【正文】 非主導(dǎo)極點(diǎn)與虛軸的距離與主導(dǎo)極點(diǎn)與原點(diǎn)的距離之比 7, ????3 / / ??? ? ? 仍然以二階系統(tǒng)代替原系統(tǒng)，則其動(dòng)態(tài)性能為 200e x p ( / 1 ) 1 0 0? ? ? ?? ? ? ?3 9 。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能為 。圖 3－ 42曲線 a、 b分別為原系統(tǒng)和忽略 Ta的系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線。 根據(jù)上面所述，用二階系統(tǒng) 2220 .7 5()2 0 .7 0 3 0 .7 5 0 .7 5s ss? ? ? ? ? ?(3 5 2 )?來(lái)近似原來(lái)的三階系統(tǒng)（ 3－ 51）不會(huì)引起明顯的誤差。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能為 。 忽略電磁時(shí)間常數(shù) Ta后，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 式中， 02() ( 1 )a m mKGsT T s T s s? ??00() ( 1 )KGs s T s? ?0 01 02 03 0。設(shè) Tm＝ 1s，Ta＝ 。 一般來(lái)說(shuō)， TmTa。 圖 3－ 41是一個(gè)自整角機(jī)直流隨動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。忽略了系統(tǒng)具有小時(shí)間常數(shù)的環(huán)節(jié)后，便可以用二階或三階系統(tǒng)來(lái)近似，這就是所謂的降價(jià)處理。 表 3－ 3列出了當(dāng) ξ＝ 、 ξ ωn＝ 5時(shí)實(shí)數(shù)極點(diǎn)的不同取值，圖 3－ 38為相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線；表 3－ 34列出了當(dāng) ＝， ξ ωn＝ 5時(shí)，實(shí)數(shù)極點(diǎn)的不同取值，圖 3－ 39為相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線；表 3－ 5列出了當(dāng) ξ＝ 、 ξ ωn＝ 5時(shí)，實(shí)數(shù)極點(diǎn)的不同取值，圖 3－ 40為相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線 。可以認(rèn)為，當(dāng)實(shí)數(shù)極點(diǎn)與主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)模值之比大于 5時(shí)，非主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)時(shí)間響應(yīng)的影響可以忽略。 3np????3np??? 圖 3－ 37中，曲線 6對(duì)應(yīng)于只有一對(duì)主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)而沒(méi)有非主導(dǎo)極點(diǎn)的情況。閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ?23223() ( 2 ) ( )nnnpss s s p???? ?? ? ? ?p3 ξωn jω σ 0 圖 336 系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn) 令 β為實(shí)數(shù)極點(diǎn)與復(fù)數(shù)極點(diǎn)實(shí)數(shù)部分之比，即 令 α為實(shí)數(shù)極點(diǎn)與復(fù)數(shù)極點(diǎn)的模值（極點(diǎn)與原點(diǎn)的距離）之比，即 圖 3－ 37中的曲線是在主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)的參數(shù)為 ξ＝ 、ωn＝ ξωn＝ ，實(shí)數(shù)極點(diǎn) p3取不同值時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖還可以看出，當(dāng)非主導(dǎo)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸時(shí)，它的影響逐漸減少。圖 3－55為 ξ＝ ， β＝ 1， 2， 4， 時(shí)的時(shí)間響應(yīng)曲線。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2 3223() ( 2 ) ( )nnnpss s s p???? ?? ? ? ? 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 式中， 表示非主導(dǎo)極點(diǎn)與虛軸的距離與主導(dǎo)極點(diǎn)與虛軸的距離的比值。這對(duì)極點(diǎn)被稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。 二、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 一個(gè)穩(wěn)定的高階系統(tǒng)若其零、極點(diǎn)的分布基本上符合下面的模式：左半復(fù)平面上離虛軸最近的極點(diǎn)是一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)（而不是實(shí)極點(diǎn)），它們的附近沒(méi)有零點(diǎn)；系統(tǒng)的其它極點(diǎn)，有的恰有鄰近的零點(diǎn)與之相消，有的又在上述這對(duì)極點(diǎn)左方很遠(yuǎn)，并離所有零點(diǎn)也很遠(yuǎn)的地方。 （ 3）各函數(shù)項(xiàng)的系數(shù)取決于系統(tǒng)零、極點(diǎn)的分布，有如下幾種情況：若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)很??；若某極點(diǎn)接近一零點(diǎn)，而有遠(yuǎn)離其它極點(diǎn)和零點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)也很小；若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)又接近原點(diǎn)或其它極點(diǎn)，則相應(yīng)項(xiàng)系數(shù)就比較大。 （ 2）從式（ 3－ 48）可看到，各函數(shù)項(xiàng)是按指數(shù)規(guī)律衰減的，衰減的快慢取決于極點(diǎn)和虛軸的距離。因而，瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程可能是一個(gè)單調(diào)的衰減過(guò)程，也可能是一個(gè)衰減的振蕩過(guò)程。在計(jì)算機(jī)應(yīng)用十分普及的今天，利用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（ CAD）軟件來(lái)完成這件工作是十分合適的。這些系數(shù)的大小和閉環(huán)系統(tǒng)的所有極點(diǎn)、零點(diǎn)都有關(guān)系。這些函數(shù)項(xiàng)是一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的（ 0ξ1）的瞬態(tài)響應(yīng)。 C（ s）在共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的留數(shù)，是 一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，為 。為研究方便，將其表示成零、極的形式 式中， q+2r=n。 解 輸出對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)為 2( ) 0 . 2 ( 0 . 8 1 )()( ) 0 . 1 6 0 . 2 1NC s ssN s s s???????220 .2 ( 0 .8 1 )0 .4 2 0 .2 5 0 .4 1sss???? ? ? ? 220 .2 ( 0 .8 1 ) 1()0 .4 2 0 .2 5 0 .4 1sCss s s????? ? ? ?0( ) l im ( ) 0 .2sc sC s?? ? ? ?從傳遞函數(shù)可知， 從圖 3－ 28可查得 。 Cmax= c（ ?） （ 1+ ?% ） 例 3－ 14 設(shè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 3－ 33所示，試求在單位階躍擾動(dòng)作用下系統(tǒng)的靜態(tài)誤差 和最大誤差 cmax。 適當(dāng)?shù)倪x擇 ?值，可以使系統(tǒng)有令人滿意的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，同時(shí)滿足靜態(tài)性能指標(biāo)。 引入微分環(huán)節(jié)后，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 00( 1 )()( 1 )KsGss T s? ???2000( 1 )()1( ) 1ssTssKK?????? ? ?(3 4 5 )? 從式（ 3－ 45）可看出，引入微分環(huán)節(jié)后該系統(tǒng)成為具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)。實(shí)際上，為了滿足對(duì)系統(tǒng)靜態(tài)性能的要求， K0的取值是受限制的。 ?s+1 K0/s（ T0s+1） ? R（ s） C（ s） 圖 329 引入微分順饋 的系統(tǒng) 當(dāng)控制作用中沒(méi)有誤差的導(dǎo)數(shù)時(shí)（ ），系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 式中， 0? ?00()( 1 )KGss T s??00 0 011。在系統(tǒng)中引入微分環(huán)節(jié)（在控制作用中引入誤差的導(dǎo)數(shù)）也可以提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。（見(jiàn)圖3－ 26）。 由式（ 3－ 41）可求出調(diào)節(jié)時(shí)間 ts。 ?= ?（ ?=0）時(shí)為典型二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。用 ?表示零點(diǎn)到虛軸的距離與一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)到虛軸的距離之比，即 ?=z/（ ??n）。 一般情況下，零點(diǎn)的影響是使響應(yīng)迅速且具有較大的超調(diào)量。如圖 3－ 25所示。 圖 324 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 解 二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ?（ s） =K/（ T2s2+2 ? Ts+1） 根據(jù)所給指標(biāo)可知 ?=， T=， K= ?（ s） =（ +2 +1） 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) G（ s ） = ?（ s） /[1 ?