【正文】 高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論大全 [五篇 ] 第一篇：高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論大全 高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論 ,.式 . .5．集合的子集個(gè)數(shù)共有個(gè)； 真子集有 – 1 個(gè)； 非空子集有 – 1個(gè)； 非空的真子集有 – 2 個(gè) . (1)一般式 。(2)頂點(diǎn)式 。(3)零點(diǎn)式 . .上有且只有一個(gè)實(shí)根 ,與不等價(jià) ,前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件 .特別地 ,方程有且只有一個(gè)實(shí)根在內(nèi) ,等價(jià)于 ,或且 ,或且 .上的二次函數(shù)的最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下： (1)當(dāng) a0 時(shí)，若，則； ， .(2)當(dāng) a0)（ 1），則的周期 T=a； （ 2），或，或 ,或 ,則的周期 T=2a； (3)， 則的周期 T=3a； (4)且，則的周期 T=4a； (5),則的周期 T=5a； (6)，則的周期 T= (1)（，且） .(2)（，且） .31．根式的性質(zhì)（ 1） .（ 2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， .32．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) (1).(2).(3).注： 若 a＞ 0， p 是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則 ap 表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用 .互化式 . (,且 ,且 ,).推論 (,且 ,且 ,).35．對(duì)數(shù) 的四則運(yùn)算法則若 a＞ 0， a≠ 1， M＞ 0， N＞ 0，則 (1)。(2)。(3). ,記 .若的定義域?yàn)?,則，且 。若的值域?yàn)?,則，且 .對(duì)于的情形 ,需要單獨(dú)檢驗(yàn) . ,則函數(shù) (1)當(dāng)時(shí) ,在和上為增函數(shù) .， (2)當(dāng)時(shí) ,在和上為減函數(shù) .推論 :設(shè)，，且，則（ 1） .（ 2） .38.平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為 N，平均增長(zhǎng)率為，則對(duì)于時(shí)間的總產(chǎn)值，有 . n 項(xiàng)的和的關(guān)系 (數(shù)列的前n 項(xiàng)的和為 ).； 其前 n 項(xiàng)和公式為 . 列的通項(xiàng)公式； 其前 n 項(xiàng)的和公式為或 . :的通項(xiàng)公式為； 其前 n 項(xiàng)和公式為 . (按揭貸款 )每次還款元 (貸款元 ,次還清 ,每期利率為 ).44．常見(jiàn)三角不等式（ 1）若，則 .(2)若，則 .(3).45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式， =， .、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號(hào)看象限） (n 為偶數(shù) )(n為奇數(shù) )(n 為偶數(shù) )(n 為奇數(shù) )角與差角公式 。.(平方正弦公式 )。.=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定 ,). ... ... 周期公式函數(shù)， x∈ R 及函數(shù)， x∈ R(A,ω ,為常數(shù)，且 A≠ 0，ω＞ 0)的周期； 函數(shù)， (A,ω ,為常數(shù)，且 A≠ 0，ω＞ 0)的周期 . .52.余弦定理 。.（ 1）（分別表示 a、 b、 c邊上的高） .（ 2） .(3).54.三角形內(nèi)角和定理在△ ABC 中，有 . ...特別地 ,有 ... ......的運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么 (1)結(jié)合律：λ (μ a)=(λμ )a。(2)第一分配律： (λ +μ )a=λ a+μ a。(3)第二分配律：λ (a+b)=λ a+λ .向量的數(shù)量積的運(yùn)算律： (1)a b=b a（交換律） 。(2)（ a） b=（ a b） =a b=a（ b） 。(3)（ a+b） c=a c+b 如果 e e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ λ 2，使得 a=λ 1e1+λ 2e2．不共線的向量 e e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 60．向量平行的坐標(biāo)表示 設(shè)a=,b=，且 b0，則 ab(b0). 與 b的數(shù)量積 (或內(nèi)積 )a b=|a||b|cosθ． b 的幾何意義數(shù)量積 a b 等于 a 的長(zhǎng)度 |a|與 b在 a 的方向上的投影 |b|cosθ的乘積． (1)設(shè) a=,b=，則a+b=.(2)設(shè) a=,b=，則 ab=.(3)設(shè) A， B,則 .(4)設(shè) a=，則 a=.(5)設(shè) a=,b=，則 a b=. (a=,b=). =(A，B).65. 向 量 的 平 行 與 垂 直 設(shè) a=,b= ，且 b0 ，則 A||bb= λ(a0)a b= 設(shè)，是線段的分點(diǎn) ,是實(shí)數(shù)，且，則（） .△ ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、 ,則△ ABC 的重心的坐標(biāo)是 . .注 :圖形 F 上的任意一點(diǎn)P(x， y)在平移后圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且的坐標(biāo)為 .69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論（ 1）點(diǎn)按向量 a=平移后得到點(diǎn) .(2)函數(shù)的圖象按向量 a=平移后得到圖象 ,則的函數(shù)解析式為 .(3)圖象按向量 a=平移后得到圖象 ,若的解析式 ,則的函數(shù)解析式為 .(4)曲線 :按向量 a=平移后得到圖象 ,則的方程為 .(5)向量 m=按向量 a=平移后得到的向量仍然為 m=.70.三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)為所 在平面上一點(diǎn)，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則（ 1）為的外心 .