【正文】 譯碼增益會更大。 這些譯碼算法各有千秋，就實用性而言， GMD 算法、 ChaseII 算法和 KoetterVardy算法略勝一籌。 定義 對于 GF(q)上 的每個非零元素 ? ，存在最小 整數(shù) k,使 1k?? 成立 ，則稱為 k階元素 。具有 相同 最小多項式的元素，構成同一共軛系 。 用 歐幾里得算法可以求得 A、 B，沿用上述除法得到 {}ka 的和 n，其方法如下： 第一步 ：令 10 , 1, k 1nnb b n?? ? ? ? 第二步 ：計算 11k k k kb a b b??? ? ? 第三步： 如果 0k? ，停止運算，此時 01,A b B b???,否則 1kk??轉 第二 步 事實 上 ， 11, ( , ) , ( , )k k k kk a b b r b r A B??? ? ?只是其中的一個特例。 如果 BCH 碼的根是本原元，成為本原 BCH 碼 。另外 ， 實際的糾錯能力 t，可能會大于設計糾錯能力的 t. 同理 ， 如果 定義在 ? ?2mGF 上 的 非 本原元 ? 以及 2 3 2t? ? ?、 、 … 、 共 2t個連續(xù)冪次都是定義在 ? ?2GF 上的生成多項式 g()x 的根，那么該 BCH 碼成為設計糾錯能力為 t 的二元 非 本原 BCH碼。 而 RS的編碼是在多元域 ? ?mGF p 上 完成 的 （ p 是 質(zhì)數(shù)） ， 對 符號 進行編碼，因為 RS碼又被視為 多元域上 的本原 BCH 碼。 11 第三步 ：已知生成多項式 ()gx， 根據(jù)關系式 ( ) ( ) ( )C x M x g x? ，對信息 位 ()Mx多項式編碼得到碼 字 多項式 ()Cx，這就完成了 RS碼 的編碼過程。 例如 ，對于信息輸入比特序列 {100,101,010}， 首先根據(jù)表格 ? 的 各次冪將序列映射為 ? ?32GF 上 的序列 { 26? ? ?,}， 則其信息 位 多項式 2 2 6()M x x x? ? ?? ? ?。 表格 ? 的 各次冪 即約 多項式 3重 向量 0 000 1 001 ? 010 2? 100 3 1???? 011 42? ? ??? 110 52 1? ? ?? ? ? 111 621???? 101 RS碼是糾正短突發(fā)差錯的首選糾錯碼，廣泛應用于無線通信的存儲系統(tǒng)中。在 BCH/RS 碼的解碼算法的發(fā)展歷史上， 彼得森 （ Peterson)于 1960年提出了第一個 BCH的解碼算法。具體解碼又可以分為時域解碼和頻域解碼。 易知 ( 1) modn p p?? ， 所以 1( 1) * 1 m o dppn?? ，根據(jù)歐幾里得算法有1 ( 1) modppn ?? 。對于 iI? ，再 定義 i階穿孔位置多項式( ) ( )( ) , ( ) (1 ) / (1 )i i j ivvjIx x x x? ? ? ??? ? ??。 設 編碼 向量為0 1 1{ , , }nC c c c ?? … , ，信道 錯誤 圖案為向量 0 1 1{ , , }nE e e e ?? … , ，那么接收向量 R C E?? ， 13 解碼的第一步是計算 伴隨式 向量 0 1 1{ , , }nS s s s ?? … , ,S 的 定義如下 10 , [1, 2 ]n ijjiis r j t?????? 那么 ， 1 1 10 0 0n n nij ij ijj i i ii i is c e e? ? ?? ? ?? ? ????? ? ? 令 時域向量 10 1 1( ) { , , , }nnV x e e e?? ??? …， 那么易知，伴隨式向量 S 與頻域向量 ^V 滿足關系 ^ 1 , [0, 2 1]i iv s i t?? ? ?，亦即，伴隨式向量 S是 ^V 的錢 2t 個分量，這是可以直接觀測到的，而 ^V 的后（ n2t） 個分量不能直接觀測到。 