【正文】 kowitz模型的一個(gè)重要結(jié)果，即歸功于William Sharpe的諾貝爾獎(jiǎng)贏取資本資產(chǎn)定價(jià)模型結(jié)束本章。資本定價(jià)模型（CAPM），如所提到的，當(dāng)整體市場是處于平衡時(shí)給對于風(fēng)險(xiǎn)保障公平的回報(bào)一個(gè)公式。像Markowitz模型一樣，資本定價(jià)模型（CAPM）對組合管理實(shí)踐有著深刻的影響。 兩個(gè)保障的組合本節(jié), 我們考慮只包括兩個(gè)保證金和的組合。這兩保證金可以是一個(gè)股票共同基金和一個(gè)債券共同基金, 在這種情形組合選擇問題相當(dāng)于資產(chǎn)分配, 或可能是其它別的。我們的目標(biāo)是要在組合中確定和的“最佳匹配”。組合機(jī)會(huì)集合讓我們由描述可以被由和建立的可能的投資組合集合開始。假設(shè)我們組合的當(dāng)前值是美元并且讓和分別表示投資在和的美元數(shù)。讓和表示在和上在經(jīng)歷一個(gè)現(xiàn)在開始且在未來某固定點(diǎn)及時(shí)結(jié)束的這一未來時(shí)間段上簡單的回報(bào)，并讓表示投資組合對應(yīng)的簡單回報(bào)。然后，如果在考慮的這段時(shí)期內(nèi)對投資組合匹配不做變動(dòng)，那么。這時(shí)，在指定時(shí)期內(nèi)投資組合的回報(bào)是，其中是當(dāng)前被投資在中的組合比例。所以，由變化，我們能改變組合的回報(bào)特征?，F(xiàn)在如果和是風(fēng)險(xiǎn)保障，本節(jié)我們都要這樣假設(shè)，那么、和都是隨機(jī)變量。假設(shè)和都是正態(tài)分布的并且它們的聯(lián)合分布是二元正態(tài)分布。這也許是一個(gè)條件強(qiáng)的假定。但是，關(guān)于股票價(jià)格回報(bào)的數(shù)據(jù)表明，作為最初的近似，它不是不合情理的。然后，從正態(tài)分布的性質(zhì)（見167。），可以得出是正態(tài)分布的并且、和的分布完全由它們各自的均值和標(biāo)準(zhǔn)差所刻畫。因此，由于是和的一個(gè)線性組合，由和組成的可能的投資組合集合可以由平面中的曲線所描述。為了看起來更加明顯，從等式和均值和方差的性質(zhì)，我們有，這里是和的相關(guān)系數(shù)，從的方程中得到，將它代入的方程中，就從這兩方程中消去了，我們得到，它描述的是如前提到的平面內(nèi)的一條曲線。注意到當(dāng)，，保持不變時(shí)，和隨著改變。為了強(qiáng)調(diào)和是變量，我們從現(xiàn)在開始舍去下標(biāo)。則前面關(guān)于的等式可以被寫為，其中，是只依賴和的參數(shù)，且。的確， (不等式成立是因?yàn)?和 (同樣因?yàn)?進(jìn)一步。因此，可能的投資組合位于曲線，這是以為頂點(diǎn)的一個(gè)雙曲線的右邊一半（）?！　∽⒁?，雙曲線描述的是在風(fēng)險(xiǎn)（用測量）和收益（用測量）之間的交易。的確，沿雙曲線的上半支，明顯獲得一個(gè)更加巨大的收益，我們必須以更大的風(fēng)險(xiǎn)去投資一份組合投資；換句話說，“沒有痛苦，沒有取得?！痹陔p曲線的下半分支的組合，雖理論上是可能，但不會(huì)在實(shí)際中被選擇。原因是對任一個(gè)選擇的風(fēng)險(xiǎn)水平， 具有標(biāo)準(zhǔn)差為的上半支的投資組合總比具有標(biāo)準(zhǔn)差為的下半支的投資組合有更高的期望回報(bào)（即有更高的收益）。所以，將總是更喜歡在下半支的組合。結(jié)果，只需要被進(jìn)一步考慮的組合就是在上半分支的那些。這些組合被認(rèn)為是有效資產(chǎn)組合。一般地，一份有效資產(chǎn)組合是對一個(gè)給定的風(fēng)險(xiǎn)水平能提供最高收益的組合。確定最優(yōu)投資組合　　現(xiàn)在我們考慮在有效集中哪份組合是最佳的。要做到這點(diǎn)，我們需要考慮投資者對風(fēng)險(xiǎn)的承受力。因?yàn)橥ǔ２煌耐顿Y者有不同的風(fēng)險(xiǎn)承受力，我們應(yīng)該期望每個(gè)投資者有一份不同的最優(yōu)投資組合。我們很快看見這的確是實(shí)際情形。　　考慮一個(gè)特殊投資者，假設(shè)這個(gè)投資者有能力對每個(gè)可能的投資回報(bào)分布去指定一個(gè)數(shù)，它具有以下性質(zhì)：1. 當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)投資者更喜歡以回報(bào)投資，而不是以回報(bào)投資。2. 當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)投資者對選擇以回報(bào)投資和以回報(bào)投資漠不關(guān)心。將分布函數(shù)映射到實(shí)數(shù)的函數(shù)稱為效用函數(shù)。注意通常不同的投資者有不同的效用函數(shù)。　　效用函數(shù)有許多不同的形式。簡單起見，我們假設(shè)每個(gè)投資者有以下形式的效用函數(shù)，其中是一個(gè)測量投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平的值并且它對各個(gè)投資者是唯一的。