【正文】 3．講解：顯然，方程的一個根為1，另兩根之和為x 1＋x 2＝2＞1。2．講解：這類方程是熟知的。選C。或 15176。試在二次函數(shù)的圖像上找出滿足 的所有整點（ ， ）59102???xy |xy?xy二、試證：每個大于 6 的自然數(shù) n 都可表示為兩個大于 1 且互質(zhì)的自然數(shù)之和。求證：F 為△CDE 的內(nèi)心。第二試一、已知∠ACE=∠CDE=90176。xxy24． 以線段 AB 為直徑作一個半圓，圓心為 O，C 是半圓周上的點，OC 2=AC2． 已知 α 是方程 的根，則 的值等于041???x 234521???________。二、周長為 6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存 在，請給出證明；若存在，請證明共有幾個？三、某次數(shù)學(xué)競賽共有 15 個題，下表是對于做對 n（n=0,1,2,…,15）個題人數(shù)的一個統(tǒng)計，如果又知其中做對 4 個題和 4 個題以上的學(xué)生每人平均做對 6 個題，做對 10 個題和 10 題以下的學(xué)生每人平均做對 4 個題，問這個表至少統(tǒng)計了多少？ n 0 1 2 3 … 12 13 14 15做對 n 個題的人數(shù) 7 8 10 21 … 15 6 3 1第 36 頁 共 120 1994 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題答案第 一 試一、選擇題1． （A）∵ ，aa221)()1(???∴ 原式 .???22． （D） )(2)(2cabcbazyx ??? ，0()2???即 ，故 x,y,z 中至少有一個大于 ?zyx3． （B）如圖，連接 OC， O 的半徑為 r，則在△ AOD 中，邊 AO 與DA 上的高都為 r，故 AO=DA. 同理， BO= AB=BC+DA=5.4． （B）因為 ，所以 ，即 .于是，2194??x194)2(??x 01932??x 013)74(???20222 )934(91???xxx.)(05． （D）因為每一個“三線八角”基本圖形中都有兩對同旁內(nèi)角，而從所給圖形中可以分解出如下 8 個基本圖形，共有 16 對同旁內(nèi)角.第 37 頁 共 120 6． （C）取 ，代入原方程得 ，即 .此時方程有一個負(fù)根，于1??px??1012??是可排除（A） ， （B）.取 ，代入原方程得 ，無解，故排除（D）.因此應(yīng)選（C）.02?7． （B）由題設(shè)可知， H， D， C， E ，有（如圖）AA??? C?cos )(212?? .2ab同理， ，)(212bacBEH???? .CF所以 .)(212cAD?????8． （C）由 及 可得 及 .故xxa194?zyb194xza1194bz194.因此 .zyzb)(? 72???但 a,b 均不為 1，故有 ， 或 ， .于是，2 a+b=1001 或27b1996二、填空題1．4∵ ，且 ，所以，取 ， ，從而)2(12????xxba?2?a1?b.因此，?bac第 38 頁 共 120 .122????xxNM在上式中，令 ，得 .04?2．16由 ≤6 解得7≤ x≤當(dāng) 0≤ x≤5 時， ，此時22)1(??xy ；65?增 大當(dāng)7≤ x≤0 時， ，此時22)(??xxy因此，當(dāng)7≤ x≤5 時， y 的最大值是 16.3． .415如圖，由已知有 .由此可得ABCE? .?∴ .31467?又 BCA???2cos2 ，41678??∴ DECDEcos22??? .16543)41(3??因此， .?4． 31如圖，設(shè)⊙ O1的半徑為 8，⊙ O2，⊙ O3的半徑為 5，切點為 A，由對稱性可知，能蓋住這三個圓的最小圓形片的圓心 O 必在對稱軸 O1A 上，第 39 頁 共 120 圓形紙片的半徑為 r，則在 Rt△ O1O2A 中， .5)8(21????AO在 Rt△ OO2A 中， 22)81()(rr??