【文章內(nèi)容簡介】 的科學(xué)。它由若干基本假設(shè)組成。 ? 量子力學(xué)的基本假設(shè)，象幾何學(xué)中的公理一樣，是不能被證明的。二十世紀(jì)二十年代，狄拉克，海森伯，薛定鍔在量子力學(xué)假設(shè)的基礎(chǔ)上構(gòu)建了量子力學(xué)大廈。假設(shè)雖然不能直接證明，但也不是憑科學(xué)家主觀想象出來的，它來源于實驗，并不斷被實驗所證實。 ? 一、 波函數(shù)和微觀粒子的狀態(tài) ? 假設(shè) Ⅰ 對于一個微觀體系，它的狀態(tài)和可以用波函數(shù) 來表示。 ? 是體系的狀態(tài)函數(shù)，是體系中所有粒子的坐標(biāo)函數(shù)，也是時間函數(shù)。 ? 定態(tài)波函數(shù) 不含時間的波函數(shù) 稱為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)是指體系的力學(xué)量平均值和幾率密度均不隨時間變化的狀態(tài)。 ? 例如：對一個含有兩個粒子體系 ，其中為 粒子 1的坐標(biāo)， 為粒子 2的坐標(biāo)，是時間。 ),( tzyx?),( tzyx?),( zyx?),。,( 222111 tzyxzyx? 111 , zyx222 , zyx t? 波函數(shù)的函數(shù)形式 ? 波函數(shù)的形式有多種，如各種實函數(shù)和復(fù)函數(shù)： ? 氫原子基態(tài)波函數(shù)為 ，是實函數(shù)。 ? 單粒子平面單色光波函數(shù)為 ? 它是復(fù)函數(shù)。 ? 波函數(shù)的物理意義 ? 波函數(shù)與它的共軛函數(shù)的乘積代表粒子在 0301 area????)](2e xp[ EtxPhiAx ????t? 時刻空間某點 的幾率密度。即 ? 定態(tài)波函數(shù)具有同樣的物理意義 ? 各符號的意義 ? 其中 稱為體積元。它代表某體系的粒子在點 體積 內(nèi)的幾率。 ? 波函數(shù)的合格條件 ? 不是任何函數(shù)都可以作為波函數(shù)使用，波函數(shù)需同時滿足以下三個條件 zyx ,),(),(* tzyxtzyx ????),(),(* zyxzyx ??? ???? d? d x d y d zd ??),( zyx ?d? ⑴ 單值：即在空間每一點只能有一個值。 ? ⑵連續(xù)：即波函數(shù)的值不會出現(xiàn)突躍，而且對它的一級微商也是連續(xù)函數(shù)。 ? ⑶有限：又稱平方可積，即波函數(shù)在整個空間的積分 應(yīng)為一常數(shù) c，即 ? 符合這三個條件的波函數(shù)稱為合格波函數(shù)或品優(yōu)波函數(shù)。 ? 例如，下圖中 a是不連續(xù)函數(shù)， c是多值函數(shù)，d是發(fā)散函數(shù)，只有 b是有限、連續(xù)、單值函數(shù)。因此，只有 b可以作為波函數(shù)。 ? ? ??? d? ?? cd ???? 例 1 下列哪些函數(shù)是合格波函數(shù)： ? ⑴ ⑵ ? ⑶當(dāng) 時， ； x＜ 0時， ? 解：⑴單值、連續(xù) ? 說明不是有限函數(shù)，不合格。 xe? 2xe?0?x 22)( xexf ??2)( xexf ??? ??????????? ?????????? xxxx exdedxee 2221)2(21? ⑵ 單值、連續(xù) ? 是有限函數(shù)，合格。 ? ⑶ 在 x=0處不連續(xù)，不合格。 ? 積分公式： ? ?????????? ??2222 2 ?dxedxee xxx????? ?aadxex ax?2122adxe ax?????? ?2? 波函數(shù)的性質(zhì) ? 歸一性 ? 它表示某體系中處于 狀態(tài)的粒子在全空間出現(xiàn)的幾率為 1。 ? 正交性 ? 它表明某體系中的粒子在全空間同時處 和 狀態(tài)的幾率為零。 ? 二、力學(xué)量和算符 ? 力學(xué)量 ? 描述微觀體系狀態(tài)的物理量，如能量 E、坐標(biāo) x（或 y， z， t）、動量 P、角動量 M等稱為力學(xué)量。 ? ? 0* ??? dji? ? 1* ??? diii?i? j?? 假設(shè) Ⅱ 對一個微觀體系的每個可觀測的力學(xué)量，都對應(yīng)著一個線性厄米算符。 ? 算符：對函數(shù)進行某種運算，或?qū)D形進行某種操作的符號。 ? 