（ s） ]=19/（ 5s2+6s+1） =19 / （ +2 +1） 即 K0=19， T0=， ?0=，由于 ?01，系統(tǒng)的前向通道由兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)組成 )1)(15(19)(??? sssG 四、具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)分析 上面所研究的二階系統(tǒng)具有式（ 3－ 14）或式（ 3－ 15）的典型形式，其傳遞函數(shù)具有兩個(gè)極點(diǎn)－ p－ p2，沒(méi)有零點(diǎn)，即 下面研究當(dāng)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)還包含一個(gè)零點(diǎn)時(shí)的情況，即 是系統(tǒng)的零點(diǎn)。 0 1 0 2 0 1 0 20 1 0 2 0 1 0 20 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 22 ( 1 ) 6331sK K T TT T T TTtK K T T T T???? ? ? ? ?? ? ? 例 312 圖 324為單位反饋二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。把系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù) T、 ξ帶入式（ 3－ 31）可得 所以，當(dāng)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)較大，使系統(tǒng)成為欠阻尼時(shí)，階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間是一個(gè)常數(shù)。 220 . 8 3()0 . 2 8 8 2 1 . 4 7 0 . 2 8 8 1s ss? ? ? ? ? ?01l im ( ) l im ( ) 0 .8 3tsc t s s s?? ? ???1 ( ) 1 3 7 0ssec? ? ? ? ? ? ?0K ?(3 3 8 )?? 當(dāng) K01=25時(shí)，二階系統(tǒng)的特征參數(shù)分別為 從式（ 3－ 28）可得 從式（ 3－ 31）可得 5 ( )1 25 15 12 ( 1 25 1 ) 5 25 11 25 1TsK?????????? ? ? ??????20 . 7 0 7 / 1 0 . 7 0 70 0 01 0 0 4 . 30 0 0e ?? ? ? ?? ? ?3 / 0 .7 0 7 0 .5 9 ( )st T s?? 從上面的結(jié)果可推知，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)愈大，二階系統(tǒng)的慣性時(shí)間常數(shù) T愈小， ξ也愈小，可能使系統(tǒng)從過(guò)阻尼變?yōu)榍纷枘帷? 解 根據(jù)式（ 3－ 12）可以算出，當(dāng) K01＝ 5 時(shí)，二階系統(tǒng)的特征參數(shù)分別為 5 8 ( )1 5 15 12 ( 1 5 1 ) 5 511 5 1TsK?????????? ? ? ?????? 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 根據(jù)拉氏變換的終值定理，在單位階躍信號(hào)作用下，輸出的穩(wěn)態(tài)值為 按照關(guān)于穩(wěn)態(tài)誤差的定義 易知， 時(shí)的階躍響應(yīng)時(shí)間曲線僅是縱坐標(biāo)的比例尺乘以K得出的， K=1時(shí)的階躍響應(yīng)曲線、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)與 K無(wú)關(guān)。 6 0 . 2 5( 1 ) / ( 1 ) / 1 6 0 0 . 0 1 2 5 ( )0 . 5sT Kst??? ? ? ? ?0010? ? ? ?1010 2 2 20011 1 1 6 0 0 . 0 1 2 5 8 . 3 ( )4 4 39。 0001639。工程上，一般是通過(guò)輸出信號(hào)的微分來(lái)獲得速度信號(hào)的（如利用測(cè)速發(fā)電機(jī)），圖3－ 21又可以畫成為圖 3－ 22的形式。 1 1KKT s K KKTT s KsT s K?? ????????????0 1 0 2 0 30011K K KKK ???(3 3 6 )?000139。39。加入速度反饋后，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)為 慣性時(shí)間常數(shù)為 ?0 1 0 10 0 1 0 10 1 00 0 10 0 139。試求 （ 1）系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) ?% 和 ts；（ 2）若欲使 ?% =10%，當(dāng)保持 T0不變時(shí)， K0應(yīng)取何值？ R(s) 1001?sTKsK02C(s) (a) 圖 312 解 T= = ?（ s） ?= = 1/2 ?1/16/= （ 1）根據(jù)式 ?% =exp(??/ ) 100%可得 ?% =44% 根據(jù)式 ts?3/ ??n可得 ts= （ 2）欲使 ?% =10%，由 ?% =exp(??/ ) 100% 可得 ?= ，又有 ?= ， T0不變， 0021TK00KT21 ?21 ?0021TK 可得 =（ s1） T= = （ s） 對(duì)于欠阻尼系統(tǒng)，有 ts=3T/?=3 （ ） /（ ） =6T0 可知，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間由 T0唯一確定。在 T0給定的情況下，可以通過(guò)改變 K0， 使系統(tǒng)滿足一定的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。 221()21sT s Ts?????00 001,2TTK KT??? （ 2）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系數(shù) K0和慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) T0增加，則 ξ減