【正文】 回顧過去篇（19872014）1987年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,)(1)當(dāng)=_____________時,函數(shù)取得極小值.(2)由曲線與兩直線及所圍成的平面圖形的面積是_____________.(3)與兩直線 及都平行且過原點(diǎn)的平面方程為_____________. (4)設(shè)為取正向的圓周則曲線積分= _____________.(5)已知三維向量空間的基底為則向量在此基底下的坐標(biāo)是_____________.二、(本題滿分8分)求正的常數(shù)與使等式成立.三、(本題滿分7分)(1)設(shè)、為連續(xù)可微函數(shù)求(2)設(shè)矩陣和滿足關(guān)系式其中求矩陣四、(本題滿分8分)求微分方程的通解,其中常數(shù)五、選擇題(本題共4小題,每小題3分,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)則在處(A)的導(dǎo)數(shù)存在,且 (B)取得極大值 (C)取得極小值 (D)的導(dǎo)數(shù)不存在(2)設(shè)為已知連續(xù)函數(shù)其中則的值(A)依賴于和 (B)依賴于、和(C)依賴于、,不依賴于 (D)依賴于,不依賴于(3)設(shè)常數(shù)則級數(shù)(A)發(fā)散 (B)絕對收斂 (C)條件收斂 (D)散斂性與的取值有關(guān) (4)設(shè)為階方陣，且的行列式而是的伴隨矩陣，則等于(A) (B)(C) (D) 六、（本題滿分10分）求冪級數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù). 七、（本題滿分10分）求曲面積分其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面,其法向量與軸正向的夾角恒大于 八、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可微,對于上的每一個函數(shù)的值都在開區(qū)間內(nèi),且1,證明在內(nèi)有且僅有一個使得九、（本題滿分8分）問為何值時,現(xiàn)線性方程組有唯一解,無解,有無窮多解?并求出有無窮多解時的通解.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,)(1)設(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為現(xiàn)進(jìn)行次獨(dú)立試驗(yàn),則至少發(fā)生一次的概率為____________。由于為離散型隨機(jī)變量，則由全概率公式可知（其中為的分布函數(shù)：）（23）（本題滿分11分）某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做次測量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)次測量結(jié)果相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布，該工程師記錄的是次測量的絕對誤差，利用估計（Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ）利用一階矩求的矩估計量；（Ⅲ）求的最大似然估計量。（22）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且的概率分布為，的概率密度為（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度。（21）（本題滿分11分）設(shè)在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為，求的值及一個正交矩陣。（Ⅱ）因?yàn)椋缘幕A(chǔ)解系中只有一個解向量，又，即，因此基礎(chǔ)解系的一個解向量為。【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）?！窘馕觥浚á瘢┑姆匠虨椋队暗狡矫嫔蠟椋á颍?，因此有。【解析】略（19）（本題滿分10分）設(shè)薄片型物體時圓錐面被柱面割下的有限部分，其上任一點(diǎn)的弧度為，記圓錐與柱面的交線為，（Ⅰ）求在平面上的投影曲線的方程；（Ⅱ）求的質(zhì)量?！敬鸢浮浚á瘢┳C：因?yàn)椋蓸O限的局部保號性知，存在，使得，而，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得。對關(guān)于再次求導(dǎo)得：，將代入可得當(dāng)時，時，代入可得，當(dāng)時，時，代入可得，因此有函數(shù)的極大值為，極小值為?！敬鸢浮繕O大值為，極小值為。（15）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。三、解答題： 15~23小題，共94分，請將解答寫在答題紙指定位置上。（14）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則=_________。（13）設(shè)矩陣，為線性無關(guān)的3維向量，則向量組的秩為_________。（12）冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)=_________。（11）若曲線積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，則=_________。