【正文】 （Ⅱ） a 為何值時(shí)，該方程組有唯一解，并求 1x ； （Ⅲ） a 為何值時(shí)，方程組有無窮多解，并求通解。 （ Ⅰ ）求參數(shù) ? 的矩估計(jì)量 ? ； （ Ⅱ ）判斷 24X 是否為 2? 的無偏估計(jì)量，并說明理由 。 （ 24）（本題滿分 11 分） 設(shè)總體 X 的概率密度為 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 57 1 0,21( 。 （ Ⅰ ）驗(yàn)證 1? 是矩陣 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值與特征向量； （ Ⅱ ）求矩陣 B。 （ 22）（本題滿分 11 分） 設(shè) 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的特征值 1 2 3 11 , 2 , 2 , (1 , 1 , 1 ) T? ? ? ?? ? ? ? ? ?是 A 的屬于 1? 的一個(gè)特征向量。 （ 20）（本題滿分 10分） 將函數(shù)2 1() 34fx xx? ??展開成 1x? 的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間。39。39。 （ 18）（本題滿分 11 分） 設(shè)二元函數(shù) 222. 1 .( , ) 1 , 1 2 .x x yf x y xyxy? ???? ? ? ? ?? ?? 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 55 計(jì)算二重積分 ( , ) .D f x y d???其中 ? ?( , ) 2D x y x y? ? ?。(0)f 存在 （ D）若0 ( ) ( )limx f x f xx? ??存在，則 39。 （ Ⅰ ）求 ? 的矩估計(jì)； （ Ⅱ ）求 ? 的最大似然估計(jì)。 （ 23）（本題滿分 13分） 設(shè)總體 X 的概率密度為 ? ?, 0 1,。 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 51 （ 22）（本題滿分 13分） 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 ? ?1 , 1 021 , 0 240,Xxf x x? ? ? ????? ? ??????　 其 他， 令 ? ?2 ,Y X F x y? 為二維隨機(jī)變量 ( , )XY 的分布函數(shù)。 （ 21）（本題滿 分 13分） 設(shè) 3階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的各行元素之和均為 3，向量 ? ? ? ?TT121 , 2 , 1 , 0 , 1 , 1??? ? ? ? ?是線性方程組 0Ax? 的兩個(gè)解。 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 50 （ 19）（本題滿分 10分） 求冪級(jí)數(shù) ? ?? ?1 2111 21n nnxnn? ???? ?? 的收斂域及和函數(shù) ()sx 。 （ 17）（本題滿分 10分） 證明：當(dāng) 0 ab?? ? ? 時(shí)， s i n 2 c o s s i n 2 c o sb b b b a a a a??? ? ? ? ? （ 18）（本題滿分 8 分） 在 xOy 坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線 L 過點(diǎn) ? ?1,0M ，其上任意點(diǎn) ? ?? ?,0P x y x? 處的切線斜率與直線 OP 的斜率之差等于 ax （常數(shù) 0a ）。,0 , .xFx xx??????? ????? ??? ? ????? 其中參數(shù) 0, 1????. 設(shè) 12, , , nX X X 為來自總體 X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 . （ Ⅰ ）當(dāng) 1?? 時(shí)，求未知參數(shù) ? 的矩估計(jì)量； （ Ⅱ ）當(dāng) 1?? 時(shí)，求未知參數(shù) ? 的最大似然估計(jì)量； （ Ⅲ）當(dāng) 2?? 時(shí)，求未知參數(shù) ? 的最大似然估計(jì)量 . 2020 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考 試 數(shù)學(xué)三試題 一、填空題：本題共 6小題，每小題 4分，滿分 24分 . 請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上 . 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 41 (1) 極限22lim sin 1x xx x?? ??______. (2) 微分方程 0xy y???滿足初始條件 ??12y ? 的特解為 ______. (3) 設(shè)二元函數(shù) ? ? ? ?1 ln 1xyz xe x y?? ? ? ?，則 ? ?1,0dz ?______. (4) 設(shè)行向量組 ? ? ? ? ? ? ? ?2 ,1 ,1 ,1 , 2 ,1 , , , 3 , 2 ,1 , , 4 , 3 , 2 ,1a a a線性相關(guān)，且 1a? ，則a? ______. (5) 從數(shù) 1,2,3,4 中任取一個(gè)數(shù)，記為 X ，再從 1, ,X 中任取一個(gè)數(shù)，記為 Y ，則 ? ?2PY??______. (6) 設(shè)二維隨機(jī)變量 ? ?,XY 的概率分布為 X Y 0 1 0 a 1 b 若隨機(jī)事件 ? ?0X? 與 ? ?1XY?? 相互獨(dú)立，則 a? ______， b? ______. 二、選擇題：本題共 8 小題，每小題 4 分，滿分 24 分 . 在每小題給出的四個(gè) 選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求， 請(qǐng)把所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上 . (7) 當(dāng) a 取下列哪個(gè)值時(shí)，函數(shù) ? ? 322 9 1 2f x x x x a? ? ? ?恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn) . （ A） 2 （ B） 4 （ C） 6 （ D） 8 (8) 設(shè) ? ? ? ? 22 2 2 2 2 21 2 3c o s , c o s , c o sD D DI x y d I x y d I x y d? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? ??，其中 ? ?? ?22,1D x y x y? ? ?