【正文】 由（ 1）知 BC=2， ∴ CM= BC=1， 有勾股定理得： BM= ， ∵ OB=2 ， ∴ OM=2 ﹣ = =CK， ∴ S= PQ CK= 2 = ； 綜合上述： S 與 t 的函數(shù)關系式是： ； （ 3）過 B 作 BB1⊥ OC，垂足為 C1，與 OA 的延長線交于 B1， 作 B1D⊥ OB，垂足為 D，與 OC 交于點 P，此時 BP+PD=B1D（最短）， 由題可得： △ OBB1 為正三角形， 當 P 與 C 重合， D 為 OB 中點， PD=CA=1， BP+PD=3， ①當點 Q 在 OC 上時，由 PQ 與 EB 交于點 O?BPQE 不可能為平行四邊形， ②當點 Q 在直線 ON 上時， A．如圖（ 4）以 BQ 為對角線， ∵ QE∥ PB． QE=PB， E 與 D 重合， ∴ OQ=PD=1， 此時 a+b=5， B．如下圖（ 5）以 BP 為對角線， 。 ∴∠ GPO=30176。 ∴ CH= CP= （ 2﹣ t）， HP= （ 2﹣ t）， ∴ S△ CPQ= CQ PH= t （ 2﹣ t）， 即 S=﹣ t2+ t； ②當 t=2 時， P 在 C 點， Q 在 O 點，此時， △ CPQ 不存在， ∴ S=0， ③如圖（ 2）當 P 在 OC 上， Q 在 ON 上時 2＜ t＜ 4， 過 P 作 PG⊥ ON 于 G，過 C 作 CZ⊥ ON 于 Z， ∵ CO=2， ∠ NOC=60176。=∠ B， ∴ OC=BC， 在 △ AOC 中， AO2+AC2=CO2， ∴ （ ） 2+（ 3﹣ OC） 2=OC2， ∴ OC=2=BC， 答： OC=2， BC=2． （ 2）解： ①如圖（ 1），當 P 在 BC 上， Q 在 OC 上時， 0＜ t＜ 2， 則 CP=2﹣ t， CQ=t， 過 P 作 PH⊥ OC 于 H， ∠ HCP=60176。 OB=2 ， ∴∠ B=30176。OB=2 ， ∠ AOB 的平分線 OC 交 AB 于 C，過 O 點做與 OB 垂直的直線 ON．動點 P 從點B 出發(fā)沿折線 BC﹣ CO 向終點 O 運動，運動時間為 t 秒，同時動點 Q 從點 C 出發(fā)沿線段 CO及直線 ON 運動，當點 P 到達點 O 時 P、 Q 同時停止運動． （ 1）求 OC、 BC 的長； （ 2）當點 P 與點 Q 的速度都是每秒 1 個單位長度的速度運動時，設 △ CPQ 的面積為 S，求S 與 t 的函數(shù)關系式； （ 3）當點 P 運動到 OC 上時，在直線 OB 上有一點 D，當 PD+BP 最小時，在直線 OB 上有一點 E，若以 B、 P、 Q、 E 為頂點的四邊形為平行四邊形，設點 P、 Q 的運動路程分別為 a、b，求 a 與 b 滿足的數(shù)量關系． 【考點】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）求出 ∠ B，根據(jù)直角三角形性質求出 OA，求出 AB，在 △ AOC 中，根據(jù)勾股定理得出關于 OC 的方程，求出 OC 即可； （ 2）有四種情況： ①當 P 在 BC 上， Q 在 OC 上時， t＜ 2，過 P 作 PH⊥ OC 于 H，求出 PH，根據(jù)三角形的面積公式求出即可； ②當 t=2 時， P 在 C 點， Q 在 O 點，此時， △ CPQ 不存在； ③當 P 在 OC 上， Q 在 ON 上時，過 P 作 PG⊥ ON 于 G，過 C 作 CZ⊥ ON 于 Z，求出CZ 和 PG 的值，求出 △ OCQ 和 △ OPQ 的面積，相減即可 ④t=4 時，求出即可； （ 3）過 B 作 BB1⊥ OC，垂足為 C1，與 OA 的延長線交于 B1，作 B1D⊥ OB，垂足為 D，與OC 交于點 P，此時 BP+PD=B1D（最短），于是得到 △ OBB1 為正三角形， ①當點 Q 在 OC上時，由 PQ 與 EB 交于點 O?BPQE 不可能為平行四邊形， ②當點 Q 在直線 ON 上時， A．如圖（ 4）以 BQ 為對角線， B．如下圖（ 5）以 BP 為對角線， C．如下圖（ 6）以 BE 為對角線，根據(jù)平行四邊形的性質得到 a+b=5． 【解答】 （ 1）解： ∵∠ A=90176。 ∴ DE=x，由勾股定理得： CD= x， 即 AP=3x， CD= x， ∴ CD′與 AP′的數(shù)量關系是 CD′= AP′ 【點評】 本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形性質，等腰三角形性質等知識點的綜合應用，主要考查學生的推理和計算能力． 