（這里，和代表回報(bào)概率分布的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差) 。對于假設(shè)一個(gè)這種形式的效用函數(shù)有真正的理論原因。但是，為簡單起見，我們略去細(xì)節(jié)。注意到在假設(shè)一個(gè)效用函數(shù)具有這種形式時(shí)，我們暗含著假設(shè)在具有同樣風(fēng)險(xiǎn)水平的投資組合中，您是選擇期望收益更大的，而在具有同樣期望收益的投資組合中，選擇風(fēng)險(xiǎn)較少的?！　τ谝粋€(gè)有風(fēng)險(xiǎn)承受力水平的投資者，投資組合最優(yōu)化問題可以被如下陳述：最大化: 滿足: .這是一個(gè)可求解的簡單約束最優(yōu)化問題，只須將條件代入目標(biāo)函數(shù)，然后由單變量微積分，使用標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)化方法求解?；蛘哌@個(gè)優(yōu)化問題也可用多元微積分中的拉格朗日乘子法方法解決?！　膱D來看，的最大值是滿足拋物線是雙曲線的切線的數(shù)（。最優(yōu)的投資組合在這個(gè)圖用表示）。清楚地，最優(yōu)的投資組合依賴于的值，而表示這個(gè)投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平。詳細(xì)進(jìn)行最優(yōu)化，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)和都是兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)保障時(shí)（即和)，最優(yōu)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益坐標(biāo)是。從，可得出應(yīng)該在上投資的投資組合比例是。評述 我們已經(jīng)假設(shè)，沒有保證金的短期銷售是可能的（即我們已經(jīng)假設(shè)可以是任一個(gè)實(shí)數(shù)值，包括在區(qū)間[0,1]之外的值）。在短期銷售被限制的更加現(xiàn)實(shí)的條件下，最優(yōu)的投資組合也許與剛決定的不同。例1: 設(shè)債券基金的收益期望值為5%和標(biāo)準(zhǔn)差為12%，股票基金的收益期望值為10%和標(biāo)準(zhǔn)差為20%。假設(shè)一個(gè)投資者的效用函數(shù)具有形式。假設(shè)沒有保證金的短期銷售是可能的，確定投資者在股票和債券之間的最優(yōu)份額?！　@種類型的問題，習(xí)慣上假設(shè)，效用函數(shù)是用百分?jǐn)?shù)度量。因此，如果，分別代表在證券和股票基金上的收益，則。注意，這樣的度量也總可由的適當(dāng)選擇而達(dá)到。由已推出的公式，最優(yōu)組合的期望收益是，這里， 和 。 因此，應(yīng)該投資在債券中的投資組合的比例是 　 。 這樣，對一個(gè)$1000的投資組合，對賣出空頭$$?！⊥顿Y組合機(jī)會(huì)集合的特殊情況　　我們用在一些特殊情況下強(qiáng)調(diào)投資組合機(jī)會(huì)集合的形式結(jié)束本節(jié)。從頭到尾，我們假設(shè)和是滿足和的保證金（且的情況不使人感興趣，因?yàn)橹罂偸潜群茫?。我們也假設(shè)不允許有空頭位置。資產(chǎn)是完全正相關(guān)的　假設(shè)（即和完全正相關(guān)的）。則可能的投資組合集合是一條直線。資產(chǎn)是完全負(fù)相關(guān)的　假設(shè)（即和完全負(fù)相關(guān)的）。注意，在這種情形，構(gòu)造一個(gè)完全套期保值資產(chǎn)組合是可能的（即的投資組合) 。資產(chǎn)是不相關(guān)的　假設(shè)。從這張圖，很明顯從只包括低風(fēng)險(xiǎn)保證金的投資組合開始，利用將高風(fēng)險(xiǎn)保證金的一部分加到投資組合來減少風(fēng)險(xiǎn)和同時(shí)增加期望回報(bào)是可能的。因此，即使具有低風(fēng)險(xiǎn)承受力水平的投資者也應(yīng)該讓他們投資組合的一部分投資在高風(fēng)險(xiǎn)保證金里（也可參見在167。）。資產(chǎn)之一是無風(fēng)險(xiǎn)的　假設(shè)是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（即），令，無風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率。進(jìn)一步，讓表示，并且用，代替。則有效集如下給出。這是在斜率為和截?cái)酁榈娘L(fēng)險(xiǎn)收益空間里的一條直線（）。 兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)保證金和一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合現(xiàn)在假設(shè)，我們要從兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)保證金和一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)造一個(gè)投資組合。