解出 .340?第 二 試一、證明 如圖，連接 OA,OC,OP, 和 中， OC=，OCP?AQ， .ABC?QP∴ .AC?又∵ O 是 的外心，?∴ .O?由于等腰三角形的外心必在頂角的平分線上.∴ ，從而 .QA??QP?因此， ≌ ，C?A于是， .O?所以， O,A,P,Q 四點共圓.二、這樣的直角三角形存在， c,兩直角邊分別為a,b,面積為 S,則 a≤ bca+b, ① a+b+c=b， ② ， ③22?? 為整數(shù) ④S1由①,②有 cbac36??可得 . ⑤2又由①有 ，2)()(???即 .22136cba?第 40 頁 共 120 把③,④代入上式，得 ， ⑥221364cSc????從而得由⑤有 ，又因 S 為整數(shù)，再由⑥，3 c 亦為整數(shù)，從而 或 ?x 73?c若 ，則 ，代入②,④得 ， ，由于此方程組無解，故7?c231?ba4此情形不可能；若 則 ，此時 ， .831S0?2解此方程組得 ， ，而 ，以這三個數(shù)為邊長構(gòu)成唯一直375??a375b8?c角三角形.三、由統(tǒng)計表可知：做對 0—3 個題的總?cè)藶?(人)，他們做對46210?題目數(shù)的總和為 (題)；做對 12—15 個題的總?cè)藬?shù)為912187???(人)，他們做對題目數(shù)的總和為 1512+613+314+115=315(題).251365??以 分別表示做對 0 個，1 個，…，15 個題目的人數(shù)，由題意有0,x? ，65415??x? ?及 ，402022x? ?即 ，)(654 15545 xxx ????? .020 02022 ??兩式相減得 )3(52112 xxx???? 4)(610054??? )()( 10543211512 xxxxx ??? 6)( 5100???? ?? .)(2)(4 13211541321 xxxxx? ?第 41 頁 共 120 而已求得 ，463210??xx ，5132 ，93210xx ，41532 ???代入上式得 915?x ，)(24641510xx??????故 ， （ ≥0）1510 .3xx??因此，當(dāng) 時，統(tǒng)計的總?cè)藬?shù) 最少為 200 ?1995 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一、選擇題本題共有 6 個小題，每一個小題都給出了以（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）為代號的四個答案，其中只有一個答案是正確的，請將正確的答案用代號填在各小題的括號內(nèi)。 4．把兩個半徑為 5 和一個半徑為 8 的圓形紙片放在桌面上，使它們兩兩相切，若要用大圓形紙片把這三個圓形紙片完全蓋住，則這個大圓形紙片的最小半徑等于_________。2．當(dāng) 時，函數(shù) 的最大值是_________。BE+CH6．若方程 有兩個不相等的根，則實數(shù) P 的取值范圍是( )（A） ； （B） ； （C） ； 0?p41?p410??p第 35 頁 共 120 41?p答（ ）7．設(shè)銳角△ABC 的三條高 AD，BE，CF 相交于 H，若 BC= a，AC= b，AB= c，則AH（A）等于 4； （B）等于 5； （C）等于 6； （D）不能確定4．當(dāng) 時，多項式219??x的值為( )013)47(?（A）1； （B）1； （C）2 2022 （D）2 20225．若平行直線，EF，MN 與相交直線，AB，CD 相交成如圖所示的圖形，同共得同旁內(nèi)角( )對。若 BC=2，DA=3。2（2）由韋達(dá)定理及 ， ，有01 1)(212???xbc ≥0,)(x c≥ b1.對于方程 進(jìn)得同樣討論，得 b≥ ??綜合以上結(jié)果，有 b1≤ c≤ b+1.（3）根據(jù)（2）的結(jié)果可分下列情況討論：（I）當(dāng) c=b+1 時，由韋達(dá)定理有 從而 .