【正文】 設(shè) ? ? ? ? .),(2n*2112 的上漸進(jìn)值項和，求數(shù)列的前為數(shù)列 nnnnnnn TntTNnSSSSt ???? ???? 。 解：設(shè) ? ?1112 ???? ??? nnnn aaaa ??? ，即 ? ? ,112 ??? ?? nnn aaa ???? 則 ? ? ,112 ??? ??? nnn aaa ???? 與 112 23 ??? ?? nnn aaa 比較后的得 2,3 ???? ???? . ? 1,2 ??? ?? 或 2,1 ??? ?? . 當(dāng) 2,1 ??? ?? 時， ? ?1112 2 ???? ??? nnnn aaaa ， ? ?nn aa ?1 是以 212 ??aa 為首項， 2 為公比的 等比數(shù)列。 解：由 ,21?a121 ??? n nn a aa可知，對 Nn? ， 0?na . ? nn aa 212111 ???，即 ???????? ????1121111 nn aa. 又 ? ,11?a ?21111 ???a. ?數(shù)列?????? ?11na是首項為 21? ，公比為 21 的等比數(shù)列 . ? nnna ????????????????? ? 21212111 1. ? 122??nnna 3. 構(gòu)造數(shù)列 ? ?nn aa ???1 ，使其為等比數(shù)列。 ? ,231 ?? nan 231?? nan . 2. 構(gòu)造數(shù)列?????? ??na1 ，使其為等比數(shù)列。 （形式： 11 ???nnn paaa ） 例：已知數(shù)列 ??na 滿足 ,11?a131 ??? n nn aaa，求證：??????na1 是等差數(shù)列，并求 ??na的通向公式。 評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將 1 24 na? 的換元為 nb ，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化1 1322nnbb? ??形式，從而可知數(shù)列 { 3}nb? 為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 { 3}nb? 的通項公式，最后再求出數(shù)列 {}na 的通項公式。 十 、換元法 例 16 已知數(shù)列 {}na 滿足111 (1 4 1 2 4 ) 116n n na a a a? ? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項公式。 根據(jù)（ 1），（ 2）可知，等式對任何 *nN? 都成立。 （ 1）當(dāng) 1n? 時， 21 2( 2 1 1) 1 8( 2 1 1) 9a ? ? ?????，所以等式成立。 九 、數(shù)學(xué)歸 納法 例 15 已知數(shù)列 {}na 滿足11228 ( 1 ) 8( 2 1 ) ( 2 3 ) 9nn na a ann? ?? ? ??? ，求數(shù)列 {}na 的通項公式。 評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。 八 、迭代法 例 14 已知數(shù)列 {}na 滿足 3 ( 1 ) 2115nnnna a a?? ??， ，求數(shù)列 {}na 的通項公式。在 51 23nnnaa? ? ? ? 式兩邊取常用對數(shù)得 1lg 5 lg lg 3 lg 2nna a n? ? ? ? ⑩ 設(shè) 1l g ( 1 ) 5 ( l g )nna x n y a x n y? ? ? ? ? ? ? ○ 11 將⑩式代入 ○ 11 式，得 5 l g l g 3 l g 2 ( 1 ) 5 ( l g )nna n x n y a x n y? ? ? ? ? ? ? ?，兩邊消去5lgna 并整理，得 ( l g 3 ) l g 2 5 5x n x y x n y? ? ? ? ? ?，則 lg 3 5lg 2 5xxx y y???? ? ? ?? ，故lg 34lg 3 lg 216 4xy? ????? ???? 代入 ○ 11 式，得1 l g 3 l g 3 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2l g ( 1 ) 5 ( l g )4 1 6 4 4 1 6 4nna n a n? ? ? ? ? ? ? ? ? ○12 由1 l g 3 l g 3 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2l g 1 l g 7 1 04 1 6 4 4 1 6 4a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?及 ○12 式， 得 lg 3 lg 3 lg 2lg 04 1 6 4nan? ? ? ?， 則 1l g 3 l g 3 l g 2l g ( 1 )4 16 4 5l g 3 l g 3 l g 2lg 4 16 4nnanan? ? ? ? ? ?? ? ?， 所以數(shù)列 lg 3 lg 3 lg 2{l g }4 1 6 4nan? ? ?是以 lg 3 lg 3 lg 2lg 7 4 1 6 4???為首項，以 5 為公比的等比數(shù)列，則 1l g 3 l g 3 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2l g ( l g 7 ) 54 1 6 4 4 1 6 4 nnan ?? ? ? ? ? ? ?