【正文】 ∠ A∠ ADC＝ 30176。＝ 120176。 . ∴∠ ADC＝∠ ADO +∠ ODC＝ 90176。 解：（ 1）連接 OD. ∵在⊙ O 中， OD＝ OA，∴∠ ADO＝∠ BAD＝ 30176。過點 D 的切線交 AB 的延長線于點 C。廣東河源 AP=2 ∴AM=4 ∴M（ 5 ， 0） ∵ON=MOtan30176。一模） 如圖，在直角坐標系中，以點 A（ ， 0）為圓心，以 2為半徑的圓與 x 軸交于 B， C 兩點，與 y 軸交于 D， E 兩點． （ 1）寫出 B， C， D 點坐標（不寫計算過程） （ 2）若 B、 C、 D 三點在拋物線 y=ax2+bx+c 上，求這個拋物線的解析式． （ 3）若圓 A 的切線交于 x 軸正半軸于點 M，交 y 軸負半軸與點 N，切點為 P， ∠OMN=30176。 ∴ BF= =4a ， ∴ FH=BF﹣ BH=4a ﹣ a =3a ， ∴ tan∠ BFE= = = ． 【點評】 本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．要熟知直角三角形的性質(zhì)并熟練掌握三角函數(shù)值的求法． 25. （ 2022 ∴ BC=2BE=4a， ∵∠ BFC=∠ A=30176。 ∴ BH= EH=a ， BE=2EH=2a， ∵ CE⊥ AB 于 E， ∴∠ A+∠ ABC=90176。=∠ ACB， ∴∠ CBF+∠ ACB=180176。 ∵∠ A=30176。聯(lián)考） 如圖， AB 是 △ ABC 外接圓 ⊙ O 的直徑， D 是 AB 延長線上一點，且 BD=AB， ∠ A=30176。 （ 2）求證： BPCBMNAM? E F B C D A Q P G 24. （ 2022廣東 BC＝ BH上海市閘北區(qū)江蘇丹陽市丹北片 二模 )如圖，已知在 △ABC 中， AB=AC=6， AH⊥ BC，垂足為點 H．點D 在邊 AB 上，且 AD=2，聯(lián)結 C D 交 AH 于點 E． （ 1）如圖 1，如果 AE=AD，求 AH 的長； （ 2）如 圖 2， ⊙ A 是以點 A 為圓心， AD 為半徑的圓，交 AH 于點 F．設點 P 為邊 BC 上一點，如果以點 P 為圓心， BP 為半徑的圓與 ⊙ A 外切，以點 P 為圓心， CP 為半徑的圓與 ⊙ A內(nèi)切，求邊 BC 的長； （ 3）如圖 3，聯(lián)結 DF．設 DF=x， △ABC 的面積為 y，求 y 關于 x 的函數(shù)解析式，并寫出自變量 x 的取值范圍． 【考點】 圓的綜合題． 【分析】 （ 1）如圖 1 中，過點 D 作 DG⊥ AH 于 G，由 DG∥BC 得 = = = = =，設 EG=a，則 EH=3a，列出方程即可解決． （ 2）關鍵兩個圓內(nèi)切、外切半徑之間的關系，先求出 PH，設 BP=x，根據(jù) AH2=AB2﹣ BH2=AP2﹣ PH2 列出方程即可解決問題． （ 3）如圖 3 中過點 D 作 DG⊥ AF 于 G，設 AG=t，根據(jù) AD2﹣ AG2=DF2﹣ FG2 程即求出 t與 x 的關系，再利用三角形面積公式計算即可． 【解答】 解：（ 1）如圖 1 中，過點 D 作 DG⊥ AH 于 G， ∵AH⊥ BC， AB=AC ∴∠DGE=∠CHG=90176。 （ 1）求證： AC=CD （ 2）若 OB=2，求 BH 的長 【 答案 】 證明（ 1）連接 OC 第 19 題圖 ∵ C 是 AB 中點， AB 是○ O 的直徑 ∴ OC⊥ AB,∵ BD 是○ O 切線 , ∴ BD⊥ AB.∴ OC∥ BD.∵ AO=BO ∴ AC=CD （ 2） ∵ E 是 OB 中點， ∴ OE=BE 在 △ COE 與△ FBE 中， ∠ CEO=∠ FEB OE=BE ∠ COE=∠ FBE △ COE≌△ FBE（ ASA） ∴ BF=CO∵ OB=2，∴ BF=2 ∴ AF= 224 2 2 5?? ∵ AB 是直徑∴ BH⊥ AF ∴ AB? BF=AF? BH ∴ 4 2 4 5525A B B FBH AF??? ? ? 