【正文】 =4π， ∴ 2πr=4π， ∴ r=2； （ 2） ∵∠ AOB=120176。 ∵ BC 是 ⊙ O 的切線， ∴∠ CBO=90176。 ∴∠ OAE=∠ C， ∴ AB=BC． 【點評】 本題考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，弧長的計算，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，找出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵． 18. (2022模擬 )如圖，等腰三角形 ABC 中， AC=BC=10， AB=12，以 BC 為直徑作 ⊙ O 交 AB 于點 D，交 AC 于點 G， DF⊥ AC，垂足為 F，交 CB 的延長線于點 E． （ 1）求證：直線 EF 是 ⊙ O 的切線； （ 2）求 cos∠E 的值． 【考 點】 切線的判定；勾股定理． 【專題】 證明題． 【分析】 （ 1）求證直線 EF 是 ⊙ O 的切線，只要連接 OD 證明 OD⊥ EF 即可； （ 2）根據(jù) ∠E=∠CBG，可以把求 cos∠E 的值得問題轉(zhuǎn)化為求 cos∠CBG，進而轉(zhuǎn)化為求Rt△BCG 中，兩邊的比的問題． 【解答】 （ 1）證明：如圖， 方法 1：連接 OD、 CD． ∵BC 是直徑， ∴CD⊥ AB． ∵AC=BC． ∴D 是 AB 的中點． ∵O 為 CB 的中點， ∴OD∥AC． ∵DF⊥ AC， ∴OD⊥ EF． ∴EF 是 O 的切線． 方法 2： ∵AC=BC， ∴∠A=∠ABC， ∵OB=OD， ∴∠DBO=∠BDO， ∵∠A+∠ADF=90176。． 即 ∠EDO=90176。． ∴CD= =8． ∵AB?CD=2S△ABC=AC?BG， ∴BG= = ． ∴CG= = ． ∵BG⊥ AC， DF⊥ AC， ∴BG∥EF． ∴∠E=∠CBG， ∴cos∠E=cos∠CBG= = ． 【點評】 本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為 半徑），再證垂直即可． 19. (2022模擬 ) (8 分 )如圖， AB 是⊙ O 的直徑， C 是弧 AB 的中點，⊙ O 的切線 BD 交 AC 的延長線于點 D， E 是 OB 的中點， CE 的延長線交切線 DB 于點 F， AF 交○ O 于點 H，連接 BH。 上海閔行區(qū) BH=CH， ∴DG∥BC， ∴ = = = = =，設(shè) EG=a，則 EH=3a， ∴ = =， ∴AG=2a， AE=3a=2， ∴AH=6a=4． （ 2）如圖 2 中， ∵點 P 為圓心， BP 為半徑的圓與 ⊙ A 外 切， CP 為半徑的圓與 ⊙ A 內(nèi)切， ∴AP=AD+BP， AP=PC﹣ AD， ∴AD+BP=PC﹣ AD， ∴PC﹣ BP=2AD=4， ∴PH+HC﹣（ BH﹣ PH） =4， ∴PH=2， ∵AH2=AB2﹣ BH2=AP2﹣ PH2，設(shè) BP=x， ∴62﹣（ x+2） 2=（ x+2） 2﹣ 22， ∴x=2 ﹣ 2， ∴BC=2BH=2（ PB+PH） =4 ． （ 3）如圖 3 中，過點 D 作 DG⊥ AF 于 G，設(shè) AG=t， ∵AD2﹣ AG2=DF2﹣ FG2， ∴22﹣ t2=x2﹣（ 2﹣ t） 2， ∴t= ， ∴y=S△ABC=18?S△ADG=18?AG?DG=9? ? ， ∴y= （ 0＜ x＜ 2 ）． 【點評】 本題考查圓的有關(guān)知識、兩圓的位置關(guān)系、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是用轉(zhuǎn)化的思想，把問題掌握方程解決，屬于中考參考題型． 