【正文】 ])。 else disp([num2str(Err_pos(i)),39。 th message is decoded right39。)。ylabel(39。碼序 39。)。%規(guī)定范圍 title(39。 stem(Disp_RS_dec data)。)。ylabel(39。碼序↑↑↑↑ 39。)。%規(guī)定范圍 title(39。 stem(Disp_RS_dec)。%給出現(xiàn)突發(fā)數(shù)據(jù)錯誤的位置賦予突發(fā)數(shù)據(jù)錯 誤 end hold off %畫 RS(255,223)解碼后的波形圖 subplot(2,3,3)。:diamondr39。)。ylabel(39。碼序39。)。%規(guī)定范圍 title(39。 stem(Disp_RS_Recv)。%示意 %畫 RS編碼經(jīng)過信道噪聲加成后接收到的信息圖 subplot(2,3,6)。隨機(jī)信道噪聲↓↓↓↓ 39。)。xlabel(39。 個 隨 機(jī) 信 道 噪 聲 39。%信源編碼圖 axis([2 257 2 257])。:diamondr39。 Disp_RS_Errors = gf_double(Errors)。)。ylabel(39。碼序 39。)。%規(guī)定范圍 title(39。數(shù)據(jù)域的轉(zhuǎn)換 stem(Disp_RS_Code)。 Disp_RS_Code = gf_double(Code)。)。ylabel(39。碼序↓↓↓↓ 39。)。%規(guī)定范圍 title(39。 stem(data)。 % 解碼 use RS decoder umerr 是一個列向量，記載了每一行糾正的錯誤數(shù)， 1表示糾錯失敗 %% 驗證正確性。 rsdec 函數(shù)進(jìn)行解碼 Recv = Code + Errors。 end end end Errors = gf(Error,m)。 else for j = 1 : length(Errs) Error(Err_pos(j)) = Errs(j)。超出數(shù)據(jù)范圍 ,請重新輸入，請重新運(yùn)行程序 39。])。 while(1) if(length(Errs) ~= Err_cut_t)%如果長度不相等 Errs = input([39。 Error = zeros(1,255)。請在對應(yīng)錯位位置輸入錯誤 Err_cut_t 個的數(shù)據(jù)Errs = [?? ]:39。 else break。超出數(shù)據(jù)范圍 ,請重新輸入，請重新運(yùn)行程序 39。])。 while(1) if(length(Err_pos) ~= Err_cut_t)%如果長度不相等 Err_pos = input([39。個不重復(fù)隨機(jī)位置錯誤向量 Err_pos = [?? ]::39。請輸入 39。個突發(fā)錯誤 39。 return。個錯誤，請重新運(yùn)行程序 39。不能正確糾錯 39。)。 else 22 %% 數(shù)據(jù)輸入 Err_cut_t = input(39。 for j = 1 : Err_cut_t Error(Err_pos(j)) = Errs(j)。%隨機(jī)構(gòu)建 Err_cut_t 個數(shù)據(jù)突發(fā)錯誤， Error = zeros(1,255)。%隨機(jī)構(gòu)建 0~18 個隨機(jī)生成的錯誤，RS(255,223)可以糾正 (nk)/2=16 個隨機(jī)位置錯誤 Err_pos = randperm(223,Err_cut_t)。)。使用 RS(255, 223)編碼 %code = GF(2^8) array. 特 征 多 項 式 Primitive polynomial = D^8+D^4+D^3+D^2+1 x = input(39。 % 生成伽羅華域，限定 msg 信息的運(yùn)算范圍，所有關(guān)于msg 的運(yùn)算都將進(jìn)行 mod(2^m)運(yùn)算、 Code = rsenc(msg,n,k)。 %定義編碼長度 RS(n, k) = RS(2^m 1, k) = RS(255, 223) data = ceil(255*rand(1, 223))。 % GF(2^m) = GF(2^8)伽羅瓦域 n = 2^m1。 clear。 可以預(yù)見，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和研究的深入，糾錯碼理論將進(jìn)一步地發(fā)展，必將得到更廣泛的應(yīng)用。 還有從功能實現(xiàn)和性能的角度來看，本設(shè)計還有較大的改進(jìn)空間。隨著對 RS 碼研究的深入，新算法也層出不 窮，設(shè)計高效的算法必將大幅度提升系統(tǒng)的性能、提高處理速度和減少對軟硬件資源的占用。 本文詳細(xì)介紹了糾錯碼的相關(guān)理論，包括編碼定理、有限域運(yùn)算法則、 BCH 碼、 RS 碼的基礎(chǔ)知識，還介紹了 RS 碼的譯碼， 為 后續(xù) MATLAB 仿真 奠定了本論文的理論基礎(chǔ)。 7 總結(jié) 我國的航天事業(yè)正處于蓬勃發(fā)展的階段，月球探測等今后的重大項目都對數(shù)據(jù)的傳輸提出了越來越高的要求，高速的數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)必將得到更多的推廣。 % 解碼 use RS decoder umerr 是一個列向量，記載了每一行糾正的錯誤數(shù)， 1表示糾錯失敗 %% 驗證正確性。 rsdec 函數(shù)進(jìn)行解碼 Recv = Code + Errors。%給出現(xiàn)突發(fā)數(shù)據(jù)錯誤的位置賦予突發(fā)數(shù)據(jù)錯誤 end Errors = gf(Error,m)。%全零信道誤碼，即無信道誤 碼。 %隨機(jī)生成 Err_cut_t 個不重復(fù)位置錯誤 Errs = ceil(255*rand(1, Err_cut_t))。使用 RS(255, 223)編碼 %code = GF(2^8) array. 特 征 多 項 式 Primitive polynomial = D^8+D^4+D^3+D^2+1 %% 構(gòu)建 0~18 個隨機(jī)生成的隨機(jī)信道誤碼， RS(255,223)可 以糾正 (nk)/2=16個隨機(jī)位置錯誤 Err_cut_t = round(18 * rand(1))。 % 生成伽羅華域，限定 msg 信息的運(yùn)算范圍，所有關(guān)于msg 的運(yùn)算都將進(jìn)行 mod(2^m)運(yùn)算、 Code = rsenc(msg,n,k)。 %定義編碼長度 RS(n, k) = RS(2^m 1, k) = RS(255, 223) data = ceil(255*rand(1, 223))。 % GF(2^m) = GF(2^8)伽羅瓦域 n = 2^m1。 clear。 } } } 至此 ， RS 編碼解碼的代數(shù)基礎(chǔ)、編碼理論及方法，解碼理論及方法均已介紹完畢，下面利用 MATLAB 進(jìn)行仿真。jjx v x vx r x v?? ?? for(i = 0 to n1) if( ( ) 0i??? ?? ) 39。 else { ( ) ( ) / (0 )。 else { //用 歐幾里得算法解關(guān)鍵方程 2[ ( ) , ( ) ] E u c l id [ , ( ) , , 1 ]tjjv x r x x S x t t??。// [1,2]jt? 16 2110()t iiiS x s x?????。由于 BCH 碼的簡單性，無需用到 ()x? 。 因為 ( ) (1 )iiIxx??????，所以 (0) 1? ? ，從而歸一化是必須的 。 for(i = 0 to n1) if( ( ) 0i??? ?? ) 1ie? else 0ie? for(i = 0 to n1) ^i i ic r e?? printf(接收 到的碼字為： ^ ^ ^0 1 1, nc c c ?… , )。 if( (0) 0jv ?? ) printf(誤碼 超出了糾錯能力 t， 不可 解碼 )。 if( ( ) 0Sx?? ) printf(接收 碼字正確，無誤碼 )。 