【正文】 則對于切觸投資組合，風險—收益坐標(,)被等式，決定，這里，是剛被計算出來的比例。因此，對于切觸投資組合和的值被，給出，這里(,)是前面矩陣方程的唯一解。注意拉格朗日乘子將一般依賴于。字母為收益變化比率，一般被用在投資理論中，所以在這里將不被用于代表拉格朗日乘子。更加簡單的優(yōu)化問題可以運用拉格朗日乘子法解決。因為唯一出現(xiàn)的位置是在條件中，這意味著我們能解決一般優(yōu)化問題，途徑是首先解決下面更加簡單的問題最小化： 滿足： 然后由確定。注意在這個優(yōu)化中的條件與以下條件是等價的。則在這樣一個投資組合上的收益是，因此和，這里，且。因此，有效集（我們已經(jīng)知道它是過(0,)和的直線）可以由解下列最優(yōu)化問題集族確定（對每一個）：最小化： 滿足： 。我們將用一個稍微不同的方式確定的坐標，當風險保證金的數(shù)量大于２的時候它更容易被采用。確定切觸投資組合切觸投資組合具有性質(zhì)：是雙曲線上使比率達最大的投資組合（說服自己它就是這樣的）。投資者的優(yōu)選投資組合在這個圖上用表示。按照這個分離定理的觀點，投資組合選擇問題被退化為確定一個投資者應(yīng)該投資在無風險資產(chǎn)上的投資組合的比例。注意，特別地，有效資產(chǎn)投資組合全部都有同樣的風險部分；在他們之中唯一的區(qū)別是被配置到無風險資產(chǎn)中的比例。因此，在將作為我們投資組合的風險部分還是將作為風險部分的選擇中，我們應(yīng)該總是選擇。因此，很明顯由和無風險資產(chǎn)組成的每一投資組合被由和無風險資產(chǎn)的投資組合控制。從我們在167。注意在這個圖中是通過的切線的截距。我們知道只包括兩個風險保證金。進一步，讓表示無風險率。這與在股票、債券、和短期貨幣市場保證金中配置資產(chǎn)問題相一致。這是在斜率為和截斷為的風險收益空間里的一條直線（）。進一步，讓表示，并且用，代替。）。從這張圖，很明顯從只包括低風險保證金的投資組合開始，利用將高風險保證金的一部分加到投資組合來減少風險和同時增加期望回報是可能的。注意，在這種情形，構(gòu)造一個完全套期保值資產(chǎn)組合是可能的（即的投資組合) 。則可能的投資組合集合是一條直線。我們也假設(shè)不允許有空頭位置?！⊥顿Y組合機會集合的特殊情況　　我們用在一些特殊情況下強調(diào)投資組合機會集合的形式結(jié)束本節(jié)。 因此，應(yīng)該投資在債券中的投資組合的比例是 　 。注意，這樣的度量也總可由的適當選擇而達到?！　@種類型的問題，習(xí)慣上假設(shè)，效用函數(shù)是用百分數(shù)度量。假設(shè)一個投資者的效用函數(shù)具有形式。在短期銷售被限制的更加現(xiàn)實的條件下，最優(yōu)的投資組合也許與剛決定的不同。從，可得出應(yīng)該在上投資的投資組合比例是。清楚地，最優(yōu)的投資組合依賴于的值，而表示這個投資者的風險厭惡水平?！　膱D來看，的最大值是滿足拋物線是雙曲線的切線的數(shù)（?！　τ谝粋€有風險承受力水平的投資者，投資組合最優(yōu)化問題可以被如下陳述：最大化: 滿足: .這是一個可求解的簡單約束最優(yōu)化問題，只須將條件代入目標函數(shù)，然后由單變量微積分，使用標準最優(yōu)化方法求解。但是，為簡單起見，我們略去細節(jié)。（這里，和代表回報概率分布的平均值和標準差) ?！　⌒в煤瘮?shù)有許多不同的形式。將分布函數(shù)映射到實數(shù)的函數(shù)稱為效用函數(shù)。　　考慮一個特殊投資者，假設(shè)這個投資者有能力對每個可能的投資回報分布去指定一個數(shù)，它具有以下性質(zhì)：1. 當且僅當這個投資者更喜歡以回報投資，而不是以回報投資。因為通常不同的投資者有不同的風險承受力，我們應(yīng)該期望每個投資者有一份不同的最優(yōu)投資組合。確定最優(yōu)投資組合　　現(xiàn)在我們考慮在有效集中哪份組合是最佳的。這些組合被認為是有效資產(chǎn)組合。所以，將總是更喜歡在下半支的組合?！痹陔p曲線的下半分支的組合，雖理論上是可能，但不會在實際中被選擇?！　∽⒁猓p曲線描述的是在風險（用測量）和收益（用測量）之間的交易。的確， (不等式成立是因為)和 (同樣因為)進一步。為了強調(diào)和是變量，我們從現(xiàn)在開始舍去下標。為了看起來更加明顯，從等式和均值和方差的性質(zhì)，我們有，這里是和的相關(guān)系數(shù)，從的方程中得到，將它代入的方程中，就從這兩方程中消去了，我們得到，它描述的是如前提到的平面內(nèi)的一條曲線。），可以得出是正態(tài)分布的并且、和的分布完全由它們各自的均值和標準差所刻畫。但是，關(guān)于股票價格回報的數(shù)據(jù)表明，作為最初的近似，它不是不合情理的。假設(shè)和都是正態(tài)分布的并且它們的聯(lián)合分布是二元正態(tài)分布。所以，由變化，我們能改變組合的回報特征。然后，如果在考慮的這段時期內(nèi)對投資組合匹配不做變動，那么。假設(shè)我們組合的當前值是美元并且讓和分別表示投資在和的美元數(shù)。我們的目標是要在組合中確定和的“最佳匹配”。 兩個保障的組合本節(jié), 我們考慮只包括兩個保證金和的組合。