排列與逆序,行列式的定義(參考版)
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【正文】 2021/6/14 線性代數(shù)教學(xué)課件 27 由此，得行列式的等價(jià)定義 nnnnnnaaaaaaaaa???????212222111211? ??nnnjjjnjjjjjj aaa?? ?21212121)()1( ?? ???nnnnnniiijjjjijijijjjiii aaa???? ?212122112121 )()()1( ??? ??nnniiiniiiiii aaa?? ?21212121)()1( ?2021/6/14 線性代數(shù)教學(xué)課件 28 作 業(yè) 習(xí)題一： 1； 4（ 1）（ 2）（ 4）； 7（ 1） 。 即，交換項(xiàng)（ 1）中任意兩個(gè)元素的位置后，其行標(biāo)和列標(biāo) 所構(gòu)成的排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變。 2021/6/14 線性代數(shù)教學(xué)課件 25 設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 s，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 t。 為此，我們先來研究若交換項(xiàng)（ 1）中某兩個(gè)元素的 位置時(shí)，其行標(biāo)和列標(biāo)排列的奇偶性如何變化。 例 5 若 443312432211432213 , , kikiki aaaaaaaaaaaa為四階行列式的項(xiàng)，試確定 i與 k，使前兩項(xiàng)帶正號， 后一項(xiàng)帶負(fù)號。n的一個(gè)排列 當(dāng) 是偶排列時(shí)，項(xiàng)前面帶正號 njjj ?21當(dāng) 是奇排列時(shí)，項(xiàng)前面帶負(fù)號 njjj ?21三 . n 階行列式的定義 2021/6/14 線性代數(shù)教學(xué)課件 20 即 nnnnnnaaaaaaaaa???????212222111211? ??nnnjjjnjjjjjj aaa?? ?21212121)()1( ?其中 ?njjj ?21表示對所有 n元排列取和 注： (1) 當(dāng) n=1時(shí)，一階行列式 aa ?此處 a 不是 a的絕對值， 例如行列式 11 ???(2) 定義表明，計(jì)算 n階行列式，首先必須作出所有的 可能的位于不同行、不同列的 n個(gè)元素的乘積，把這些 乘積的元素的第一個(gè)下標(biāo)（行標(biāo)）按自然順序排列， 然后看第二個(gè)下標(biāo)（列標(biāo)）所成的奇偶性來決定這一 項(xiàng)的符號。 2. 每一項(xiàng)都是取自不同行、不同列的 3 個(gè)元素的乘積。 證明： 設(shè) n個(gè)數(shù)的排列中， 奇排列有 p 個(gè)，偶排列有 q 個(gè)， 則 p＋ q＝ n！ 對 p 個(gè)奇排列，施行同一對換， 則由定理 1得到 p 個(gè)偶排列。 證明思路： 先證相鄰兩數(shù)的對換，再證一般對換。 將相鄰的兩個(gè)數(shù)對換，稱為 相鄰對換 。 解： （法 1） ,31 ?m ,12 ?m ,03 ?m ,14 ?m 05 ?m5113)32514( ?????（法 2） 5002
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