四、（本題共 1 小題，共 12 分） 28．（ 12 分）（ 2022 春 ?金堂縣期末）如圖（ 1），在 Rt△ AOB 中， ∠ A=90176。 在 △ BPO 和 △ PDE 中 ∴△ BPO≌△ PDE（ AAS）； （ 2）證明：由（ 1）可得： ∠ 3=∠ 4， ∵ BP 平分 ∠ ABO， ∴∠ ABP=∠ 3， ∴∠ ABP=∠ 4， 在 △ ABP 和 △ CPD 中 ∴△ ABP≌△ CPD（ AAS）， ∴ AP=CD． （ 3）解： CD′與 AP′的數(shù)量關系是 CD′= AP′． 理由是：設 OP=PC=x，則 AO=OC=2x=BO， 則 AP=2x+x=3x， 由 △ OBP≌△ EPD，得 BO=PE， PE=2x， CE=2x﹣ x=x， ∵∠ E=90176。 ∴∠ 1=∠ C=45176。 ∴∠ C=45176。 BO⊥ AC 于點 O，點 P、 D 分別在 AO和 BC 上， PB=PD， DE⊥ AC 于點 E，求證： △ BPO≌△ PDE． （ 1）理清思路，完成解答（ 2）本題證明的思路可用下列框圖表示： 根據(jù)上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程． （ 2）特殊位置，證明結論 若 PB 平分 ∠ ABO，其余條件不變．求證： AP=CD． （ 3）知識遷移，探索新知 若點 P 是一個動點，點 P 運動到 OC 的中點 P′時，滿足題中條件的點 D 也隨之在直線 BC上運動到點 D′，請直接寫出 CD′與 AP′的數(shù)量關系．（不必寫解答過程） 【考點】 全等三角形的判定與性質． 【分析】 （ 1）求出 ∠ 3=∠ 4， ∠ BOP=∠ PED=90176。 ∵ A′H⊥ HA， ∴∠ AA′H=30176。 AB=BC=2， AE=DE=4，在 BC、 DE 上分別找一點 M、 N，則 △ AMN 的最小周長為 4 ． 【考點】 軸對稱 最短路線問題． 【分析】 根據(jù)要使 △ AMN 的周長最小，利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出 A 關于 BC 和 ED 的對稱點 A′， A″，即可得出最短路線，再利用勾股定理，求出即可． 【解答】 解：作 A 關于 BC 和 ED 的對稱點 A′， A″，連接 A′A″，交 BC 于 M，交 ED 于 N，則 A′A″即為 △ AMN 的周長最小值． 過 A′作 EA 延長線的垂線，垂足為 H， ∵ AB=BC=2， AE=DE=4， ∴ AA′=2BA=4， AA″=2AE=8， 則 Rt△ A′HA 中， ∵∠ EAB=120176。 ∴∠ ADC=∠ EAF， ∴∠ AFB=∠ EAF， ∴ BF∥ AE， 又 ∵ BC∥ EF， ∴ 四邊形 BCEF 是平行四邊形． 【點評】 本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質以及平行四邊形的判定，熟練掌握性質、定理是解題的關鍵． 附加題 一．填空題 21．已知 a2+3ab+b2=0（ a≠ 0， b≠ 0），則代數(shù)式 + 的值等于 ﹣ 3 ． 【考點】 分式的化簡求值． 【分析】 將 a2+3ab+b2=0 轉化為 a2+b2=﹣ 3ab，原式化為 = ，約分即可． 【解答】 解： ∵ a2+3ab+b2=0， ∴ a2+b2=﹣ 3ab， ∴ 原式 = = =﹣ 3． 故答案為：﹣ 3． 【點評】 本題考查了分式的化簡求值，通分后整體代入是解題的關鍵． 22．若不等式組 恰有兩個整數(shù)解，則 a 的取值范是 ﹣ 2＜ a≤ ﹣ 1 ． 【考點】 一元一次不等式組的整數(shù)解． 【分析】 此題可先根據(jù)一元一次不等式組解出 x 的取值，根據(jù) x 是正整數(shù)解得出 a 的取值． 【解答】 解： ， 解 ①得： x≥ a， 解 ②得： x＜ 1， 則不等式組的解集是： a≤ x＜ 1， 恰有兩個整數(shù)解，則整數(shù)解是 0，﹣ 1． 則﹣ 2＜ a≤ ﹣ 1． 故答案是：﹣ 2＜ a≤ ﹣ 1． 【點評】 考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了． 23．若關于 x 的方程 + =2 的解為正數(shù)，則 m 的取值范圍是 m＜ 6 且 m≠ 0 ． 【考點】 分式方程的解． 【分析】 首先解方程求得方程的解，根據(jù)方程的解是正數(shù)，即可得到一個關于 m 的不等式，從而求得 m 的范圍． 