數(shù)列極限的例題和習(xí)題(參考版)
2025-01-17 03:09本頁(yè)面
【正文】 則也有極限，且.證 令，則且再令，則 （※）根據(jù)假設(shè)條件，有極限，而根據(jù)上式(※)和題6，則有極限【注】作為施篤茲定理的應(yīng)用，則有(為正整數(shù))：若，則證 ，所以有正整數(shù)，使（）于是，當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，從而有再取正整數(shù)足夠大，使當(dāng)時(shí)，. 于是，當(dāng)時(shí)，即.，且通項(xiàng)單調(diào)減小，證明.證 因?yàn)槭諗浚杂嗪?(見下注)對(duì)于，由于通項(xiàng)單調(diào)減小，所以有，即 于是，當(dāng)時(shí)，任意給定正數(shù)，先取足夠大，使，再取正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，即【注】設(shè)級(jí)數(shù)，余和 則在求方程的近似解時(shí)，常常會(huì)得到疊代數(shù)列（逐次逼近數(shù)列）.當(dāng)它收斂時(shí)，就需要研究疊代數(shù)列的收斂性（不必求出數(shù)列的極限值），試求極限.⑴ 解 ，， 一般地， . 將以上這些等式依次相加，則得即. 因此，⑵ 設(shè). 提示:一方面，；另一方面，對(duì)于任何，數(shù)列是單調(diào)增大或單調(diào)減小的有界數(shù)列. 答案：. ⑶ 設(shè)實(shí)數(shù).提示:首先指出，假如有極限，在兩端取極限，則得二次方程解得. 因此，當(dāng)時(shí)，且. 答案：.. 數(shù)列和由下式所確定：證明它們
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