（ 2）為的重心 .（ 3）為的垂心 .（ 4）為的內(nèi)心 .（ 5）為的的旁心 .： （ 1） (當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b時(shí)取“ =”號(hào) )．（ 2） (當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b 時(shí)取“ =”號(hào) )．（ 3）（ 4）柯西不等式（ 5） .，則有（ 1）若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值； （ 2）若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值 .推廣已知，則有（ 1）若積是定值 ,則當(dāng)最大時(shí) ,最大； 當(dāng)最小時(shí) ,最小 .（ 2）若和是定值 ,則當(dāng)最大時(shí) ,最??； 當(dāng)最小時(shí) ,最大 . 二次不等式，如果與同號(hào)，則其解集在兩根之外； 如果與異號(hào)，則其解集在兩根之間 .簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間 .； . a0時(shí)，有 .或 .（ 1） .（ 2） .（ 3） . (1)當(dāng)時(shí) ,。.(2)當(dāng)時(shí) ,。率公式（、） .（ 1）點(diǎn)斜式 (直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為 )．（ 2）斜截式 (b 為直線在 y軸上的截距 ).（ 3）兩點(diǎn)式 ()(、 ()).(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距， )（ 5）一般式 (其中 A、 B 不同時(shí)為 0).條直線的平行和垂直 (1)若，① 。② .(2)若 ,且 A A B B2 都不為零 ,①； ②； (1).(， ,)(2).(,).直線時(shí)，直 線 l1 與 l2 的夾角是 . (1).(， ,)(2).(,).直線時(shí)，直線 l1 到 l2 的角是 .82．四種常用直線系方程 (1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為 (除直線 ),其中是待定的系數(shù) 。經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為 ,其中是待定的系數(shù)． (2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線 ,的交點(diǎn)的直線系方程為 (除 )，其中λ是待定的系數(shù)． (3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k 一定而 b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量． (4)垂直直線系方程：與直線 (A≠ 0， B≠ 0)垂直的直線系方程是 ,λ是參變 量． (點(diǎn) ,直線： ).示的平面區(qū)域設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是： 若，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線的上方的區(qū)域； 當(dāng)與異號(hào)時(shí)，表示直線的下方的區(qū)域 .簡(jiǎn)言之 ,同號(hào)在上 ,異號(hào)在下 .若，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，表示直線的右方的區(qū)域； 當(dāng)與異號(hào)時(shí)，表示直線的左方的區(qū)域 .簡(jiǎn)言之 ,同號(hào)在右 ,異號(hào)在左 .（），則或所表示的平面區(qū)域是： 所表示的平面區(qū)域上下兩部分； 所表示的平面區(qū)域上下兩部分 .（ 1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .（ 2）圓的一 般方程 (＞ 0).（ 3）圓的參數(shù)方程 .（ 4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點(diǎn)是、 ). (1)過(guò)點(diǎn) ,的圓系方程是 ,其中是直線的方程 ,λ是待定的系數(shù)． (2)過(guò)直線 :與圓 :的交點(diǎn)的圓系方程是 ,λ是待定的系數(shù)． (3)過(guò)圓 :與圓 :的交點(diǎn)的圓系方程是 ,λ是待定的系數(shù)． ，則點(diǎn)在圓外 。點(diǎn)在圓上 。點(diǎn)在圓內(nèi) .三種 :。.其中 . O1， O2，半徑分別為 r1， r2， 。. (1)已知圓．①若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是 .當(dāng)圓外時(shí) ,表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程．②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求 k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于 y 軸的切線．③斜率為 k 的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求 b，必有兩條切線． (2)已知圓．①過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為 。②斜率為的圓的切線方程為 .數(shù)方程是 .， .94．橢圓的的內(nèi)外部（ 1）點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部 .（ 2）點(diǎn)在橢圓的外部 . (1)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是 .（ 2）過(guò)橢圓外一點(diǎn)所引兩 條切線的切點(diǎn)弦方程是 .（ 3）橢圓與直線相切的條件是 .， .外部 (1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部 .(2)點(diǎn)在雙曲線的外部 .與漸近線方程的關(guān)系 (1）若雙曲線方程為漸近線方程： .(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為 .(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在 x 軸上，焦點(diǎn)在 y 軸上） . (1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是 .