【正文】 由于我的學(xué)術(shù)水平有限，所寫論文難免有不足之處，懇請各位老師和學(xué)友批評和指正！ 。本文引用了數(shù)位學(xué)者的 研究文獻(xiàn)，如果沒有各位學(xué)者的研究成果的幫助和啟發(fā)，我將很難完成本篇論文的寫作。另外，在校圖書館查找資料的時(shí)候，圖書館的老師也給我提供了很多方面的支持與幫助。 .. 16 參考文獻(xiàn) [1] 張賢科 , 許甫華 . 高等代數(shù) [M]. 清華大學(xué)出版社 , 1998. [2] 盧剛 , 馮翠蓮 . 線性代數(shù) [M] .北京大學(xué)出版社 , 2021, 6. [3] 宴林 . 范德蒙行列式的應(yīng)用 [J] .文山師范高等專科學(xué)報(bào) , 2021, 13(2):5557. [4] 劉建中 , 范德蒙行列式的一個(gè)性質(zhì)的證明及其應(yīng)用 [J]. 河北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然 科學(xué)版） , 2021,20(1):8485. [5] 裴禮文 . 數(shù)學(xué)分析中的經(jīng) 典問題與方法北京 [M]. 高等教育出版社 , 1998, 1728. [6] 毛綱源 . 線性代數(shù)解題方法技巧歸納 [M]. 華中科技大學(xué)出版社 , 2021. [7] 李建武 . 楊輝三角與數(shù)列拆項(xiàng) [J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考 , 2021, (11). [8] 毛綱源 . 線性代數(shù)解題方法技巧歸納 [M]. 武漢 : 華中科技大學(xué)出版社 , . [9] 張?jiān)诿?. 幾個(gè)涉及指數(shù)函數(shù)的不等式 [J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考書， 2021， (17) . [10] 龐金彪 ， 鹿琳 . 范德蒙行列式的推廣及其在教學(xué) 中的應(yīng)用 [J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)， 1992， (11) :39~42. .. 17 致 謝 歷時(shí)將近兩個(gè)月的時(shí)間終于將這篇論文寫完，在論文的寫作過程中遇到了無數(shù)的困難和障礙，都在同學(xué)和老師的幫助下度過了。最后介紹了范德蒙行列式的兩種推廣形式，讓我們進(jìn)一步了解范德蒙行列式，方便我們將行列式化為標(biāo)準(zhǔn)的范德蒙行列式。 本文先介紹了行列式的性質(zhì)及其在計(jì)算中的應(yīng)用，進(jìn)而給出了范德蒙行列式的證明過程、 性質(zhì)、以及在行列式計(jì)算的應(yīng)用，比如在我們運(yùn)用范德蒙行列式進(jìn)行計(jì)算或者變換時(shí)，有些行列式經(jīng)過簡單變形后便可應(yīng)用范德蒙行列式，但是有些行列式則需要經(jīng)過增加一行一列才可以應(yīng)用范德蒙行列式的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算， 我們還介紹了范德蒙行列式在多項(xiàng)式理論、解線性方程組中的應(yīng)用。自 1545年，卡當(dāng)給出了兩個(gè)一次方程組的解法，到 1683年日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和首次引進(jìn)了行列式的概念開 始，再到 1771年，范德蒙德不僅把行列式應(yīng)用于解線性方程組，而且對行列式理論本身進(jìn)行了開創(chuàng)性研究，人們逐漸對行列式進(jìn)行更深的研究，第一個(gè)給出行列式系統(tǒng)理論的是偉大數(shù)學(xué)家柯西。 證明：設(shè) ? ? nnnn cxcxcxcxf ????? ??? 12211 ?，要使 ? ? ? ?nibaf ii ??? 1 ，即滿足關(guān)于 nccc ?21, 的線性方程組： ???????????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnnnbccacacabccacacabccacaca12211212222112111221111?????