1673向量組的線性相關性(參考版)
2024-10-03 19:09本頁面
【正文】 1定理 1, 它有非零解 . ?2 , … , ?s 的系數全為零，那就證明了 ?1,?2, …, ?r 如果我們能找到不全為零的數 x1 , x2 , … , xr , 使 ?1 , 首頁 上頁 下頁 返回 結束 29 推論 1 如果向量組 ?1 , ?2 , … , ?r 可以經 ?1 , ?2 , … , ?s 線性表出，且 ?1 , ?2 , … , ?r 線性無關， 那么 r ? s . 直接應用定理 2，即得： 推論 2 任意 n + 1 個 n 維向量必線性相關 . 證 因為每個 n 維向量都可以被 n 維單位向量 ?1 , ?2 , … , ?n , 線性表出，且 n +1 n , 所以 必線性 相關 . 推論 3 兩個線性無關的等價的向量組 , 必含有 相同個數的向量 . 首頁 上頁 下頁 返回 結束 30 定理 2 的 幾何意義 : 在三維向量的情形，如果 s = 2, 那么可以由向 量 ?1, ?2 線性表出的向量都在 ?1, ?2 所在的平面上 , 因而這些向量是共面的，也就是，當 r 2 時，這 些向量線性相關 . 兩個向量組 ?1, ?2 與 ?1, ?2 等價 就意味著它們在同一平面上 . 12, , ,2rr? ? ??共 面 ，當 時 , 它 們 線 性 相 關O1?2?1?2?r?首頁 上頁 下頁 返回 結束 31 五、極大線性無關組 定義 13 一個向量組的一個部分組稱為一個 極 大線性無關組 , 如果這個部分組本身是線性 無關的 , 并且從這向量組中任意添一個向量 (如果還有的話 ) 所得的部分向量組都線性相關 . 等價的定義是 : 12121 2 1212, , , , , ( 1 ) , , , 。如果是錯的 ,請舉出反例 . 121 1 2 2121. 0 ,0, , ,rrrrk k kk k k? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?如 果 當 時那 么 線 性 無 關 . 1 2 1 12 1 2 12 . , , , , , , , , , , , .rrr r r? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???如 果 線 性 無 關 而 不 能 由線 性 表 出 那 么 線 性 無 關 123 . , , , ,.r? ? ?如 果 線 性 無 關 那 么 其 中 每 一 個向 量 都 不 是 其 余 向 量 的 線 性 組 合首頁 上頁 下頁 返回 結束 23 例 5 設向量組 ?i = ( ai1 , ai2 , … , ain ) , i = 1, 2, … , s 線性無關 , 那么在每一個向量上添一個分量所得到 的 n + 1 維的向量組 ?i = ( ai1 , ai2 , … , ain , ai, n+1) , i = 1, 2, … , s 也線性無關 . ?i = ( ai1 , ai2 , … , ain ) , i = 1, 2, … , s 證 因為向量組 線性無關，所以它對應的線性方程組 首頁 上頁 下頁 返回 結束 24 11 1 21 2 112 1 22 2 21 1 2 20,0,( 1 )0,ssssn n s n sa x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??只有零解 . 要證向量組 ?i = ( ai1 , ai2 , … , ain , ai, n+1) , i = 1, 2, … , s 線性無關，只需證明它對應的線性方程組 首頁 上頁 下頁 返回 結束 25 只有零解 . 因為方程組 (2) 中的前 s 個方程即為方程組 (1) , 所以方程組 (2) 的解全是方程組 (1) 的解， (1) 只有零解 , 因而方程組 (2) 也只有零解 . 注 :這個結論可以推廣到添幾個分量的情形 . 但方程組 11 1 21 2 112 1 22 2 21 1 2 21 , 1 1 2 , 1 2 , 10,0,( 2 )0,0,ssssn n s n sn n s n sa x a x a xa x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ???首頁 上頁 下頁 返回 結束 26 四、向量組的性質 利用 167。( 1 , 0 , 2 ) , ( 0 , 1 , 1 ) .??????? ? ?則向量組 ?1 , ?2 與向量組 ?1 , ?2 等價 . 事實上 , 有 首頁 上頁 下頁 返回 結束 7 1 1 2 2 2 11 1 2 2 1 22 , ,2? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?等價向量組有以下 基本性質 : 1) 反身性 ：每一個向量組都與它自身等價 . 2) 對稱性 ：如果向
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