（ 2）過(guò)雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 .（ 3）雙曲線與直線相切的條件是 .半徑 .過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng) . P 或 P，其中 .函數(shù)的圖象是拋物線：（ 1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為； （ 2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為； （ 3）準(zhǔn)線方程是 . (1)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部 .點(diǎn)在拋物線的外部 .(2)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部 .點(diǎn)在拋物線的外部 .(3)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部 .點(diǎn)在拋物線的外部 .(4)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部 .點(diǎn)在拋物線的外部 . (1)拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是 .（ 2）過(guò)拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 .（ 3）拋物線與直線相切的條件是 . (1)過(guò)曲線 ,的交點(diǎn)的曲線系方程是 (為參數(shù) ).(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程 ,其中 .當(dāng)時(shí) ,表示橢圓 。當(dāng)時(shí) ,表示雙曲線 .（弦端點(diǎn) A，由方程消去 y 得到， ,為直線的傾斜角，為直線的斜率） .107.圓錐曲線的兩類對(duì)稱問(wèn)題（ 1）曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的曲線是 .（ 2）曲線關(guān)于直線成軸對(duì)稱的曲線是 .108.“四線”一方程對(duì)于一般的二次曲線，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲線的切線，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到 .109．證明直線與直線的平行的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為判定共面二 直線無(wú)交點(diǎn)； （ 2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行； （ 3）轉(zhuǎn)化為線面平行； （ 4）轉(zhuǎn)化為線面垂直； （ 5）轉(zhuǎn)化為面面平行 .110．證明直線與平面的平行的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)； （ 2）轉(zhuǎn)化為線線平行； （ 3）轉(zhuǎn)化為面面平行 .111．證明平面與平面平行的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)； （ 2）轉(zhuǎn)化為線面平行； （ 3）轉(zhuǎn)化為線面垂直 .112．證明直線與直線的垂直的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為相交垂直； （ 2）轉(zhuǎn)化為線面垂直； （ 3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直； （ 4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直 .113．證明直線與平面垂直的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直； （ 2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直； （ 3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行； （ 4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面； （ 5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直 .114．證明平面與平面的垂直的思考途徑（ 1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角； （ 2）轉(zhuǎn)化為線面垂直 .算律 (1)加法交換律： a＋ b=b＋ a． (2)加法結(jié)合律： (a＋ b)＋ c=a＋ (b＋ c)． (3)數(shù)乘分配律：λ (a＋ b)=λ a＋λ b． 行四邊形法則向空間的推廣始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量 . a、 b(b≠ 0)，a∥ b 存在實(shí)數(shù)λ使 a=λ b．三點(diǎn)共線 .、共線且不共線且不共線 .118.共面向量定理向量 p 與兩個(gè)不共線的向量 a、 b 共面的存在實(shí)數(shù)對(duì) ,使．推論空間一點(diǎn) P 位于平面 MAB 內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對(duì) ,使，或?qū)臻g任一定點(diǎn) O，有序?qū)崝?shù)對(duì)，使 . A、 B、C，滿足（），則當(dāng)時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)，總有 P、 A、 B、 C 四點(diǎn)共面； 當(dāng)時(shí)，若平面 ABC，則 P、 A、 B、 C四點(diǎn)共面； 若平面 ABC，則 P、 A、 B、 C 四點(diǎn)不共面．四點(diǎn)共面與、共面（平面 ABC） . a、 b、 c 不共面，那么對(duì)空間任一向量 p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 x， y， z，使 p＝ xa＋yb＋ zc．推論設(shè) O、 A、 B、 C 是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn) P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù) x， y， z，使 . =a 和軸，e 是上與同方向的單位向量 .作 A 點(diǎn)在上的射影，作 B 點(diǎn)在上的射影，則〈 a， e〉 =a a＝， b＝則 (1)a＋ b＝； (2)a－ b＝； (3)λ a＝ (λ∈