由于12121??xx 2)1(1??xx1,x2都是負(fù)整數(shù)，故 或??????.,21x????.,21x由此算出 ， .5b6c經(jīng)檢驗 ， 符合題意.（II）當(dāng) c=b 時，有 ，從而 .因此 )(2121xx 1)(21?x.故 .21??x4?經(jīng)檢驗 符合題意.（III）當(dāng) 時， 對方程 作（I）類似討論，得1bc?c02??bcx第 34 頁 共 120 ， .6?b5c綜上所述得三組值： ???,?,6b???.4c1994 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 第一試一、選擇題本題共有 8 個小題，每小題都給出了（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）四個結(jié)論，其中只有一個是正確的，請把正確結(jié)論代表字母在題后的圓括號內(nèi)。1x01?x2同理 ， .39。時，同理可證上式也成立，由于 BC 是不變的，所以當(dāng) A 點至 BC 的距離變小時，乘積 ??解法 2 作圖如解法 1，再延長 AD 至 G，使 DG=DH，并分別連接 BG， GC.由△ HBD≌△ GBD 知， .AG??因而，A,B,G,C ，得 DBDA??? .241C因此， HBAS?? )21)((C?? .46由于 BC A 至 BC 的距離變小時，乘積 ??二、 由于 ，知△ ABC . ，22135?? 30125??設(shè) ， ，xADyE由于 ASsin2? ，15? ，3i知 xy = 78.由余弦定理知： )cos1(2)(cos22 AxyAxyDE??????第 33 頁 共 120 )132(78)(2?????yx ≥12，當(dāng) x=y 時，上式的等號成立，此時 ?DE三、 （1）假如 ,同由 ，知 ，對于已知兩個方程用韋達(dá)定理0?x021x2?得 ，這與已知 ， ， .212139。?bc?(3)求 所有可能的值.,1993 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷答案第 一 試 一．選擇題1． （A）∵ ，1)(1662?????xx∴ 余式為 1.2． （B）命題 I 正確，證明如下：如圖， ABCDE 為圓內(nèi)接五邊形， ，知 = ，于是 = .BA??︵ BCE ︵ CEA ︵ BC︵ EA∴ .EAC?同理可證 .故 ABCDE 命題 II 不正確，反例如下：如圖， ABCD 為圓內(nèi)接矩形，∠A=∠B=∠C=∠D=90176。 (B) (C) (D))23123?123?答( )1. 當(dāng) x 變化時,分式 ?x 1993 個盒子從左到右排成一行,如果最左面的盒里有 7 個小球,且每四個相鄰的盒里共有 30 個小球,那么最右面的盒里有__________個小球. 有四個非零實根,且它們在數(shù)軸上對應(yīng)的四個點等距kx??)4(12排列,則 = ABC 中, .以 BC 邊為直徑作圓,與 AB, AC 分別??30A交于 D, E,連接 DE, 把三角形 ABC 分成三角形 ADE 與四邊形 BDEC,設(shè)它們的面積分別為 S1, S2,則 S1:S2=___________.第二試 H 是等腰三角形 ABC 垂心,在底邊 BC 保持不變的情況下讓頂點A 至底邊 BC 的距離變小,這時乘積 的值變小,變大,還是不變?證HBCAS??明你的結(jié)論.二. 中, BC=5, AC=12, AB=13, 在邊 AB ,AC 上分別取點 D, BC?E, 使線段 DE 將 DE 的最A(yù)小長度. 分別各有兩個整數(shù)根 及 ,0022 ????bcxcbx及 21,x21?第 28 頁 共 120 且 .,021?x21?(1)求證: 。 (D) .23 2435x?? 的整數(shù)解的個解( )7)1(???xx(A)等于 4 (B)小于 4 (C)大于 5 (D)等于 5 中, ,則 的值A(chǔ)BC?BCAO??,是 垂 心是 鈍 角 )cos(OCB??是( )(A)