這與在股票、債券、和短期貨幣市場保證金中配置資產(chǎn)問題相一致。讓，表示在風(fēng)險(xiǎn)保證金的收益并且假設(shè)和。進(jìn)一步，讓表示無風(fēng)險(xiǎn)率。有效集從我們在167。，我們知道只包括兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)保證金。我們主張當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)也可利用時(shí)，有效集由過(0,)點(diǎn)的切線上的投資組合組成（）。注意在這個(gè)圖中是通過的切線的截距。為看清為什么是這樣，考慮一份只包括和的投資組合，并且讓是切觸投資組合（既在雙曲線上又在切線上的投資組合）。從我們在167。，我們知道，由風(fēng)險(xiǎn)投資組合和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成的每一投資組合位于過和(0,)點(diǎn)的直線上，由切觸投資組合和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成的每一投資組合位于過和(0,)的切線上（）。因此，很明顯由和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成的每一投資組合被由和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合控制。的確，對任意給定的風(fēng)險(xiǎn)水平，在過和(0,)的直線上都有一投資組合比在過和(0,)的切線上的相應(yīng)投資組合具有更大的。因此，在將作為我們投資組合的風(fēng)險(xiǎn)部分還是將作為風(fēng)險(xiǎn)部分的選擇中，我們應(yīng)該總是選擇。因此，如前所述有效資產(chǎn)投資組合位于過(0,)和的直線上。注意，特別地，有效資產(chǎn)投資組合全部都有同樣的風(fēng)險(xiǎn)部分；在他們之中唯一的區(qū)別是被配置到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中的比例。這個(gè)驚奇的結(jié)果，它為每個(gè)投資者對指數(shù)共同基金的使用提供了一個(gè)理論的辯解，這是著名的共同基金分離定理。按照這個(gè)分離定理的觀點(diǎn)，投資組合選擇問題被退化為確定一個(gè)投資者應(yīng)該投資在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資組合的比例。當(dāng)效用函數(shù)具有形式時(shí)，這是一個(gè)直接的問題（)。投資者的優(yōu)選投資組合在這個(gè)圖上用表示。細(xì)節(jié)留給讀者。確定切觸投資組合切觸投資組合具有性質(zhì)：是雙曲線上使比率達(dá)最大的投資組合（說服自己它就是這樣的）。因此，確定的坐標(biāo)的一個(gè)方法是解以下最優(yōu)化問題：最大化： 滿足： 。我們將用一個(gè)稍微不同的方式確定的坐標(biāo)，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)保證金的數(shù)量大于２的時(shí)候它更容易被采用。回顧一下有效的投資組合是對于給定期望收益的一個(gè)水平，具有最少風(fēng)險(xiǎn)（即最小的）的組合。因此，有效集（我們已經(jīng)知道它是過(0,)和的直線）可以由解下列最優(yōu)化問題集族確定（對每一個(gè)）：最小化： 滿足： 。讓，分別是被分配到，和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的數(shù)額。則在這樣一個(gè)投資組合上的收益是，因此和，這里，且。注意不含的任何項(xiàng)！因此，最優(yōu)化問題可以被寫成最小化： 滿足： 。注意在這個(gè)優(yōu)化中的條件與以下條件是等價(jià)的。（將代入第一個(gè)條件）。因?yàn)槲ㄒ怀霈F(xiàn)的位置是在條件中，這意味著我們能解決一般優(yōu)化問題，途徑是首先解決下面更加簡單的問題最小化： 滿足： 然后由確定。事實(shí)上，因?yàn)樵趦蓚€(gè)優(yōu)化問題中要求，是相同的，所以仍然能被最小化。更加簡單的優(yōu)化問題可以運(yùn)用拉格朗日乘子法解決。一般地，我們將有和，這里，是拉格朗日乘子。字母為收益變化比率，一般被用在投資理論中，所以在這里將不被用于代表拉格朗日乘子。進(jìn)行必要的微分，我們獲得，或者等價(jià)地，其中。注意拉格朗日乘子將一般依賴于?，F(xiàn)在切觸投資組合位于有效集上并且有的性質(zhì)（即切觸投資組合的任何部份都不被投資在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上）。因此，對于切觸投資組合和的值被，給出，這里(,)是前面矩陣方程的唯一解。的確，因?yàn)槲挥谟行Ъ?，我們必須?,)=(,)，并且因?yàn)?，我們必須有。則對于切觸投資組合，風(fēng)險(xiǎn)—收益坐標(biāo)(,)被等式，決定，這里，是剛被計(jì)算出來的比例。