，因此111111 1 116 164 4 4 4111 1 1116 164 4 4 4111 1 1116 164 4 4 45551 4l g 3 l g 3 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2l g ( l g 7 ) 54 16 4 4 6 4( l g 7 l g 3 l g 3 l g 2 ) 5 l g 3 l g 3 l g 2[ l g( 7 3 3 2 ) ] 5 l g( 3 3 2 )l g( 7 3 3 2 ) 5 l g( 3 3 2 )l g( 7 3 3nnnnnnnnnnnn?????????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?111 5116 45 4 1 5151 16 42)l g( 7 3 2 )nnnnn????? ???? ? ? 則 11 5 4 1 515 16 47 3 2 nn nnna ?? ?? ?? ? ?。 七 、對數(shù)變換法 例 13 已知數(shù)列 {}na 滿足 51 23nnnaa? ? ? ? ， 1 7a? ，求數(shù)列 {}na 的通項公式。 解：設(shè) 221 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( )nna x n y n z a x n y n z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑧ 將 21 2 3 4 5nna a n n? ? ? ? ?代入⑧式，得 2 2 22 3 4 5 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( )a n n x n y n z a x n y n z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，則 222 ( 3 ) ( 2 4) ( 5 ) 2 2 2 2nna x n x y n x y z a x n y n z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 等式兩邊消去 2na ，得 ( 3 ) ( 2 4 ) ( 5 ) 2 2 2x n x y n x y z x n y n z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解方程組 322 4 252xxx y yx y z z????? ? ???? ? ? ??，則 31018xyz????????，代入⑧式，得 221 3 ( 1 ) 10 ( 1 ) 18 2( 3 10 18 )nna n n a n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑨ 由 21 3 1 1 0 1 1 8 1 3 1 3 2 0a ? ? ? ? ? ? ? ? ?及⑨式，得 23 10 18 0na n n? ? ? 則 2123 ( 1 ) 1 0 ( 1 ) 1 8 23 1 0 1 8n na n na n n? ? ? ? ? ? ?? ? ?，故數(shù)列 2{ 3 10 18 }na n n? ? ?為以21 3 1 10 1 18 1 31 32a ? ? ? ? ? ? ? ?為首項，以 2 為公比的等比數(shù)列，因此213 10 18 32 2 nna n n ?? ? ? ? ?，則 422 3 10 18nna n n?? ? ? ?。 評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 3 5 2 4nnnaa? ? ? ? ?轉(zhuǎn)化為11 5 2 2 3 ( 5 2 2)nnnnaa?? ? ? ? ? ? ? ?，從而可知數(shù)列 { 5 2 2}nna ? ? ? 是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 { 5 2 2}nna ? ? ? 的通項公式，最后再求數(shù)列 {}na 的通項公式。 解：設(shè) 11 2 3 ( 2 )nnnna x y a x y?? ? ? ? ? ? ? ? ⑥ 將 1 3 5 2 4nnnaa? ? ? ? ?代入⑥式，得 13 5 2 4 2 3 ( 2 )n n na x y a x y?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 整理得 ( 5 2 ) 2 4 3 2 3nnx y x y? ? ? ? ? ? ?。 評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 1 2 3 5nnnaa? ? ? ?轉(zhuǎn)化為 11 5 2( 5 )nnnnaa?? ? ? ?，從而可知數(shù)列 { 5}nna ? 是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 { 5}nna ? 的通項公式，最后再求出數(shù)列{}na 的通項公式。 解： （ 1） 33a13a5a 321 ??? ， （ 2） n1nnn1nn 2)1a(21a12a2a ???????? ?? 1n2 1a12 1a2 1a nn1n1nnn ????????? ?? ∴ 12)1n(a nn ??? 六 、待定系數(shù)法 例 10 已知數(shù)列 {}na 滿足 112 3 5 6nnna a a? ? ? ?