【正文】 dinger方程； ② 解方程，由邊界條件和和合格波函數(shù)條件確定歸一化因子及 En，求得 ?n ③ 描繪 ?n， ?n*?n等 圖 形， 討論 其分布特點； ④ 用力學(xué)量算符作用于 ?n， 求各個對應(yīng)狀態(tài)各種力學(xué)量的數(shù)值，了解體系的性質(zhì)； ⑤ 聯(lián)系實際問題，應(yīng)用所得結(jié)果。 ? 解： ? 所以，三個量子數(shù)可以為 12 13 2123 31 321，簡并度為 6。 ? 解： ? 所以，三個量子數(shù)可以為 21 12 112，簡并度為 3。 ? 簡并度：簡并能級對應(yīng)的狀態(tài)函數(shù)的個數(shù)，用g表示。 ? 簡并能級：一個能級對應(yīng)兩個以上的狀態(tài)函數(shù)。 ? 在三維勢箱中，每一組 確定一個狀態(tài)，以及與這個狀態(tài)相對應(yīng)的能量。令這個箱子的一個頂點位于坐標(biāo)原點，而 a、 b、 c三條棱分別與 x、 y、z軸重合，顯然，此時體系的哈密頓算符為 ? Schordinger方程為： 0),(2),()( 2222222?????????? zyxmEzyxzyx???2222222222)(2? ?????????????mzyxmH??? 用分離變量法求解此方程。 ? ⑷ 波長 2220*22202*24)()(4)(?)(lhndxxxlhndxxpxpllxx??? ?? ????nllnhhphx22????? ⑸ 坐標(biāo)平方 ? 坐標(biāo)平方為非本征態(tài)力學(xué)量，沒有確定值，計算其平均值。 lxnllnilxnldxdixpx???? c os2s i n2)(? ?? ????0s i n212s i ns i n2)())((0200*??????? ??lllxlxnlilxndlxnildxxdxdixp????????? ⑶ 動量平方 ? 動量平方是本征態(tài)力學(xué)量，有確定值。 ? 箱中粒子的各種力學(xué)量 ? 只要知道了 ，體系中各力學(xué)量便可用各自的算符作用于 而得到。 ? ⑷ 波函數(shù)的正交歸一性 ? 波函數(shù)是由歸一化條件確定的，所以必須是歸一的。例如：基態(tài)時，粒子在 處出現(xiàn)幾率最大。 節(jié)點數(shù) = 一維勢箱粒子的能量隨 ?n(x)的節(jié)點數(shù)的增加而升高。相比之下，一維箱粒子的能量取值是量子化的，且有零點能（ 體系最低能量 ）的存在（ E0 = h2/8ml2），結(jié)果是一維箱粒子不會靜止下來。En。 建立、求解薛定諤方程 )()(2 222xEdxxdm?????0)(2)(222?? xmEdxxd???2222?dxdmH???? 這是常系數(shù)二階線性齊次方程，其通解為 ? 根據(jù)合格波函數(shù)的連續(xù)性和單值條件，當(dāng) ? 時， ? 當(dāng) 時， ? 則 ? 通解化簡為 )2s i n()2c os ()( 21 xmEcxmEcx?????和0?x lx ? 0)( ?x?0?x 00s in0c o s)0( 21 ??? ?? cc?01 ?c)2s i n()( 2 xmEcx???? 當(dāng) 時， ? 不能為 0，所以 ? 解得 lx ?0)2s i n()( 2 ?? lmEcl??2c?nlmE??2 ???? ,3,2,1n 0?n2228 mlhnE ?? 將 E公式代入通解，得 ? 由歸一化條件求得 lxncx ?? s i n)(2?2c?? ????????lll lcllxnnlxcdxlxncdxlxnCdxx0220222202022212]2s i n2[2)2c o s1(21s i n)(????? ? 箱中粒子的波函數(shù) : ? 薛定諤方程的解 lc 22 ?lxnlx?? s i n2)( ??????????2228s i n2)(mlhnElxnlx?????? ,3,2,1n0?n? 結(jié)論：粒子可以存在多種運動狀態(tài)，它們可由ψ1， ψ2， ψ3， ?該原理的其它內(nèi)容將在后續(xù)課程介紹?；蛘哒f，兩個自旋相同的電子不能占據(jù)相同的軌道。 ? 解： ? 動量為非本征態(tài)力學(xué)量，沒有確定值。 ???全空間全空間??????ddAA** ?? 如果 … ， 對應(yīng)的本征值分別為 ? ，當(dāng)體系處于 的線性組合狀態(tài)，并且 已歸一化時，則可由下式計算線性組合態(tài)力學(xué)量的平均值 ? 例 4 某微觀體系處于波函數(shù) ? （ 為常數(shù)）描述的狀態(tài)，計算該狀態(tài)下動量平方值。 ? ⑶ 線性組合態(tài)力學(xué)量 ? 該力學(xué)量為線性組合態(tài)的狀態(tài)函數(shù)時所對應(yīng)的力學(xué)量。 ? ⑵ 非本征態(tài)力學(xué)量 ? 力學(xué)量 A的算符作用于狀態(tài)函數(shù) ，不能得 ici?32 , spspsp??? 到本征方程，則力學(xué)量 A為非本征態(tài)力學(xué)量。 ? 力學(xué)量的計算 ? ⑴ 本征態(tài)力學(xué)量 ? 力學(xué)量 A的算符作用于狀態(tài)函數(shù) ，得到本征方程，則稱力學(xué)量 A為本征態(tài)力學(xué)量。 , 21 ?? n??????????niiinn cccc ????? 2211nccc ???, 21? 組合系數(shù) 的大小反映 貢獻的大小。 ? 三、態(tài)疊加原理 ? 假設(shè) Ⅲ 若 … ， 描述的是某一微觀體系的各可能狀態(tài)，由它們線性組合所得的也是該體系一個可能狀態(tài)。dinger方程是決定體系能量算符的本征值和本征函數(shù)的方程，是量子力學(xué)中的一個基本方程。 ? 薛定諤方程 ? ⑴ 薛定諤方程的作用 描述微觀體系束縛因素和受束縛狀態(tài)之間的關(guān)系。 ? 解： ? 本征值為 。 A????aaa?? aA ??A?A??)e x p ( axa ???dxd? 解： ? 本征值為 。 稱為算符 的本征態(tài)或本征波函數(shù)，上式稱為 的本征方程。 dxdiA ??)e x p ( ix?? )e x p ( ix?????? ????? xdxixAixdxA )e x p (?)e x p (? ??xdxixixAdxA ??? ??? ? )e xp()]e xp(?[)?( ??A?? 本征方程 ? 若某一力學(xué)量 A的算符 作用于某一狀態(tài)函數(shù) 后，等于某一常數(shù) 乘以 ，即 ? ? 那么對 所描述的這個微觀體系的狀態(tài)，其力學(xué)量 A具有確定的數(shù)值 。 ? 厄米算符 ? 如果 算符滿足 ? 或 ? 則稱 算符為厄米算符。 ])()()[(????22222222xyyxzxxzyzzyMMMMzyx???????????????????????1? 2? A?A?2121 ??)(? ???? AAA ???? 一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、積分、拉普拉斯算符等都是線性算符。即 2222222zyx ??????????mPmvT221 22 ??22222?? ????mmPT?),(),(? zyxVzyxV ?? 總能量算符： ? 單粒子體系總能量算符為 ? 稱為哈密頓算符。 ? 動量算符： ? 因為 2222zyx PPPP ???2222?xPx ???? ?2222?yPy ???? ?2222?zPz ???? ?2222222222222 )(???? ???????????????? ??zyxPPPPzyx? ，稱為拉普拉斯算符。 ? ⑴ 時空、坐標(biāo)的算符等于本身。量子力學(xué)中算符通常用力學(xué)量符號上加 “ ∧ ” 表示，如 。 ? 在量子力學(xué)中，為了和用波函數(shù)作為描述狀態(tài)的數(shù)學(xué)工具相適應(yīng)，以算符作為表示力學(xué)量的數(shù)學(xué)工具。 ? 算符：對函數(shù)進行某種運算，或?qū)D形進行某種操作的符號。 ? 二、力學(xué)量和算符 ? 力學(xué)量 ? 描述微觀體系狀態(tài)的物理量，如能量 E、坐標(biāo) x（或 y， z， t）、動量 P、角動量 M等稱為力學(xué)量。 ? 積分公式： ? ?????????? ??2222 2 ?dxedxee xxx????? ?aadxex ax?2122a