[理學(xué)]經(jīng)典控制理論——第四章(參考版)
2025-01-01 12:14本頁面
【正文】 2, … j=1 i=1 m n 相角條件 : 2kπ 零度 繪制 零度 根軌跡的基本法則 1 根軌跡的 條數(shù) 就是特征根的 個(gè)數(shù) 不變！ 不變！ 2 根軌跡對稱于 軸 實(shí) 3 根軌跡起始于 ,終止于 開環(huán)極點(diǎn) 開環(huán)零點(diǎn) ( ) ∞ ( ) ∞ j=1 m n = ∏ ∏ ︱ ss zj pi ︱ ︱︱ i=1 1 K* 不變！ 4 ∣ nm∣ 條漸近線對稱于實(shí)軸 ,起點(diǎn) ∑pi∑zj ∣ nm∣ i=1 j=1 n m σa = 不變！ 漸近線方向 : φa= (2k+1)π nm k= 0,1,2, … 2kπ 5 實(shí)軸上某段 右 側(cè)零、極點(diǎn) 個(gè)數(shù)之和 為 奇 數(shù) ，則該段 是 根軌跡 偶 6 根軌跡的分離點(diǎn) j=1 m ∑ i=1 n ∑ dpi 1 1 dzj = k= 0,1,2, … λL= (2k+1)π L , 不變！ 不變！ 7 與虛軸的交點(diǎn) 8 起始角與終止角 變了 。 （ 2）根軌跡的漸近線（ nm)=2條，漸近線夾角 ooooop tgar ctgar c )(45)9021(11 ?????????1? 0 ??j2?3?jj?oooak 180,0131802 ?????（ 3）確定出射角 （ 4）確定分離點(diǎn) ))((111131212 ???????????????ddddjdjdddop 2 ??（ 5）確定臨界開環(huán)增益，顯然根軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)對應(yīng)的開環(huán)增益為 3232)2(0)3(0)1(0)1(0*??????????????jjK c13/3,3/23 2 ** ????? cKKKK零度 根軌跡 特征方程為以下形式時(shí)， 繪制 零度 根軌跡 請注意： G(s)H(s)的分子分母均 首一 K*:0 ~ + ?0)ps()zs(*Kn1iim1jj?? ?? ???1– K*:0 ~ – ?0)ps()zs(*Kn1iim1jj?? ?? ???1+ 零度 根軌跡的模值條件與相角條件 K* = m n j=1 ∏ ︱ s zj ︱ ∏ s pi ︱ ︱i=1 模值條件 : ∑∠ (szj) － ∑∠ (spj) = (2k+1) π k=0, 177。設(shè)具有正反饋回路系統(tǒng)的內(nèi)回路傳遞函數(shù)分別為 1)(,)22)(3()2()(2*?????? sHssssKsG試?yán)L制該回路的根軌跡圖。 這個(gè)結(jié)論可以用相角條件證明。所以零度根軌跡的繪制的規(guī)則只要考慮相角條件所引起的某些規(guī)則的修改。 具有正反饋內(nèi)回路系統(tǒng)如圖所示，外回路是采用負(fù)反饋加以穩(wěn)定，為了分析整個(gè)系統(tǒng)的性能，通常首先要確定內(nèi)回路的零、極點(diǎn)，這就相當(dāng)于繪制具有正反饋系統(tǒng)的根軌跡。 零度根軌跡 非最小相位系統(tǒng)： s右半平面具有開環(huán)零、極點(diǎn)的系統(tǒng)。 附加開環(huán)零點(diǎn)的目的，除了改善系統(tǒng)穩(wěn)定性之外，還可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 如果設(shè)計(jì)得當(dāng) ， 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)均可得到顯著改善 。 12 pzp ??zpp ?? 12 ?z?z 從以上三種情況來看 ， 一般第二種情況比較理想 ， 這時(shí)系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn) ， 其瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)也比較滿意 。 3. ， 設(shè) 相應(yīng)系統(tǒng)根軌跡如圖 d）所示 。閉環(huán)系統(tǒng)有三個(gè)極點(diǎn) ， 如設(shè)計(jì)得合適 ， 系統(tǒng)將有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)和一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn) ， 并且共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)距虛軸較近 ， 即為共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn) 。 從根軌跡形狀變化看，系統(tǒng)性能的改善不顯著，當(dāng)系統(tǒng)增益超過臨界值時(shí)，系統(tǒng)仍將變得不穩(wěn)定，但臨界開環(huán)放大系數(shù)和臨界頻率都有所提高。 1. ，設(shè) 則相應(yīng)系統(tǒng)的根軌跡如圖 b) 所示。 ???? aa TT 00aT ?1 2 30 1z z z? ? ? ?0??j?K1? 21? 0??jK? 增加開環(huán)零點(diǎn) 將引起系統(tǒng)根軌跡形狀的變化 ， 因而影響了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其瞬態(tài)響應(yīng)性能 ， 下面以三階系統(tǒng)為例來說明 。 例：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 () ( 1 ) ( 1 )aKGss s T s? ??aT解：閉環(huán)特征方程 ? ?22211( 1 ) ( 1 ) 0 [ ( 1 ) ] ( 1 ) 0( 1 ) ( 1 )1 0 ( )( 1 ) ( 1 )aaaas s T s K s s K T s sT s s T s sG s H ss s K s s K? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?要繪制參數(shù)根軌跡，首先要求出等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) 0)1(1 ??? ss KKp ???? 41212,1等效開環(huán)極點(diǎn) 等效開環(huán)零點(diǎn) 注：若分母多項(xiàng)式為高次時(shí)，無法解析求解等效開環(huán)極點(diǎn)，則運(yùn)用根軌跡法求解。試分析時(shí)間常數(shù) 對系統(tǒng)性能的影響。包括參數(shù)根軌跡，開環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)的根軌跡，具有正反饋內(nèi)環(huán)的零度根軌跡等。它的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )gk KKG s as s T s s s s a?? ? ? ? ? ， 當(dāng) =4 時(shí)三階系統(tǒng)的如圖根軌跡 二階系統(tǒng)中增加一個(gè)極點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下所示，它的開環(huán)傳遞函數(shù)為 開環(huán)具有零點(diǎn)的三階系統(tǒng) 1221()( 1 )()( 1 ) ( )gddiK s zKsGsT s Ts s s p????????開環(huán)具有零點(diǎn)的三階系統(tǒng) 的根軌跡如圖 具有復(fù)數(shù)極點(diǎn)的四階系統(tǒng) 結(jié)構(gòu)圖如下所示。 根據(jù)以上分析計(jì)算結(jié)果 ，可作二階系統(tǒng)的根軌跡如圖所示 。 （ 3） 由上節(jié)法則可知 ， 在 0和 間必有根軌跡 。 它的開環(huán)傳遞函數(shù)為
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