如我們學(xué)習(xí)的加法、平方、開方、正旋、對數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分等運算符號都是算符。 ? 在量子力學(xué)中，為了和用波函數(shù)作為描述狀態(tài)的數(shù)學(xué)工具相適應(yīng)，以算符作為表示力學(xué)量的數(shù)學(xué)工具。體系的每個可觀測的力學(xué)量和一個算符相對應(yīng)。量子力學(xué)中算符通常用力學(xué)量符號上加 “ ∧ ” 表示，如 。 xP?? 算符化規(guī)則 ? 它能給出結(jié)構(gòu)化學(xué)中常用力學(xué)量所對應(yīng)算符的形式。 ? ⑴ 時空、坐標(biāo)的算符等于本身。 ? ⑵ 動量的三個分量算符形式為 xx ?? yy ?? zz ?? tt ??xiPx ???? ??yiPy ???? ??ziPz ???? ??? ⑶ 其它力學(xué)量算符由時、空坐標(biāo)算符和動量分量算符導(dǎo)出。 ? 動量算符： ? 因為 2222zyx PPPP ???2222?xPx ???? ?2222?yPy ???? ?2222?zPz ???? ?2222222222222 )(???? ???????????????? ??zyxPPPPzyx? ，稱為拉普拉斯算符。 ? 動能算符： ? 因為 ? 所以 ? 勢能算符：由于勢能函數(shù)都是空間坐標(biāo)的函數(shù)，所以，勢能算符那等于勢能本身。即 2222222zyx ??????????mPmvT221 22 ??22222?? ????mmPT?),(),(? zyxVzyxV ?? 總能量算符： ? 單粒子體系總能量算符為 ? 稱為哈密頓算符。 ? 角動量算符： VTE ??VmhVTEH ??????? 2228?????H?kyPxPjxPzPizPyPPPPzyxkjiPrMxyzxyzzyx?????????)()()( ?????????? 所以 yzx zPyPM ?? zxy xPzPM ??xyz yPxPM ??)(?????xyyxiPyPxM xyz????????? ?)(?????yzzyiPzPyM yzx????????? ?)(?????zxxziPxPzM zxy????????? ?? 角動量平方算符為 ? 線性算符 ? 如果 和 是任意兩個函數(shù)，算符 滿足 ? 則稱 算符為線性算符。 ])()()[(????22222222xyyxzxxzyzzyMMMMzyx???????????????????????1? 2? A?A?2121 ??)(? ???? AAA ???? 一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、積分、拉普拉斯算符等都是線性算符。 ? 結(jié)構(gòu)化學(xué)中七種力學(xué)量算符均為線性算符。 ? 厄米算符 ? 如果 算符滿足 ? 或 ? 則稱 算符為厄米算符。 A?A?? ? ? ??? ?? ????????? dAdAdA )?()?(?? ? ??? ?? ????????? dAdAdA *122121 )?()?(?? 例如， ? 所以 算符是厄米算符。 dxdiA ??)e x p ( ix?? )e x p ( ix?????? ????? xdxixAixdxA )e x p (?)e x p (? ??xdxixixAdxA ??? ??? ? )e xp()]e xp(?[)?( ??A?? 本征方程 ? 若某一力學(xué)量 A的算符 作用于某一狀態(tài)函數(shù) 后，等于某一常數(shù) 乘以 ，即 ? ? 那么對 所描述的這個微觀體系的狀態(tài)，其力學(xué)量 A具有確定的數(shù)值 。 稱為力學(xué)量算符的本征值。 稱為算符 的本征態(tài)或本征波函數(shù)，上式稱為 的本征方程。 ? 例 1 函數(shù) 是算符 的本征函數(shù)，求本征值。 A????aaa?? aA ??A?A??)e x p ( axa ???dxd? 解： ? 本征值為 。 ? 例 2 函數(shù) 是算符 的本征函數(shù)，求本征值。 ? 解： ? 本征值為 。 ?aaxaaxadxd ?????? )e xp()e xp( 2a?)e x p ( axa ???22dxd?2222)e xp ()e xp ( aaxaaaxadxd????2a ? 例 3 函數(shù) 和 均是算符 ? 的本征函數(shù)，本征值分別是多少？ ? 解： ? 本征值為 3. 221 xxe ? 221 xe? )( 222xdxd ??22222222222212132132121213212