruPt ?????? 0,][~uSSeE tutruPt ???? 0,][~uSSeE tutruPt ???? 0,][][ utt BEB ? Tut ??返回 首頁(yè) 第三節(jié) 鞅軌跡的特征 一、鞅軌跡的描述 設(shè) tX 表示一資產(chǎn)價(jià)格考慮在信息集 ? ?tI 和概率 P~ 情況下，則鞅的特征 tttP XIXE ??? ][~0?? 是小的時(shí)間間隔 考慮鞅變化 tX? = ???tX tX由于 tX 是鞅，則0][~ ??ttP IXE它意味著鞅的增量是完全不可測(cè)的。 道布 — 邁耶分解 在一些普通條件下，一任意的連續(xù)時(shí)間過程能被分解成一個(gè)鞅和一個(gè)增長(zhǎng)（或下降）過程，后部分的消除即可產(chǎn)生鞅。故也不是鞅。 二、鞅在資產(chǎn)定價(jià)方面的應(yīng)用 反之有 tXtX1 通常貼現(xiàn)債券的價(jià)格隨時(shí)間而增加，平均起來是上漲 如果 tB 代表在時(shí)間 T 到期的貼現(xiàn)債券的價(jià)格Tt ?則有 ][utt BEB ? Tut ??債券的價(jià)格 即貼現(xiàn)債券價(jià)格的運(yùn)動(dòng)不是鞅 首頁(yè) 2 通常一風(fēng)險(xiǎn)股票會(huì)有一正的期望收益 。 首頁(yè) 鞅過程 重要特征 一個(gè)鞅的定義是考慮信息集和一些概率標(biāo)準(zhǔn)，如果改變與過程有關(guān)的信息集和概率，這個(gè)過程就不再是鞅。 鞅的未來變化的方向是不可能預(yù)測(cè)的。 nA ?)(? nYY ,0 ??,1?nY 返回 首頁(yè) 第二節(jié) 連續(xù)時(shí)間鞅 一、定義 設(shè) 表示觀測(cè)由時(shí)間 t為連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程， 表示隨時(shí)間流逝可得到的一系列信息集 信息集滿足 ? ?],0[, ??tS t? ?],0[, ??tI t若 Tts ???Tts III ??則稱集合 ? ?],0[, TtI t ? 為過濾 如果 的值在每一 時(shí)包含于信息集 中， tS 0?t tI? ?],0[, ??tS t ? ?],0[, ??tI t則稱 適應(yīng)于 即表示 給出信息集 ，就會(huì)知道價(jià)值 tI tS首頁(yè) 使用不同的信息集 就會(huì)產(chǎn)生順序 的不同的預(yù)期。注 若令 為最后進(jìn)入 A的時(shí)刻，則 不是停時(shí)。對(duì)任意隨機(jī)序列 }{ nY ，有???????? knknYYnn 01),(0}{ ????首頁(yè) 令 例 5 即 為首次進(jìn)入 A的時(shí)刻， 則 是停時(shí)。 nYY ,0 ?}{ n???,1?nY定理 2 設(shè) ? 是取值 0 ， 1 ，?， ? 的一個(gè)隨機(jī)變量，}{ nY 是隨機(jī)序列下列命題等價(jià)： 0?n首頁(yè) （ 1） （