（10）微分方程的通解為=_________。（9）已知函數(shù)，則=_________。A. 服從分布B. 服從分布C. 服從分布D. 服從分布【答案】B【解析】，故，因此，故，故B錯誤，由可得，則有，因此。A. B. C. D. 【答案】A【解析】由得，即，因此選擇A。，B與C相似B. A與C相似，B與C不相似C. A與C不相似，B與C相似D. A與C不相似，B與C不相似【答案】B【解析】A和B的特征值為2,2,1，但是A有三個線性無關(guān)的特征向量，而B只有兩個，所依A可對角化，B不可，因此選擇B。A. 不可逆B. 不可逆C. 不可逆D. 不可逆【答案】A【解析】因?yàn)榈奶卣髦禐?（n1重）和1，所以的特征值為1（n1重）和0，故不可逆。A. B. C. D. 【答案】C【解析】從0到時刻，甲乙的位移分別為與，由定積分的幾何意義可知，因此可知。【答案】D【解析】，因此代入可得，則有。A. B. C. D. 【答案】C【解析】令，則有，故單調(diào)遞增，則，即，即，故選擇C。A. B. C. D. 【答案】A【解析】由連續(xù)的定義可得，而，因此可得，故選擇A?！窘馕觥浚á瘢┳C：，因此有顯然收斂，因此絕對收斂.（Ⅱ）記，因此得，因?yàn)榧墧?shù)收斂，因此存在，因此存在，不妨設(shè)，由可得，兩邊取極限可得，即若，這與矛盾，若，與矛盾，因此可得，即.（20）（本題滿分11分）設(shè)矩陣.當(dāng)為何值時，方程無解、有唯一解、有無窮多解？在有解時，求解此方程.【答案】時，無解；時，有無窮多解，；且時，有唯一解，【解析】增廣矩陣為因此當(dāng)即且時，有唯一解；設(shè)，代入，解得當(dāng)代入設(shè)，因此可得，這兩個式子是矛盾的，因此方程組無解；當(dāng)代入，此時方程組有無窮多解，將代入可得，解得，不妨設(shè)為自由未知量，則可得（21）（本題滿分11分）已知矩陣（Ⅰ）求；（Ⅱ），將分別表示成的線性組合.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用相似對角化，由得到特征值為，當(dāng)時，代入中，求解方程組的解就是特征向量，即同理得到其他的兩個特征向量分別為：對應(yīng)的特征向量為，對應(yīng)的特征向量為，設(shè)，則有，因此可得，根據(jù)矩陣可以求得其逆矩陣為因此有（Ⅱ），因此可得、所以因此有（22）（本題滿分11分）設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布，令（Ⅰ）寫出的概率密度；（Ⅱ）問與是否相互獨(dú)立？并說明理解；（Ⅲ）求的分布函數(shù).【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）與不獨(dú)立，因?yàn)椋á螅┑姆植己瘮?shù)為：【解析】（Ⅰ）區(qū)域的面積為，因此服從均勻分布，因此有（Ⅱ）與不獨(dú)立因此，故不獨(dú)立.（Ⅲ）因此可得（23）（本題滿分11分）設(shè)總體的概率密度為，其中為未知參數(shù)，為總體的簡單隨機(jī)抽樣，令.（Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ）確定，使得為的無偏估計.【答案】（Ⅰ）的概率密度：（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，獨(dú)立同分布，因此可得當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，因此可得概率密度函數(shù)為：（Ⅱ），根據(jù)題意，如果為的無偏估計，則有，因此可得.2017年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上。將代入原式可得，因此將代入關(guān)于求導(dǎo)的式子可得：，因此，代入關(guān)于求導(dǎo)的式子可得：，因此有，故可得.（12）設(shè)函數(shù)，且，則________________.【答案】【解析】根據(jù)，可得：，然后求二階導(dǎo)數(shù)為：此時（存疑）（13）行列式________________.【答案】【解析】.（14）設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，樣本均值，.【答案】【解析】，因?yàn)椋?，因此可得，故可得置信區(qū)間為.三、解答題：15~23小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。A. 隨著的增加而增加B. 隨著的增加而增加C. 隨著的增加而減少D. 隨著的增加而減少【答案】B【解析】，因此選擇B，隨著的增加而增加.（8）隨機(jī)試驗(yàn)有三種兩兩不相容的結(jié)果，且三種結(jié)果發(fā)生的概率均為，將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)做2次，表示2次試驗(yàn)中結(jié)果發(fā)生的次數(shù)，表示2次試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)，則于的相關(guān)系數(shù)為（　）。A. 與相似B. 與相似C. 與相似D. 與相似【答案】C【解析】因?yàn)榕c相似，因此存在可逆矩陣，使得，于是有：，即，因此，因此，而C選項中，不一定等于，故C不正確，選擇C.（6）設(shè)二次型，則在空間直角坐標(biāo)系下表示的二次曲面為（?。?。A. B. C. D. 【答案】A【解析】將代入微分方程可得： 而將代入微分方程可得：將這兩個式子相加可得：兩個式子相減可得：因此可得故選擇A.