多項式 的歐幾里得算法 BCH 解碼 的目標是已知 ()Sx ，通過求解關鍵方程 2( ) ( ) ( ) m od tx S x x x??? ，得到 ()x?和 ()x? ， 進而 求出 ()Ex。 歐幾里得 處理又被成為輾轉相除法，這里 {deg( )}kr 是單調(diào)下降序列。 1u x u x v x v k? ? ? ? ? ? 第二步 ：計算 21( ) ( ) ( ) ( ) 。容易 得到以 下兩條性質(zhì)： 1( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , [ 1 , 1 ]( 2 ) d e g ( ( ) ) d e g ( ( ) ) d e g ( ( ) ) , [ 0 , 1 ]k k kkku x a x v x b x r x k nv x r x a x k n?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 從而 推出以下性質(zhì)： ( 1 ) ( ) ( ) ( ) m o d ( ) , [ 1 , 1 ]( 2 ) d e g ( ( ) ) d e g ( ( ) ) d e g ( ( ) ) , [ 0 , 1 ]kkkkv x b x r x a x k nv x r x a x k n? ? ? ? ?? ? ? ? ? 進一步 有如下定理： 定理 設 ( ), ( ),a x b x (x)v 和 (x)r 是非零多項式， nm、 是非零 負整數(shù) ，deg( ( )) deg( ( ))a x b x? 滿足： ( ) ( ) ( ) m od ( )v x b x r x a x? deg( ( ))v x m? deg( ( )r x n? de g( ( )) 1m n a x? ? ? 進一步 假設 ()kvx和 ( )( [ 1, 1])kr x k n? ? ?是對 ( ( ), ( ))a x b x 應用歐幾里得算法得到的多項式序列。假設 已經(jīng) 求得了錯誤位置多項式 ()x? 和錯誤數(shù)值多項式 ()x? ，為了求差錯圖案多項式 ()Ex ，有 時域和頻域處理兩種方法。對于 二元域 BCH碼， {0,1}ie? 比較簡單 ，如果 ( ) 0i??? ? ，那么 1ie? ， 否則 0ie? 。()()ii ie ????????，否則 0ie? 。 else { //用 歐幾里得算法解關鍵方程 2[ ( ) , ( ) ] E u c l id [ , ( ) , , 1 ]tjjv x r x x S x t t??。 } } } 解碼 中需要歸一化 ( ) ( ) / (0)jjx v x v? ? 。下面 說明 RS碼的解碼算法，如下所示： /*RS 解碼算法 */ /*碼長 n， 設計糾錯能力 t，接收向量 R， 錯誤圖案向量 E，解碼碼字向量 ^C */ { for(j = 1 to 2t) 10n ijjiisr?????。 if( (0) 0jv ?? ) printf(誤碼 超出了糾錯能力 t， 不可 解碼 )。()()ii ie ???????? else 0ie? for(i = 0 to n1) ^i i ic r e?? printf(接收 到的碼字為： ^ ^ ^0 1 1, nc c c ?… , )。 m = 8。 % 構建 1 個隨機生成的數(shù)據(jù)包數(shù)據(jù)范圍 17 0~255，共 223 個數(shù)據(jù) msg = gf(data,m)。%隨機構建 0~18 個隨機生成的錯誤，RS(255,223)可以糾正 (nk)/2=16 個隨機位置錯誤 Err_pos = randperm(223,Err_cut_t)。 for j = 1 : Err_cut_t Error(Err_pos(j)) = Errs(j)。 % 二進制模 2^m 加，在伽羅華域中運算，所有大于255 的數(shù)都將進行模運算 R = E + C [dec,umerr] = rsdec(Recv,n,k)。