【正文】 ?作業(yè) ：習(xí)題 (A) 第 1(1), 5, 6題。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 即 ).( ,43214021為任意常數(shù)kkx???????????????????????????????167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?例 設(shè) 4階方陣 A=(?1,?2,?3,?4), 其中 ?2,?3,?4線 性無關(guān)， ?1=2?24?4，如果 ?=?1+2?2+3?3+4?4， 求線性方程組 Ax=?的通解 . ?解 由 ?2,?3,?4線性無關(guān)， ?1=2?24?4知 R(A)=3, 方程組 Ax=0的基礎(chǔ)解系含 4R(A)=1個向量， 由 ?12?2+4?4=0,得 ,04021),(4321???????????????????? ,04021????????????????A即 ,4021?????????????????令167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?例 設(shè) ?1, ?2, ?3是 4元線性方程組 Ax=b的解 , 且 ?解 方程組 Ax=0的基礎(chǔ)解系含 4R(A)=1個向量， 由性質(zhì) 1,3知 Ax=0有解向量 )()( 3121 ????? ????,3)( ?AR .的通解求 bAx ?)(2 321 ?? ??????????????????2002 ,4002 ,3002321??????????????????????????????? ???的一個基礎(chǔ)解系，為即 0?Ax?).( 1 為任意常數(shù)的通解為故 kkxbAx ?? ???167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?原方程組可化為 ?注 通解的表達(dá)式不惟一。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ，sskkk ????? ???? ?2211002211 ????? ????? sskkk ?即167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?定理 ?證 由性質(zhì) 1,2,4知 ,0 的解是非齊次線性方程組設(shè) bAxx ?? ?的通解為則線性方程組 bAx ?的一個基組是對應(yīng)的齊次線性方程 0, 21 ?Axs??? ?,02211 ???? ????? sskkkx ?., 21 為任意常數(shù)其中 skkk ?02211 ???? ????? sskkkx ?的解。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ? 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?性質(zhì) 3 ?證 , 21 的解是線性方程組若 bAxxx ??? ??.021 的解是對應(yīng)齊次線性方程組則 ??? Axx ??, 21 bAbA ?? ??則,0)( 2121 ???? ???? AAA有.021 的解是方程組故 ??? Axx ??, 21 的解是方程組若 bAxxx ??? ??167。 167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?原方程組可化為 ????????????,0 21 ,021 32431xxxxx, ,2 2413 kxkx ??令?????????????? ????????????????211214321 2 kkkkkxxxx則 ,1001021121?????????????????????????????? kk ,1001 ,021121?????????????????????????????? ??., 21 系為方程組的一個基礎(chǔ)解??. , 21 為任意常數(shù)kk167。 ?(證明 P102～ P104，課外閱讀 ) 167。 ,0, s21 的一個基礎(chǔ)解系是若 ?Ax??? ? 的則 0?Axs2211 ??? scccx ???? ?通解為),( 21 為任意常數(shù)sccc ?亦稱 結(jié)構(gòu)解 167。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?定義 ?注 ⑴ 只有零解的齊次線性方程組無基礎(chǔ)解系； ⑵ Ax=0的基礎(chǔ)解系是 Ax=0的解向量組的一個極大 線性無關(guān)組。 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ? 線性方程組解的結(jié)構(gòu) ?性質(zhì) 1 ?證 ,0, 21 的解是齊次線性方程組若 ??? Axxx ??.021 的解也是方程組則 ??? Axx ??,0,0 21 ?? ?? AA則,0)( 2121 ???? ???? AAA有.021 的解也是方程組故 ??? Axx ??,0, 21 的解是方程組若 ??? Axxx ??167。 167。 ?選做 ：習(xí)題 (A) 第 5,8題。 ? 向量組 的極大線性無關(guān)組與向量組的秩，會用極大線性無關(guān)組線性表示 向量組 的其它向量， 會討論證明向量組的秩的問題。 3 向量組的秩 矩陣的行秩與列秩 ))(()( TABRABR ?又),()( ARAABABR ??? 的列秩的列秩故)( TT ABR? )( TBR? )( BR?) } .( ),(m i n {)( BRARABR ?故167。 3 向量組的秩 矩陣的行秩與列秩 ?定理 設(shè) A,B均為 m n矩陣，則 R(A+B)≤R(A)+R(B) ?證 ),(21 nA ??? ??設(shè) ),( 21 nB ??? ??, 2121 的一個極大無關(guān)組是 njjj , β,ββr ?? ???., 2121 的一個極大無關(guān)組是 niii ,s ?????? ??),( 2211 nnBA ?????? ????? ?則, 2121 線性表示可由 rs jjjiiijj ???????? ???其任意列向量),()( 2121 rs jjjiiiRBA ?????? ???? 的列秩故).()()( BRARrsBAR ?????即167。 3 向量組的秩 矩陣的行秩與列秩 ?例 4 設(shè)矩陣 求 A的行秩和 A的行向量組 的極大無關(guān)組，并把不 屬于極大無關(guān)組的行向量用極大無關(guān)組線性表示 . ?解 ??????????????443112112022A??????????????????412420311113TA??????????????????????210420840311214212 23rrrrrr42242414 24 rrrrrrrr???????167。 ?解 ?????????????????????97963211322111241211A??????????????????????? ????????3433063550022204121141312332 rrrrrrA ??? ?? ??????42321223521r rrrrrr167。 3 向量組的秩 矩陣的行秩與列秩 ?若 B為行階梯形矩陣，則 ⑴ ⑵ ⑶ 的非零行的個數(shù)，BBR ?)(rjjjrrB ??? , 21 ?個列在的個非零行的首非零元所的.21 的一個極大無關(guān)組是 n, β, ββ ???????????????????????00000000010001000121????????????rkkk?),( 21 jjjj r ???? ?若rjrjjj kkk ???? ???? ?21 21則167。 ?由定理 167。 ?這里 A的行秩 =A的列秩 =R(A)=2, ???????????000210111A,021,011,001321????????????????????????????????? ???167。 ?例 設(shè)矩陣 ?A的行向量組 ?1=(1,1,1)， ?2=(0,1,2)， ?3=(0,0,0)， 顯然 ?1,?2線性無關(guān)， ?1,?2,?3是線性相關(guān)， 即 ?1,?2是 ?1,?2,?3是的極大無關(guān)組， 故 稱為 A的行秩為 2； ???????????000210111A167。 3 向量組的秩 矩陣的行秩與列秩 , 212121 的極大無關(guān)組為 tjjjjjj rr ????????? ???, 2121 表示可由所以 rjjjt ?????? ??, 2121 表示可由所以 st ?????? ??, 2121 表示可由又 ts ?????? ??., 2121 等價與所以 ts ?????? ??,),(),( 212121 rRR ttjjj r ?? ????????? ???167。 ?證 ：設(shè) ?1, ?2,… ,?s)與 ?1, ?2,… ,?t 等價， 則 ?1, ?2,… ,?s可由 ?1, ?2,… ,?t線性表示， 且 ?1, ?2,… ,?t可由 ?1, ?2,… ,?s線性表示， 所以 R(?1, ?2,… ,?s)≤R(?1, ?2,… ,?t )， 且 R(?1, ?2,… ,?t )≤R(?1, ?2,… ,?s )， 故 R(?1, ?2,… ,?s)=R(?1, ?2,… ,?t ). 167。 3 向量組的秩 矩陣的行秩與列秩 ?定理 若 向量組 ?1, ?2,… ,?s可由向量組 ?1, ?2, … ,?t 線性表示，則 R(?1,