20. (2022陜西師大附中 ∴OD⊥ ED ∴EF 是 O 的切線． （ 2）解：連 BG． ∵BC 是直徑， ∴∠BDC=90176。 ∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90176。山東棗莊 ∴∠ C=30176。 ∴∠ BOC=60176。 ∵ OD⊥ AB， ∴∠ AOB=2∠ AOE=120176。從而得出 ∠ BAC=∠ C，根據(jù)等角對等邊即可證得結論． 【解 答】 解：（ 1）設圓錐的底面圓半徑為 r， 過 O 作 OD⊥ AB 于 E，交 ⊙ O 于 D，連接 OB， 有折疊可得 OE= OD， ∵ OD=OA， ∴ OE= OA， ∴ 在 Rt△ AOE 中 ∠ OAE=30176。根據(jù)弧長公式求得弧 AB 的長，然 后根據(jù)圓錐的底面周長等于弧長得出 2πr=4π，即可求得這個圓錐 的底面圓半徑； （ 2）連接 OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得出 ∠ OBC=90176?！?AOE=60176。 云南省 即 AB⊥ BC， ∴BC 是 ⊙ O 的切線； （ 2） ∵點 O 是 AB 的中點，點 E 時 BD 的中點， ∴OE 是 △ABD 的中位線， ∴AD∥OE， ∴∠A=∠BOC．、 ∵由（ 1） ∠D=∠OBC=90176。 ∴∠ABD+∠A=90176。則可證得 BC 是 ⊙ O 的切線； （ 2）根據(jù)點 O 是 AB 的中 點，點 E 時 BD 的中點可知 OE 是 △ABD 的中位線，故 AD∥OE，則 ∠A=∠BOC，再由（ 1） ∠D=∠OBC=90176。繼而可得 ∠ABD+∠A=90176。 云南省曲靖市羅平縣 =30176。 ∴∠PAD=∠ADC﹣ ∠P=60176。 ∴AD=AC?tan30176。 ∴∠OAP=90176。 ∴∠AOP=60176。 ∴∠AOC=2∠B=120176。則可證得 AP 是 ⊙ O 的切線； （ 2）由 CD 是 ⊙ O 的直徑，即可得 ∠DAC=90176。AC=3， CD 是 ⊙ O 的直徑， P 是 CD 延長線上的一點，且 AP=AC． （ 1）求證： AP 是 ⊙ O 的切線； （ 2）求 PD 的長． 【考點】 切線的判定；圓周角定理；解直角三角形． 【分析】 （ 1）首先連接 OA，由 ∠B=60176。 新疆烏魯木齊九十八中 ． ∵∠DAC=∠OAC， ∠ADC=∠ACB=90176。 一模 ） 如圖， AB 為 ⊙ O 的直徑， C 為 ⊙ O 上一點， AD 和過 C點的直線互相垂 直，垂足為 D，且 AC 平分 ∠DAB． （ 1）求證： DC 為 ⊙ O 的切線； （ 2）若 ⊙ O 的半徑為 3， AD=4，求 AC 的長． 【考點】 切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）連接 OC，由 OA=OC 可以 得到 ∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明 ∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到 OC∥AD，然后就得到 OC⊥ CD，由此即可證明直線 CD 與 ⊙ O 相切于 C 點； （ 2）連接 BC，根據(jù)圓 周角定理的推 理得到 ∠ACB=90176。 ∴OH= OA= OD， ∵AC∥EF， ∴DE=2AH=2 ． 【點評】 本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，平行線的性質(zhì)和判定，輔助線的作法是解題的關鍵． 14. （ 2022 ∴AH=AO?cos30176。=4 =2 ， ∵∠ODF=∠F=∠HCO=90176。 ∵BC=2， AB=4， ∴∠CAB=30176。 ∵OD=OB， ∴∠OBD=∠ODB= ∠AOD=25176。=4 =2 ， AH=AO?cos30176。由直角三角形的性質(zhì)得到 ∠CAB=30176。求 ∠DBC 的大?。? （ Ⅱ ）如圖 ②，若 BC=2， AB=4，求 DE 的長． 【考點】 切線的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）如圖 1，連接 OD， BD，由 EF 與 ⊙ O 相切，得到 OD⊥ EF，由于 BF⊥ EF，得到 OD∥BF，得到 ∠AOD=∠B=50176。 天津市和平區(qū) （ 2）若 AD=6， DE=8，求 BE 的長 。天津南開區(qū). ∵ AD∥ BC， ∴ ∠ ADB=∠ EBD=90176。. ∴ ∠ CDO=∠ BOD=90176。 ∴ ∠ BOD=90176。天津北辰區(qū) ∴CD= = =2 ． 10. （ 2022 棗莊 41 中 一模） 如圖，在平面直角坐標系 xOy 中， ⊙ P 的圓心 P 為（﹣ 3， a），⊙ P 與 y 軸相切于點 C．直線 y=﹣ x 被 ⊙ P 截得的線段 AB 長為 4 ，則過點 P 的雙曲線的解析式為 y=﹣ ． 【考點】 切線的 性質(zhì)；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；垂徑定理． 【專題】 計算題． 【分析】 作 PH⊥ x 軸于 H，交直線 y=﹣ x 于 E，作 PD⊥ AB 于 D，連結 PC、 PA，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得 PC⊥ y 軸，則 PC=PA=OH=3，再根據(jù)垂徑定理，由 PD⊥ AB 得AD=BD=AB=2 ，則可根據(jù)勾股定理計算出 PD=1，接著利用直線 y=﹣ x 為第二、四象限的角平分線可判斷 △HOB 和 △PDE 都為等腰直角三角形，所以 EH=OH=3， PE= PD= ，則 P（﹣ 3， +3），然后利用待定系數(shù)法求過點 P 的雙曲線的解析式． 【解答】 解：作 PH⊥ x 軸于 H，交直線 y=﹣ x 于 E，作 PD⊥ AB 于 D，連結 PC、 PA，如圖， ∵⊙ P 與 y 軸相切于點 C， ∴PC⊥ y 軸， 而 P（﹣ 3， a）， ∴PC=3，即 ⊙ P 的半徑為 3， ∴PA=OH=3， ∵PD⊥ AB， ∴AD=BD=AB=4 =2 ， 在 Rt△PAD 中， PD= = =1， ∵直線 y=﹣ x 為第二、四象限的角平分線， ∴∠HOB=45176。 ∠ACD=90176。 AB=3 ， ∠ACO=60176。 ∵OC=OA， ∴△AOC 是等邊三角形， ∴∠ACO=60176。 OC=CP=OA， 即 OP=2OA， ∴sinP= = ； ∴∠P=30176。 ∴∠EAC+∠OAC=90176。 ∴∠CAD=90176。再由斜邊上的中線性質(zhì)得出 AE= CD=CE=DE，由 CD 是切線得出 CD⊥ OC，即可得出 OA⊥ AP，周長結論； （ 2）先證明 △AOC 是等邊三角形，得出 ∠ACO=60176。 4 月診斷檢測 （本題滿分 10 分） 如圖， Rt△ABC 中， ∠ ABC=90176。模擬 )（本題 8分） 已知：如圖，⊙ O的半徑 OC 垂直弦 AB 于點 H，連接 BC，過點 A作弦 AE∥ BC，過點 C作 CD∥ BA交 EA延長線于點 D，延長 CO交 AE于點 F． （ 1）求證： CD為⊙ O 的切線； （ 2）若 BC=10， AB=16，求 OF的長． 解 ：（ 1） ∵ OC⊥ AB， AB∥ CD ∴ OC⊥ DC. ∴∠ DCF=Rt∠ . ∴ CD是 ⊙ O的切線 . （ 2）連結 OB=x ∵直徑 AB=16 OC⊥ AB ∴ HA=BH=8 . ∵ BC=10 ∴ CH=6. ∴ OH=x6. 由勾股定理得222 OBBHOH ?? ED FBAOCHED FBAOCH222 8)6( xx ??? 解得 325?