【正文】 （ 4） 。（ 2） 。 b＝； A， B，則 =.124．空間的線線平行或垂直設，則； . a＝， b＝，則 cos〈 a， b〉 =.推論，此即三維柯西不等式 . ,與所成的角為 ,則 .127．異面直線所成角 =（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量） (為平面的法向量 ).所在平面若與過若的平面成的角 ,另兩邊 ,與平面成的角分別是、 ,為的兩個內(nèi)角，則 .特別地 ,當時 ,有 .角 ,另兩邊 ,與平面成的角分別是、 ,為的兩個內(nèi)角，則 .特別地 ,當時 ,有 .（，為平面，的法向量） . 弦定理設 AC 是α內(nèi)的任一條直線，且 BC⊥ AC，垂足為 C，又設 AO 與 AB 所成的角為， AB 與 AC 所成的角為， AO 與 AC 所成的角為．則 .定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是 ,與二面角的棱所成的角是θ，則有 。當時 ,表示雙曲線 .（弦端點 A，由方程消去 y 得到， ,為直線的傾斜角，為直線的斜率） .107.圓錐曲線的兩類對稱問題（ 1）曲線關于點成中心對稱的曲線是 .（ 2）曲線關于直線成軸對稱的曲線是 .108.“四線”一方程對于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲線的切線，切點弦，中點弦，弦中點方程均是此方程 得到 .109．證明直線與直線的平行的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點； （ 2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行； （ 3）轉(zhuǎn)化為線面平行； （ 4）轉(zhuǎn)化為線面垂直； （ 5）轉(zhuǎn)化為面面平行 .110．證明直線與平面的平行的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點； （ 2）轉(zhuǎn)化為線線平行； （ 3）轉(zhuǎn)化為面面平行 .111．證明平面與平面平行的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點； （ 2）轉(zhuǎn)化為線面平行； （ 3）轉(zhuǎn)化為線面垂直 .112．證明直線與直線的垂直的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為相交垂直； （ 2）轉(zhuǎn)化為線面垂直； （ 3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直； （ 4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直 .113．證明直線與平面垂直的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直； （ 2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直； （ 3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行； （ 4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面； （ 5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直 .114．證明平面與平面的垂直的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角； （ 2）轉(zhuǎn)化為線面垂直 .算律 (1)加法交換律： a＋ b=b＋ a． (2)加法結(jié)合律： (a＋ b)＋ c=a＋ (b＋ c)． (3)數(shù)乘分配律：λ (a＋ b)=λ a＋λ b． 行四邊形法則向空間的推廣始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量 . a、 b(b≠ 0)，a∥ b 存在實數(shù)λ使 a=λ b．三點共線 .、共線且不共線且不共線 .118.共面向量定理向量 p 與兩個不共線的向量 a、 b 共面的存在實數(shù)對 ,使．推論空間一點 P 位于平面 MAB 內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對 ,使，或?qū)臻g任一定點 O，有序?qū)崝?shù)對，使 . A、 B、C，滿足（），則當時，對于空間任一點，總有 P、 A、 B、 C 四點共面； 當時，若平面 ABC，則 P、 A、 B、 C四點共面； 若平面 ABC，則 P、 A、 B、 C 四點不共面．四點共面與、共面（平面 ABC） . a、 b、 c 不共面，那么對空間任一向量 p，存 在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組 x， y， z，使 p＝ xa＋yb＋ zc．