【正文】 ? 六個簡并態(tài)函數如下： 2286mahE ?6222 ??? zyx nnn2247mahE ?14222 ??? zyx nnnazayaxazyx ???? 3s i n2s i ns i n8),( 312 3 ?azayaxazyx ???? 2s i n3s i ns i n8),( 313 2 ?azayaxazyx ???? s i n3s i n2s i n8),( 323 1 ?azayaxazyx ???? 2s i ns i n3s i n8),( 331 2 ?azayaxazyx ???? s i n2s i n3s i n8),( 332 1 ?azayaxazyx ???? 3s i ns i n2s i n8),( 321 3 ??三、量子力學處理微觀體系的一般步驟： ① 根據體系的物理條件，寫出勢能函數，進而寫出 Schr246。 ? 二維勢箱模型 bynaxnabcyYxXyx yx??? s i ns i n8)()(),( ??)(8 22222bnanmhEEE yxyx ???? ? 例 1 確定立方箱能級 簡并度。 cznbynaxnabczZyYxXzyx zyx ???? s i ns i ns i n8)()()(),( ??)(8 2222222cnbnanmhEEEE zyxzyx ??????zyx nnn ,? 如果是立方箱，即 a=b=c，則其解為 ? 立方箱存在簡并能級。 lxnlxxx?? s i n2)(? 22 ?]2s i n222s i n23[1]2c o s31[1)2c o s1(1s i n2)(?)(00230 0203202202*2?? ????????????lll lllldxlxnxnllxnxnllldxlxnxxldxlxnxldxlxnxldxxxxx????????? ? 積分公式： )231(3)23(1])2c o s22s i n4(3[1222223302223???????nlnllllxnnlxlxnnlnllll???????aaxxaaxax dxx s i nc osc os2 ???aaxxaaxax dxx c oss i ns i n2 ???ax dxxanaaxxax dxx nnn s i ns i nc os 1?? ???? 二 . 三維勢箱模型 ? 設粒子被束縛在邊長為 a、 b、 c的三維勢箱中，且勢能在箱內為零。 ? ⑴ 坐標 ??lxnlxxx?? s i n2)(? ?? 坐標是非本征態(tài)力學量，只能計算其平均值 22c o s2212)]2s i n2s i n(22[1]2s i n221[1)2c o s1(1s i n2)(?)(00020020020*llxnnlnldxlxnlxnxnllllxnxdnlxldxlxnxldxlxnxldxxxxxllllllll?????????????????????????????? ⑵ 動量 ? 動量是非本征態(tài)力學量，只能計算其平均值。而第一激發(fā)態(tài)，粒子 1?n2l一維勢箱模型的波函數和幾率密度曲線 ? 在 處出現幾率為 0，在 和 處出 ? 現幾率最大。 3?n223 89mlhE ?lxlx??3s i n2)(2 ?⑵ 波函數 波函數的節(jié)點 除邊界條件外，波函數等于零的點。 ? Pauli原理的另一種表述：描述多電子體系軌道運動和自旋運動的完全波函數，交換任兩個電子的全部坐標（空間坐標和自旋坐標），必然得出反對稱的波函數。 lxlx ?? s i n2)( ?, 21 ??naaa , 21 ???n?????niii acA2l? 解： ? 是本征態(tài)力學量，具有確定值 )(4s i n2s i n2)(?222222222xlhlxlllxldxdxPx???????????2xP2224 lhPx ?? 例 5 某微觀體系處于波函數 ? 所描述的狀態(tài)，動量是否為本征態(tài)力學量。 ? 非本征態(tài)力學量沒有確定值，只能求其平均值。為適應原子周圍勢場變化，原子軌道通過線性組合所得到的雜化軌道（ 等）也是該原子中電子可能存在的狀態(tài)。這個本征態(tài)對應的本征值，就是該狀態(tài)的能量。 ?aaxaaxadxd ?????? )e xp()e xp( 2a?)e x p ( axa ???22dxd?2222)e xp ()e xp ( aaxaaaxadxd????2a ? 例 3 函數 和 均是算符 ? 的本征函數，本征值分別是多少？ ? 解： ? 本征值為 3. 221 xxe ? 221 xe? )( 222xdxd ??222222222222121321321212132122121321222122232)()(xxxxxxxxxxxxeexexxexeexexedxdexxedxdxexdxd????????????????????????? ? 本征值為 1. 222222222212122122121221212212221222)()(xxxxxxxxxeexexeexxedxdexedxdexdxd??????????????????????? 厄米算符的本征值一定為實數 ? ，兩邊取復共軛，得， ? ，由此二式可得： ? ? 和 ? 由厄米算符定義式可知： ? ?? aA ?????? ? ?? aA?? ? ?? ? ?????? dadA?? ? ???? ? ?????? dadA )?(? ? ?? ? ?????? dada *? 所以 ， ， 為實數。 ? 例 1 函數 是算符 的本征函數，求本征值。 A?A?? ? ? ??? ?? ????????? dAdAdA )?()?(?? ? ??? ?? ????????? dAdAdA *122121 )?()?(?? 例如， ? 所以 算符是厄米算符。 ? 角動量算符： VTE ??VmhVTEH ??????? 2228?????H?kyPxPjxPzPizPyPPPPzyxkjiPrMxyzxyzzyx?????????)()()( ?????????? 所以 yzx zPyPM ?? zxy xPzPM ??xyz yPxPM ??)(?????xyyxiPyPxM xyz????????? ?)(?????yzzyiPzPyM yzx????????? ?)(?????zxxziPxPzM zxy????????? ?? 角動量平方算符為 ? 線性算符 ? 如果 和 是任意兩個函數，算符 滿足 ? 則稱 算符為線性算符。 ? ⑵ 動量的三個分量算符形式為 xx ?? yy ?? zz ?? tt ??xiPx ???? ??yiPy ???? ??ziPz ???? ??? ⑶ 其它力學量算符由時、空坐標算符和動量分量算符導出。體系的每個可觀測的力學量和一個算符相對應。 ? ? 0* ??? d