21. （ 2022一模） （ 6 分） 如圖， AB 是 ⊙ O 的弦， OP⊥ OA 交 AB 于點 P，過點 B的直線交 OP 的延長線于點 C，且 CP=CB． （ 1）求證： BC 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 ⊙ O 的半徑為 ， OP=1，求 BC 的長 答案： （（ 6 分）（ 1）證明略（ 3 分 ） （ 2） BC=2（ 3 分） 22. （ 2022中考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測 4 月卷） （本題滿分 14 分 ， 第（ 1）小題 4分，第（ 2）小題 4 分，第（ 3）小題 6 分 ） 如圖，在 △ ABC 中， AB=AC=6， BC=4， ⊙ B 與邊 AB 相交于點 D，與邊 BC 相交于點 E，設(shè) ⊙ B 的半徑為 x． （ 1）當(dāng) ⊙ B 與直線 AC 相切時，求 x 的值； （ 2）設(shè) DC 的長為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出定義域； （ 3）若以 AC 為直徑的 ⊙ P 經(jīng)過點 E，求 ⊙ P 與 ⊙ B 公共弦的長 ． 答案： 解：（ 1）作 AG⊥ BC 于 G， BH⊥ AC 于 H， ∵ AB＝ AC， AG⊥ BC，∴ BG＝ GC＝ 2， ∴ AG＝2 2 2 26 2 4 2AC C G = = 又 AG AC， ∴4 2 4 8 263AG BCAC狀= = = ∴當(dāng)⊙ B 與直線 AC 相切時．8 23x=． （ 2）作 DF⊥ BC 于 F， 則 DF∥ AG，∴BD DFAB AG=， 即6 42x DF=，∴223DF x= 1si n 3BF BD B x=?， ∴ CF＝ 4－13x， 在 Rt△ CFD 中， CD2＝ DF2＋ CF2 C B A D E （第 22 題圖） G A B C H ∴221 2 2( 4 ) ( )33y x x= + ＝2 8 163xx+ （ 0x≤ 4）． （ 3） 解法一： 作 PQ⊥ BC 于 Q． ∵ EF 是⊙ B、⊙ P 的公共弦， ∴ BP⊥ EF，且 EG＝ FG， ∵⊙ P 經(jīng)過點 E，∴ PA＝ PE＝ PC， ∴ AE⊥ BC， 又 AC＝ AB，∴ BE＝ EC＝ 2 ∵ PQ∥ AE，且 P 是 AC 的中點 ∴ PQ＝1 222 AE=， CP＝ 3， ∴ CQ＝ 1， BQ＝ 3， ∴ BP＝17 設(shè) BP 交 EF 于點 H 設(shè) mBH?，由2222 PHPEBHBE ???， 2222 )m17(3m2 ???? 解得4m 3417， ∴ EF=82m 3417? E F B C D A G E F B C D A Q P H 解法二： 作 PQ⊥ BC 于 Q． ∵ EF 是⊙ B、⊙ P 的公共弦， ∴ BP⊥ EF，且 EG＝ FG， ∵⊙ P 經(jīng)過點 E，∴ PA＝ PE＝ PC， ∴ AE⊥ BC， 又 AC＝ AB，∴ BE＝ EC＝ 2 ∵ PQ∥ AE，且 P 是 AC 的中點， ∴ PQ＝1 222 AE=， CP＝ 3， ∴ CQ＝ 1， BQ＝ 3， ∴ BP＝17 而 Rt△ BQP∽ Rt△ BGE， ∴BEPQ BP=，即22 2 17EG =，∴4 34EG ∴公共弦 EF＝83417 當(dāng)點 E 和點 C 重合時，341716?EF 23. （ 2022一模） （本題滿分 8分） 已知：如圖， 在△ ABC 中， AB=AC，以 AC 為直徑的⊙ O 交 AB 于點 M，交 BC 于點 N，連接 AN,過點 C 的切線交 AB 的延長線于點P. （ 1）求證：∠ BCP=∠ BAN。廣東東莞 CE⊥ AB 于 E，過 C 的直徑交 ⊙ O 于點 F，連接 CD、 BF、 EF． （ 1）求證： CD 是 ⊙ O 的切線； （ 2）求： tan∠ BFE 的值． 【考點】 切線的判定；解直角三角形． 【專題】 綜合題． 【分析】 （ 1）要證明 CD 是 ⊙ O 的切線，只要證明 OC⊥ CD 即可； （ 2）過點 E 作 EH⊥ BF 于 H，設(shè) EH=a，利用角之間的關(guān)系可得到 AC∥ BF，從而得到BH= EH=a ， BE=2EH=2a，進而可得到 BF 的長，此時可求得 FH 的長，再根據(jù)正切的公式即可求得 tan∠ BFE 的值． 