，則 （ A） 3 2 1I I I?? （ B） 1 2 3I I I?? （ C） 213I I I?? （ D） 3 1 2I I I?? (9) 設(shè) 0, 1, 2, ,nan?? 若1 nn a???發(fā)散， ? ? 11 1n nn a? ?? ??收斂，則下列結(jié)論正確的是 （ A）211 nn a????收斂，21 nn a???發(fā)散 （ B）21 nn a???收斂，211 nn a????發(fā)散 （ C） ? ?2 1 21 nnn aa??? ??收斂 （ D） ? ?2 1 21 nnn aa??? ??收斂 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 42 (10) 設(shè) ? ? sin co sf x x x x??，下列命題中正確的是 （ A） ??0f 是極大值，2f ???????是極小值 （ B） ??0f 是極小值 ，2f ???????是極大值 （ C） ??0f 是極大值，2f ???????也是極大值 （ D） ??0f 是極小值，2f ???????也是極小值 (11) 以下四個(gè)命題中，正確的是 （ A）若 ??fx? 在 ? ?0,1 內(nèi)連續(xù)，則 ??fx在 ? ?0,1 內(nèi)有界 （ B）若 ??fx在 ? ?0,1 內(nèi)連續(xù)，則 ??fx在 ? ?0,1 內(nèi)有界 （ C）若 ??fx? 在 ? ?0,1 內(nèi)有界，則 ??fx在 ? ?0,1 內(nèi)有界 （ D）若 ??fx在 ? ?0,1 內(nèi)有界，則 ??fx? 在 ? ?0,1 內(nèi)有界 (12) 設(shè)矩陣 ? ?33ijAa??滿足 * TAA? ，其中 *A 為 A 的伴隨矩陣， TA 為 A 的轉(zhuǎn)置矩陣 . 若 11 12 13,a a a 為三個(gè)相等的正數(shù)，則 11a 為 （ A） 33 （ B） 3 （ C） 13 （ D） 3 (13) 設(shè) 12,??是矩陣 A 的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 12,??，則 ? ?1 1 2, A? ? ?? 線性無關(guān)的充分必要條件是 （ A） 1 0?? （ B） 2 0?? （ C） 1 0?? （ D） 2 0?? (14)（注：該題已經(jīng)不在數(shù)三考綱范圍內(nèi)） 三、解答題：本 題共 9 小題，滿分 94 分 . 請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上 . 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . （ 15）（本題滿分 8 分） 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 43 求011lim 1 xxxex???????????. （ 16）（本題滿分 8 分） 設(shè) ??fu具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 ? ?, yxg x y f yfxy?????? ?????? ??，求 2222ggxyxy???. （ 17）（本題滿分 9 分） 計(jì)算二重積分221D x y d?????，其中 ? ?? ?, 0 1 , 0 1D x y x y? ? ? ? ?. （ 18）（本題滿分 9 分） 求冪級(jí)數(shù) 211 121 nn xn??????????? 在區(qū)間 ? ?1,1? 內(nèi)的和函數(shù) ??Sx. （ 19）（本題滿分 8 分） 設(shè) ? ? ? ?,f x g x 在 ? ?0,1 上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且 ? ? ? ? ? ?0 0 , 0 , 0f f x g x??? ? ?.證明：對(duì)任何 ? ?0,1?? ，有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?100 1a g x f x dx f x g x dx f a g?????? 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 44 （ 20）（本題滿分 13分） 已知齊次線性方程組 （?。?1 2 31 2 31 2 32 3 0,2 3 5 0,0,x x xx x xx x ax? ? ???? ? ???? ? ?? 和 （ⅱ） ? ?1 2 321 2 30,2 1 0 ,x bx cxx b x c x? ? ????? ? ? ??? 同解，求 ,abc的值 . （ 21）（本題滿分 13分） 設(shè)TACD CB???????為正定矩陣，其中 ,AB分別為 m 階， n 階對(duì)稱矩陣， C 為 mn? 階矩陣 . （ Ⅰ ）計(jì)算 TPDP ，其中 1mnE A CP OE????? ????； （ Ⅱ ）利用（ Ⅰ ）的結(jié)果判斷矩陣 1TB C A C?? 是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論 . 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 45 （ 22）（本題滿分 13分） 設(shè)二維隨機(jī)變量 ? ?,XY 的概率密度為 ? ? 0 , 0 1 , 0 2 , 1, x y xf x y ? ? ? ??? ?? 其 它 . 求：（ Ⅰ ） ? ?,XY 的邊緣概率密度 ? ? ? ?,XYf x f y ； （ Ⅱ ） 2Z X Y??的概率密度 ??Zfz； （ Ⅲ ） 1122P Y X????????. （ 23）（本題滿分 13分） 設(shè) ? ?12, , , 2nX X X n ?為來自總體 ? ?20,N ? 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其樣本均值為 X ，記 , 1, 2 , ,iiY X X i n? ? ?. （ Ⅰ ）求 iY 的方差 , 1, 2, ,iDY i n? ； （ Ⅱ ）求 1Y 與 nY 的協(xié)方差 ? ?1, nCov Y Y ； （ Ⅲ ）若 ? ?21 nc Y Y? 是 2? 的無偏估計(jì)量，求常數(shù) c . 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 46 2020 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、填空題： 1－ 6小題，每小題 4分，共 24分 . 把答案填在題中橫線上 . (1) ? ?11lim ______ .nnn n ?????? ????? (2) 設(shè)函數(shù) ()fx在 2x? 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 ? ? ? ?efxfx? ? ， ? ?21f ? ，則? ?2 ??? ? (3) 設(shè)函數(shù) ()fu 可微，且 ? ? 10 2f? ? ，則 ? ?224z f x y??在點(diǎn) (1,