屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--38兩直線的位置關(guān)系(參考版)
2025-01-21 18:01本頁面
【正文】 直線 l關(guān)于 y=x對(duì)稱的直線方程為 :BxAy+C=0. 。 直線 l關(guān)于 y軸對(duì)稱的直線方程為 :Ax+By+C=0。解法二抓住了 P與 P′ 是一對(duì)“相關(guān)點(diǎn)” ,利用“相關(guān)點(diǎn)”的性質(zhì)求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡 ,這是求曲線關(guān)于直線對(duì)稱方程的常用方法 。 ② BA的中點(diǎn) D在直線 x2y+1=0上 . 由①可設(shè)點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (xB,1),進(jìn)而再由②確定 xB,依照同樣的方法可以確定頂點(diǎn) C的坐標(biāo) ,故△ ABC各邊所在的直線方程可求 . [解 ]設(shè) AB、 AC邊上的中線分別為 CD?BE,其中 D?E為中點(diǎn) . ∵B 在中線 y1=0上 , ∴ 設(shè) B點(diǎn)的坐標(biāo)為 (xB,1). 又 ∵ D為 AB的中點(diǎn) ,A(1,3), ∴ D的坐標(biāo)為 [方法與技巧 ]依據(jù)已知條件求平面圖形中某些直線的方程,必須“數(shù)形結(jié)合” .通過數(shù)形結(jié)合 ,特別是借助平面圖形分析出隱含條件 ,這樣可以達(dá)到化難為易 ?化繁為簡的目的,以形助數(shù)也是平面解析幾何中常用的方法 . 技法二 對(duì)稱問題的解法 (1)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱 【 典例 2】 已知直線 l:3xy+3=0,求點(diǎn) P(4,5)關(guān)于直線 l的對(duì)稱點(diǎn) . [解題切入點(diǎn) ]利用對(duì)稱性質(zhì)列有關(guān)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的方程組進(jìn)而求解 . [方法與技巧 ]解法一的應(yīng)用最為廣泛 ,其關(guān)鍵是利用“垂直” ?“ 平分” . 點(diǎn) P(a,b)關(guān)于特殊直線的對(duì)稱點(diǎn)列表如下 : (2)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 【 典例 3】 求直線 l1:2xy+1=0關(guān)于點(diǎn) P(2,1)的對(duì)稱直線 l2的方程 . [解題切入點(diǎn) ]利用好中心對(duì)稱的性質(zhì)是解對(duì)稱問題的關(guān)鍵 . [解 ]解法一 :因?yàn)?l1與 l2關(guān)于點(diǎn) (2,1)對(duì)稱 , 所以 l1∥l 2. 設(shè) l2:2xy+C=0. 由點(diǎn) P(2,1)到兩直線的距離相等 ,有 : 解得 C=7或 C=1(舍去 ). 故所求的方程為 2xy7=0. 解法二 :設(shè)直線 l2上任意一點(diǎn) Q(x,y),則它關(guān)于 P(2,1)的對(duì)稱點(diǎn)為 Q′(4 x,2y). 由 Q′ 在直線 2xy+1=0上可得 2(4x)(2y)+1=0. 化簡可得 :2xy7=0. [方法與技巧 ]解法一是利用線線平行及點(diǎn)到兩直線距離相等來解 。x+0二是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上 . 【 典例 4】 求直線 a:2x+y4=0關(guān)于直線 l:3x+4y1=0對(duì)稱的直線 b的方程 . [分析 ]本題的思路較多 ,可以根據(jù)點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出直線 b的方程 ,也可以利用軌跡或?qū)ΨQ觀點(diǎn)求出直線 b的方程 . 錯(cuò)源一 缺乏分類意識(shí) 【 典例 1】 求過直線 4x2y1=0與直線 x2y+5=0的交點(diǎn)且與兩點(diǎn) A(0,8),B(4,0)距離相等的直
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