【解答】 解： ∵ 關于 x 的方程 + =2 有解， ∴ x﹣ 2≠ 0， ∴ x≠ 2， 去分母得： 2﹣ x﹣ m=2（ x﹣﹣ 2）， 即 x=2﹣ ， 根據(jù)題意得： 2﹣ ＞ 0 且 2﹣ ≠ 2， 解得： m＜ 6 且 m≠ 0． 故答案是： m＜ 6 且 m≠ 0． 【點評】 本題主要考查了分式方程的解的符號的確定，正確求解分式方程是解題的關鍵． 24．如圖，在五邊形 ABCDE 中，已知 ∠ BAE=120176。 又 ∵∠ FAB=∠ FAD﹣ ∠ BAD， ∠ DAC=∠ BAC﹣ ∠ BAD， ∴∠ FAB=∠ DAC， 在 △ AFB 和 △ ADC 中， ， ∴△ AFB≌△ ADC（ SAS）； ∴∠ AFB=∠ ADC． 又 ∵∠ ADC+∠ DAC=60176。． 又 ∵∠ BAC=∠ C=60176?？傻?∠ FAB=∠ DAC，即可證明 △ AFB≌△ ADC；根據(jù) △ AFB≌△ ADC 可得 ∠ ABF=∠ ADC，進而求得 ∠ AFB=∠ EAF，求得 BF∥ AE，又 BC∥ EF，從而證得四邊形 BCEF 是平行四邊形． 【解答】 證明：（ 1） ∵△ ABC 和 △ ADF 都是等邊三角形， ∴ AF=AD， AB=AC， ∠ FAD=∠ BAC=60176。 ∴ DF=2DE=4． 【點評】 本題考查了等邊三角形的判定與性質，以及直角三角形的性質， 30 度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半． 19．某校為美化校園，計劃對面積為 1800m2 的區(qū)域進行綠化，安排甲、乙兩個工程隊完成．已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的 2 倍，并且在獨立完成面積為400m2 區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用 4 天． （ 1）求甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是多少 m2？ （ 2）若學校每天需付給甲隊的綠化費用為 萬元，乙隊為 萬元，要使這次的綠化總費用不超過 8 萬元，至少應安排甲隊工作多少天？ 【考點】 分式方程的應用；一元一次不等式的應用． 【分析】 （ 1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是 x（ m2），根據(jù)在獨立完成面積為 400m2區(qū)域的綠化時， 甲隊比乙隊少用 4 天，列出方程，求解即可； （ 2）設應安排甲隊工作 y 天，根據(jù)這次的綠化總費用不超過 8 萬元，列出不等式，求解即可． 【解答】 解：（ 1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是 x（ m2），根據(jù)題意得： ﹣ =4， 解得： x=50， 經(jīng)檢驗 x=50 是原方程的解， 則甲工程隊每天能完成綠化的面積是 50 2=100（ m2）， 答：甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是 100m 50m2； （ 2）設應安排甲隊工作 y 天，根據(jù)題意得： + ≤ 8， 解得： y≥ 10， 答：至少應安排甲隊工作 10 天． 【點評】 此題考查了分式方程的應用，關鍵是分析題意，找到合適的數(shù)量關系列出方程和不等式，解分式方程時要注意檢驗． 20．（ 10 分）（ 2022 春 ?商河縣期末）已知 △ ABC 是等邊三角形， D 是 BC 邊上的一個動點（點 D 不與 B， C 重合） △ ADF 是以 AD 為邊的等邊三角形，過點 F 作 BC 的平行線交射線 AC 于點 E，連接 BF． （ 1）如圖 1，求證： △ AFB≌△ ADC； （ 2）請判斷圖 1 中四邊形 BCEF 的形狀，并說明理由； （ 3）若 D 點在 BC 邊的延長線上，如圖 2，其它條件不變，請問（ 2）中結論還成立嗎？如果成立，請說明理由． 【考點】 全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定． 【分析】 （ 1）利用有兩條邊對應相等并且夾角相等的兩個三角形全等即可證明 △ AFB≌△ADC； （ 2）四邊形 BCEF 是平行四邊形，因為 △ AFB≌△ ADC，所以可得 ∠ ABF=∠ C=60176。 ∴△ EDC 是等邊三角形． ∴ ED=DC=2， ∵∠ DEF=90176。；