首先 用 C 語言 偽代碼 說明 BCH 碼的時域解碼算法，如下所示： /*二元域 BCH 碼的屬于解碼算法 */ /*碼長 n， 設(shè)計糾錯能力 t，接收向量 R， 錯誤圖案向量 E，解碼碼字向量 ^C */ { 15 for(j = 1 to 2t) 10n ijjiisr?????。 ()()iii vii ivve ???? ????? ? ?，亦即39。 而 對于多元 域上的 RS 碼， ie 是多元 域 元素，還需要進(jìn)一步求出。 所以 ， 如果 ( ) 0i??? ? ，說明第 i 個位置上的接收向量 ir ，存在誤碼 ， 否則第 i 個 位置上的接收向量 ir 是 正確的 。求出 ()Ex 后 ，解碼碼 字 向量 ^C R E?? 時域 算法的本質(zhì)就是對錯誤位置多項式 ()x? 進(jìn)行驗根 。 BCH/RS 碼的解碼步驟 有了關(guān)鍵 方程和歐幾里得抽象函數(shù)，討論 BCH/RS 解碼的步驟就 水到渠成 了。那么 存在且 唯一存在標(biāo)號 , [0, 1]j j n??使得 ( ) ( ) ( ) m od ( )jjv x b x r x a x? 用一個 歐幾里得抽象函數(shù) [ ( ) , ( ) ] E u c l id[ ( ) , ( ) , , ]jjv x r x a x b x m n? 表示上述結(jié)果。 14 這里 ， {deg( ( ))}kux 是單調(diào)遞增函數(shù)，而 {deg( ( ))}kvx 也是 單調(diào) 遞增函數(shù)。k k k ku x u x q x u x???? 21( ) ( ) ( ) 。 ( ) 0 , ( x) 1 。 用 歐幾里得算法可以求得 (x), (x)uv。 多項式上 的歐幾里得算法 給定兩個 有限域 F 上的兩個多項式 ( ), ( ),a x b x 可以用歐幾里得 除法 得到其最大公 約數(shù) ( ) gcd( ( ), ( ))d x a x b x? ， 并求得 (x), (x)uv，滿足( ) ( ) ( ) ( ) ( )d x u x a x v x b x?? 歐幾里得除法求 gcd( ( ), ( ))a x b x 的 步驟如下： 第一步 ：不失一般性，假設(shè) deg( ( )) deg( ( ))a x b x? 且令 10( ) , ( ) , 1r a x r b x k? ? ? ? ? 第二步： 用 1()krx? 除以 ()krx，得到其商數(shù) 2()kqx? 和余數(shù) 2()krx? ， 亦即 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )k k k kr x q x r x r x? ? ??? 第三步 ：如果 2( ) 0krx? ? ，停止運(yùn)算， 1( ) gc d( , ) ( )kd x a b r x???，并記 1nk??；否則1kk??，轉(zhuǎn)第二 步 。 求解 的 關(guān)鍵算法是歐幾里得算法 。 t是 BCH/RS 碼的設(shè)計糾錯能力。記 伴隨式 多項式 10()n ijiiS x r????? 解碼 算法的目的是已知伴隨式向量 S 求錯誤圖案向量 E，從而得到解碼向量^C R E?? ，由于只是知道頻域向量 ^()Vx的前 2t個分量， 需要用 2mod tx 對關(guān)鍵方程降次^ 22( ) ( ) m o d ( ) ( 1 ) m o dt n tvvx V x x x x x?? ??。 定理 關(guān)鍵 方程：對于固定的向量 V，多項式 ()v x? ， ()v x? 和 ^()Vx滿足一下 關(guān)鍵 方程 ^( ) ( ) ( ) (1 )nvvx V x x x???? 有了 上述的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，就可以引入 BCH/RS 碼的 關(guān)鍵 方程了 。最后 ， 定義 V 的數(shù)值多項式()( ) , ( ) ( )iv v i viIx x v x? ? ??? ?。在定義 V的位置多項式 ( ) , ( ) (1 )ivv iIx x x? ? ??