資本定價模型（CAPM），如所提到的，當整體市場是處于平衡時給對于風險保障公平的回報一個公式。最后，對于包含在組合中無窮多個保障可利用時，我們考慮組合選擇。從這個觀點看到，有二個保障的組合選擇問題與股票和證券之間的資產(chǎn)組合問題是等價的。我們從考慮兩個保障的組合開始。這個結(jié)果表示了對于傳統(tǒng)經(jīng)驗的置疑，用“正確的”投資管理人擊打市場是理性的，并且這樣做改革了投資產(chǎn)業(yè)。確實，共同基金的普及（跟蹤一個指數(shù)的表現(xiàn)譬如Samp。這材料不在其它這個水平的概率材料討論；但是，它是基本理論的一種很好的應(yīng)用并且它是非常容易理解的。 the only difference among them is the portion allocated to the riskfree asset. This surprising result, which provides a theoretical justification for the use of index mutual funds by every investor, is known as the mutual fund separation theorem. In view of this separation theorem, the portfolio selection problem is reduced to determining the fraction of an investor’s portfolio that should be invested in the riskfree asset. This is a straightforward problem when the utility functional has the form (Figure ). The investor’s optimal portfolio in this figure is denoted by . Details are left to the reader.FIGURE Optimal Portfolio for a Given Utility FunctionalDetermining the Tangency PortfolioThe tangency portfolio has the property of being the portfolio on the hyperbola for which the ratiois maximal. (Convince yourself that this is so.) Hence, one method of determining the coordinates of is to solve the following optimization problem:Maximize: Subject to: .We will determine the coordinates of in a slightly different way, which is more easily adapted when the number of risky securities is greater than two.Recall that the efficient portfolios are the ones with the least risk (., smallest ) for a given level of expected return . Hence, the efficient set, which we already know is the line through (0,) and , can be determined by solving the following collection of optimization problems (one for each ):Minimize: Subject to: .Let , , be the amounts allocated to , , and the riskfree asset, respectively. Then the return on such a portfolio is,and soand,where , , and . Note that does not contain any terms in ! Consequently, the optimization problem can be written asMinimize: Subject to: ,.Note that the conditions in the optimization are equivalent to the conditions,.(Substitute into the first condition.) Since the only place that now occurs is in the condition , this means that we can solve the general optimization problem by first solving the simpler problemMinimize: S