推論設 O、 A、 B、 C 是不共面的四點，則對空間任一點 P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù) x， y， z，使 . =a 和軸，e 是上與同方向的單位向量 .作 A 點在上的射影，作 B 點在上的射影，則〈 a， e〉 =a. (1)已知圓．①若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是 .當圓外時 ,表示過兩個切點的切點弦方程．②過圓外一點的切線方程可設為，再利用相切條件求 k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于 y 軸的切線．③斜率為 k 的切線方程可設為，再利用相切條件求 b，必有兩條切線． (2)已知圓．①過圓上的點的切線方程為 。點在圓內(nèi) .三種 :。經(jīng)過定點的直線系方程為 ,其中是待定的系數(shù)． (2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線 ,的交點的直線系方程為 (除 )，其中λ是待定的系數(shù)． (3)平行直線系方程：直線中當斜率k 一定而 b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量． (4)垂 直直線系方程：與直線 (A≠ 0， B≠ 0)垂直的直線系方程是 ,λ是參變量． (點 ,直線： ).示的平面區(qū)域設直線，則或所表示的平面區(qū)域是： 若，當與同號時，表示直線的上方的區(qū)域； 當與異號時，表示直線的下方的區(qū)域 .簡言之 ,同號在上 ,異號在下 .若，當與同號時，表示直線的右方的區(qū)域； 當與異號時，表示直線的左方的區(qū)域 .簡言之 ,同號在右 ,異號在左 .（），則或所表示的平面區(qū)域是： 所表示的平面區(qū)域上下兩部分； 所表示的平面 區(qū)域上下兩部分 .（ 1）圓的標準方程 .（ 2）圓的一般方程 (＞ 0).（ 3）圓的參數(shù)方程 .（ 4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點是、 ). (1)過點 ,的圓系方程是 ,其中是直線的方程 ,λ是待定的系數(shù)． (2)過直線 :與圓 :的交點的圓系方程是 ,λ是待定的系數(shù)． (3)過圓 :與圓 :的交點的圓系方程是 ,λ是待定的系數(shù)． ，則點在圓外 。率公式（、） .（ 1）點斜式 (直線過點，且斜率為 )．（ 2）斜截式 (b 為直線在 y軸上的截距 ).（ 3）兩點式 ()(、 ()).(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距， )（ 5）一般式 (其中 A、 B 不同時為 0).條直線的平行和垂直 (1)若，① 。 b= 設，是線段的分點 ,是實數(shù)，且，則（） .△ ABC三個頂點的坐標分別為、 ,則△ ABC 的重心的坐標是 . .注 :圖形 F 上的任意一點P(x， y)在平移后圖形上的對應點為，且的坐標為 .69.“按向量平移”的幾個結(jié)論（ 1）點按向量 a=平移后得到點 .(2)函數(shù)的圖象按向量 a=平移后得到圖象 ,則的函數(shù)解析式為 .(3)圖象按向量 a=平移后得到圖象 ,若的解析式 ,則的函數(shù)解析式為 .(4)曲線 :按向量 a=平移后得到圖象 ,則的方程為 .(5)向量 m=按向量 a=平移后得到的向量仍然為 m=.70.三角形五“心”向量形式的充要條件設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則（ 1）為的外心 .（ 2）為的重心 .（ 3）為的垂心 .（ 4）為的內(nèi)心 .（ 5）為的的旁心 .： （ 1） (當且僅當 a＝ b時取“ =”號 )．（ 2） (當且僅當 a＝ b 時取“ =”號 )．（ 3）（ 4）柯西不等式（ 5） .，則有（ 1）若積是定值，則當時和有最小值； （ 2）若和是定值，則當時積有最大值 .推廣已知，則有（ 1）若積是定值 ,則當最大時 ,最大； 當最小時 ,最小 .（ 2）若和是定值 ,則當最大時 ,最??； 當最小時 ,最大 .，如果與同號，則其解集在兩根之外； 如果與異號，則其解集在兩根之間 .簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間 .； . a0時，有 .或 .（ 1） .（ 2） .（ 3） . (1)當時 ,。 b 等于 a 的長度 |a|與 b在 a 的方向上的投影 |b|cosθ的乘積． (1)設 a=,b=，則a+b=.(2)設 a=,b=，則 ab=.(3)設 A， B,則 .(4)設 a=，則 a=.(5)設 a=,b=，則 a b=|a||b|cosθ． c+b(3)（ a+b） b=a b=（ a a（交換律） 。(3)第二分配律：λ (a+b)=λ a+λ .向量的數(shù)量積的運算律： (1)a.（ 1）（分別表示 a、 b、 c邊上的 高） .（ 2） .(3).54.三角形內(nèi)角和定理在△ ABC 中，有 . ...特別地 ,有 ... ......的運算律設λ、μ為實數(shù)，那么 (1)結(jié)合律：λ (μ a)=(λμ )a。.