【解答】 （ 1）證明： ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ACB=90176。 ∴ BC= ， ∵ OB= ， BD= ， ∴ BC=OB=BD， ∴ BC= ， ∴ OC⊥ CD， ∵ OC 是半徑， ∴ CD 是 ⊙ O 的切線； （ 2）解：過點 E 作 EH⊥ BF 于 H，設(shè) EH=a， ∵ CF 是 ⊙ O 直徑， ∴∠ CBF=90176。 ∴ AC∥ BF， ∴∠ ABF=∠ A=30176。=∠ ECB+∠ ABC， ∴∠ ECB=∠ A=30176。 ∠ CBF=90176。廣東 深圳 試判斷直線 MN 是否經(jīng)過所示拋物線的頂點 ？說明理由． 【考點】 圓的綜合題． 【分析】 （ 1）連接 AD，構(gòu)造直角三角形解答，在直角 △ADO 中， OA= ， AD=2 ，根據(jù)勾股定理就可以求出 AD 的長，求出 D 的坐標(biāo)，再利用圓的性質(zhì)得出 B， C 的坐標(biāo)． （ 2）求出 B、 C、 D 的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法設(shè)出一般式解答； （ 3）求出拋物線交點坐標(biāo)，連接 AP，則 △APM 是直角三角形，且 AP 等于圓的半徑，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出 AM 的長，已知 OA，就可以得到 OM，則 M 點的坐標(biāo)可以求出；同理可以在直角 △BNM 中，根據(jù)三角函數(shù)求出 BN 的長，求出 N 的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線 MN 的解析式．將交點坐標(biāo)代入直線解析式驗證即可． 【解答】 解：（ 1）如圖 1，連接 AD，得 OA= ， AD=2 ， ∴OD= = =3， ∴D（ 0，﹣ 3）， ∵點 A（ ， 0）為圓心，以 2 為半徑的圓與 x 軸交于 B、 C 兩點， ∴B（﹣ ， 0）， C（ 3 ， 0）； （ 2） ∵B（﹣ ， 0）， C（ 3 ， 0）， D（ 0，﹣ 3） ∴將 B， C， D 三點代入拋物線 y=ax2+bx+c 得， ， 解得： ∴拋物線為： y=x2﹣ x﹣ 3． （ 3）如圖 2，連接 AP，在 Rt△APM 中， ∠PMA=30176。=5 ∴N（ 0，﹣ 5） 設(shè)直線 MN 的解析式為 y=kx+b，由于點 M（ 5 ， 0）和 N（ 0，﹣ 5）在直線 MN 上， 則 ， 解得 ∴直線 MN 的解析式為 y= x﹣ 5 ∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（ ，﹣ 4）， 當(dāng) x= 時， y=﹣ 4 ∴點（ ，﹣ 4）在直線 y= x﹣ 5 上，即直線 MN 經(jīng)過拋物線的頂點． 【點評】 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和圓以及存在性問題相結(jié)合，培養(yǎng)了同 學(xué)們的實際應(yīng)用能力，注意利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵． 26. （ 2022一模） 如圖，⊙ O 的直徑 AB＝ 6 cm， D 為⊙ O 上一點，∠ BAD＝ 30176。 求： (1)∠ ADC 的度數(shù)； (2)AC 的長。 .且 CD 與⊙ O 相切， ∴∠ ODC＝ 90176。＋ 30176。 . （ 2）∵在 Rt△ ODC 中，∠ C＝ 180176?！?OC＝ 2OD＝ AB＝ 6 cm． 又∵ AO＝ AB21 ＝ 3 cm，∴ AC＝ AO＋ OC＝ 6＋ 3＝ 9（ cm） .