本課題中 RS(255,223)譯碼器仿真對以后的航天項目中的地面高速接收系統(tǒng)的設計和星上數(shù)據(jù)接收系統(tǒng)的設計均有著很大的意義。因此如何設計高效的算法將是以后的努力方向。 19 致 謝 在本次課設中，自己復習 了有關 MATLAB 程序 和信息論相關理論知識， 在 之前《信號與系統(tǒng)》與《數(shù)字信號處理》的 實驗 課程中初步學習了有關 MATLAB 軟件對于信號仿真與分析中 的 應用， RS 碼作為 現(xiàn)代通信 領域 的 熱點，首先自己有一定的興趣去學習，在所翻閱的資料中 ， 有了關于 RS 碼的較為詳盡的介紹與應用舉例，在此對這些論著與文獻的 作者 表示感謝，接著感謝在 此次 課設中給予我?guī)椭耐瑢W 們 ，對于 MATLAB 軟件操作自己開始有一些 的生疏 給予了 指導，最后 感謝此次的指導老師熬珺老師在自己學習過程中所遇困惑給予的解答與幫助， 作為 通信專業(yè)的畢業(yè)生，在大四 的課設 中接觸到一些應用性較強的前沿知識，自己得到了鍛煉 ， 對于以后走向工作崗位有很大的幫助，老師嚴謹?shù)膶W術態(tài)度與本著對學生負責的想法 令人 敬佩 ， 本次 課設自己 以 認真的態(tài)度 和花費較多的時間與精力完成，如有不足之處，望老師給予指教 與 包涵，謝謝！ 20 參考 文獻 [1] [美 ] Robert ,李斗 等 譯 《信息論 與編碼理論》 第二版 [2] 沈 世 鎰、 陳 魯 生 《信息論 與編碼理論》 [3] [美 ]Ranjan Bose 武 傳坤譯《 信息論 、編碼與密碼學》 [4] [美 ]Robert 張立軍 譯 《糾錯 編碼的藝術》 [5] 吳湛擊 著 王文博 審 《 現(xiàn)代 糾錯編碼與調(diào)制理論及應用》 [6] 宋文俊 華東 師 范大學碩士學位 論文 《 RS碼的譯碼研究》 [7] 石俊峰 中國 科學院研究生院碩士學位論文《 RS(255,223)譯碼器 的 FPGA實現(xiàn)及其性能測試》 [8] 徐 朝軍 西安電子科技大學 博士學位論文《 RS碼譯碼算法及其實現(xiàn)的研究》 21 附 錄 MATLAB 仿真 程序： %% 信源編碼 clc。 k = 223。 % 在伽羅瓦域內(nèi)對 msg 進行編碼。 if(x == 0) %% 構建 0~18 個隨機生成的隨機信道誤碼， RS(255,223)可以糾正(nk)/2=16 個隨機位置錯誤 Err_cut_t = round(16 * rand(1))。%全零信道誤碼，即無信道誤碼。請 輸入 Err_cut_t 個 突 發(fā)隨 機錯 誤 個數(shù) ，RS(255,223)只能糾錯 16個以內(nèi)的編碼！ ::39。 num2str(Err_cut_t) 39。 else display([num2str(Err_cut_t) 39。 num2str(Err_cut_t) 39。輸入數(shù)據(jù)長度不匹配，請重新輸入 39。) return。)。輸入數(shù)據(jù)長度不匹配，請重新輸入 39。) return。 end %信道噪聲加入完畢，下面進行解碼 %% Recv 為接收到的信號。 %畫信源圖 subplot(2,3,1)。信源， 223 個符號 39。)。%示意 %畫 RS編碼后的編碼圖 subplot(2,3,4)。%信源編碼圖 24 axis([2 257 2 257])。xlabel(39。碼元39。 stem(Disp_RS_Errors,39。%規(guī)定范圍 title([num2str(Err_cut_t),39。 碼序39。)。%信源編碼圖 axis([2 257 2 257])。xlabel(39。碼元↓↓↓↓ 39。)。%信源編碼圖 axis([2 225 2 257])。xlabel(39。碼元 39。 axis([2 225 2 257])。xlabel(39。差值 39。])。 end end