， 而該方程組的系數(shù)行列式為范德蒙行列式： 111121121112221212111nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD???????????????????? 當(dāng) naaa , 21 ? 互不相等時(shí)該行列式不為零，由 Cramer 定理知方程組有唯一解，即對平面上 n 個(gè)點(diǎn) ? ?? ?niba ii ??1, ，其中 naaa ?, 21 互不相等，則必存在唯一的一個(gè)次數(shù)不超過 1?n 的多項(xiàng)式 ??xf 通過該 n 個(gè)點(diǎn)。 .. 14 證明：不妨設(shè) 0?n ，如果 ? ? nn xaxaxaaxf ????? ?2210 ，有 1?n 個(gè)互異的零點(diǎn) 121 , ?nn xxxx ? ，則有 ? ? 02210 ?????? ninii xaxaxaaxf ?, 11 ??? ni ；即 ????????????????????????? 00012121022222101212110nnnnnnnnnnxaxaxaaxaxaxaaxaxaxaa??????， 這個(gè)關(guān)于 naaa , 10 ? 的齊次線性方程組的系數(shù)行列式是范德蒙行列式 ? ? 01111121122221211??? ??????nijjinnnnnnxxxxxxxxxxx???????? 因此方程組只有零解，即 010 ???? naaa ? ， 這個(gè)矛盾表明， ??xf 至多有 n個(gè)互異根。 在多項(xiàng)式理論中，涉及到求根問題的有許多 .在分析有些問題時(shí)，范德蒙行列式能夠起到關(guān)鍵作用的，若能夠熟練有效地運(yùn)用范德蒙行列式，則對我們最終解決問題會有直接的幫助。 一般的，因?yàn)? kkkkk nnnknnnnnnnnnnn aaadnnaaa aaaaaaaa ????2121132121)(11 1??????， 所以 ]11[)( 113212121 1 kkk nnnnnnknnn aaaaaadnnaaa ???????. .. 13 故我們猜想上式拆成 k 項(xiàng)和時(shí)，也與 k 階范德蒙行列式和 1?k 階范德蒙行列式產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。,。 若存在 ? ?nj ?,2,1? ，使 0?jk ,不妨設(shè) rkkk , 21 ? 全不為零， 01 ???? nr kk ? ，因而有 rr ekekek ???? ?2211? ，則 .. 12 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? Aeeekkkkkkkkkeee rnrrrrrnnnn ??????? ????????? , 211122222111111211??????????? ， 利用范德蒙行列式可知 A 有一個(gè) r 階子式不為零，所以 ? ? rAR ? ，從而 ,又因?yàn)閚r? 線性無關(guān)，所以 ? ? ? ?? ?????? 1?n?， 線性無關(guān)，矛盾，從而 ???ni ia1?. 設(shè) }{an 是等差數(shù)列，公差 0?d ，則當(dāng) 2?n 時(shí)，有 ))1(()!1( 11 1132 121 110 1121 nnnnnnnnn acacacacdnaaa ?????? ??????? ?? ； 將此拆項(xiàng)公式推廣之后，我們會發(fā)現(xiàn)拆項(xiàng)公式與范德蒙行列式有著密切的關(guān)系。 （ 2）充分性 因?yàn)? ???ni ia1? 所以 ? ? ? ?? ? ? ?1122111211111,???? ?nnnnnnn aaa???????????????????， 并且 ? ??????????nijjinnnnn???????111221110111????????， 所以 1122111111???nnnnn???????????? 是可逆矩陣，又因?yàn)槭?V 的一組基， ? ? ? ?????? 1, ?n，? 線性無關(guān) 。 在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中，線性變換一直是一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，題目的變化也比較多，在有些題目中，我們可以巧妙的運(yùn)用范德蒙行列式來解決這類題目。則易證 ? 是雙射，從而 S中有無窮多個(gè)不同的元素。 當(dāng)