(平方正弦公式 )。(3). ,記 .若的定義域為 ,則，且 。(3)零點式 . .上有且只有一個實根 ,與不等價 ,前者是后者的一個必要而不是充分條件 .特別地 ,方程有且只有一個實根在內(nèi) ,等價于 ,或且 ,或且 .上的二次函數(shù) 的最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下： (1)當 a0 時，若，則； ， .(2)當 a0)（ 1），則的周期 T=a； （ 2），或，或 ,或 ,則的周期 T=2a； (3)，則的周期 T=3a； (4)且，則的周期 T=4a； (5),則的周期 T=5a； (6)，則的周期 T= (1)（，且） .(2)（，且） .31．根式的性質(zhì)（ 1） .（ 2）當為奇數(shù)時，； 當為偶數(shù)時， .32．有理指數(shù)冪的運算性質(zhì) (1).(2).(3).注： 若 a＞ 0， p 是一個無理數(shù)，則 ap 表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用 .互化式 . (,且 ,且 ,).推論 (,且 ,且 ,).35．對數(shù)的四則運算法則若 a＞ 0， a≠ 1， M＞ 0， N＞ 0，則 (1)。如：求 2 第二篇：高中數(shù)學常用公式及常用結(jié)論大全 高中數(shù)學常用公式及常用結(jié)論 ,.式 . .5．集合的子集個數(shù)共有個； 真子集有 – 1 個； 非空子集有 – 1個； 非空的真子集有 – 2 個 . (1)一般式 。數(shù)形結(jié)合是解決解幾問題的重要思想方法，要記得畫圖分析喲！ 8你注意到了嗎？求軌跡與求軌跡方程有區(qū)別的。（焦半徑公式：橢圓： |PF1|=———— ； |PF2|=———— ； 雙曲線： |PF1|=———— ； |PF2|=———— （其中 F1 為左焦點 F2 為右焦點）； 拋物線： |PF|=|x0|+） 80、在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求 解時，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零？判別式的限制．（求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在性問題都在下進行） .8橢圓中， a， b， c的關系為 ———— ； 離心率 e=———— ； 準線方程為 ———— ； 焦點到相應準線距離為 ———— 雙曲線中， a， b， c 的關系為 ———— ； 離心率 e=———— ； 準線方程為 ———— ； 焦點到相應準線距離為 ———— 8通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦 .8你知道嗎？解析幾何中解題關鍵就是把題目中的幾何條件代數(shù)化，特別 是一些很不起眼的條件，有時起著關鍵的作用：如：點在曲線上、相交、共線、以某線段為直徑的圓經(jīng)過某點、夾角、垂直、平行、中點、角平分線、中點弦問題等。該題就要注意，不要漏掉 x+3=0這一解 .）6定比分點的坐標公式是什么？（起點，中點，分點以及值可要搞清）線段的定比分點坐標公式設 P（ x， y）， P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2），且，則中點坐標公式若 ，則△ ABC 的重心 G的坐標是。 .（ 6） .若 {}是等差數(shù)列，則 {}是等比數(shù)列，若 {}是等比數(shù)列且，則 {}是等差數(shù)列 .4等比數(shù)列中的重要性質(zhì)：（ 1）若，則； （ 2），成等比數(shù)列 4你是否注意到在應用等比數(shù)列求前 n 項和時，需要分類討論．（時，； 時，） 50、等比數(shù)列的一個求和公式：設等比數(shù)列的前 n 項和為，公比為 , 則． 5等差數(shù)列的一個性質(zhì)：設是數(shù)列的前 n 項和，為等差數(shù)列的充要條件是（ a,b 為常數(shù)）其公差是 、你知道怎樣的數(shù)列求和時要用“錯位相減”法嗎？（若，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求的前 n 項的和） 5用求數(shù)列的通項公式時，你注意到了嗎？5你還記得裂項求和嗎？（如 .）四、排列組合、二項式定理 5解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合． 5解排列組合問題的規(guī)律是：相鄰問題捆綁法； 不鄰問題插空法； 多排問題單排法； 定位問題優(yōu)先法； 多元問題分類法； 有序分配問題法； 選取問題先排后排法； 至多至少問題間接法，還記得什么時候用隔板法？ 5排列數(shù)公式是： 組合數(shù)公式是： 排列數(shù)與組合數(shù)的關系是： 組合數(shù)性質(zhì)： =+==二項式定理： 二項展開式的通項公式： 五、立體幾何 5有關平行垂直的證明主要利用線面關系的轉(zhuǎn)化：線 //線線 //面面 /