（4）已知函數(shù)，則（?。?。A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】C【解析】，而當(dāng)時收斂，而此時不影響，而當(dāng)時收斂，此時不影響，因此選擇C.（2）已知函數(shù)，則的一個原函數(shù)是（?。v年考研數(shù)學(xué)一真題19872017（答案+解析）（經(jīng)典珍藏版）最近三年+回顧過去最近三年篇（20152017）2015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題 1—8小題．每小題4分，共32分．１．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，其二階導(dǎo)數(shù)的圖形如右圖所示，則曲線在的拐點(diǎn)個數(shù)為（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【詳解】對于連續(xù)函數(shù)的曲線而言，拐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于零或者不存在．從圖上可以看出有兩個二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，以及一個二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．但對于這三個點(diǎn)，左邊的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)都是正的，所以對應(yīng)的點(diǎn)不是拐點(diǎn)．而另外兩個點(diǎn)的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)是異號的，對應(yīng)的點(diǎn)才是拐點(diǎn)，所以應(yīng)該選（C）2．設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解，則 （A） （B）（C） （D）【詳解】線性微分方程的特征方程為，由特解可知一定是特征方程的一個實(shí)根．如果不是特征方程的實(shí)根，則對應(yīng)于的特解的形式應(yīng)該為，其中應(yīng)該是一個零次多項式，即常數(shù)，與條件不符，所以也是特征方程的另外一個實(shí)根，這樣由韋達(dá)定理可得，同時是原來方程的一個解，代入可得應(yīng)該選（A）３．若級數(shù)條件收斂，則依次為級數(shù)的（Ａ）收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn) （Ｂ）收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)(Ｃ）發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn) （Ｄ）發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)【詳解】注意條件級數(shù)條件收斂等價于冪級數(shù)在處條件收斂，也就是這個冪級數(shù)的收斂為，即，所以的收斂半徑，絕對收斂域?yàn)?，顯然依次為收斂點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn)，應(yīng)該選（B）４．設(shè)D是第一象限中由曲線與直線所圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在D上連續(xù)，則（ ） （Ａ）（Ｂ）　　　　（Ｃ）?。ǎ模　驹斀狻糠e分區(qū)域如圖所示，化成極坐標(biāo)方程：也就是D：所以，所以應(yīng)該選（B）．5．設(shè)矩陣，若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件是（A） （B）（C） （D）【詳解】對線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：方程組無窮解的充分必要條件是，也就是同時成立，當(dāng)然應(yīng)該選（D）．6．設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中，若，則在下的標(biāo)準(zhǔn)形為（A） （B）（C） （D） 【詳解】，所以故選擇（A）．7．若為任意兩個隨機(jī)事件，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】所以故選擇（C）．8．設(shè)隨機(jī)變量不相關(guān)，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】故應(yīng)該選擇（D）．二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9． 【詳解】．10． ．【詳解】只要注意為奇函數(shù)，在對稱區(qū)間上積分為零，所以11．若函數(shù)是由方程確定，則 ．【詳解】設(shè)，則且當(dāng)時，所以也就得到12．設(shè)是由平面和三個坐標(biāo)面圍成的空間區(qū)域，則 ．【詳解】注意在積分區(qū)域內(nèi)，三個變量具有輪換對稱性，也就是13．階行列式 ．【詳解】按照第一行展開，得，有由于，得．14．設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則 ．【詳解】由于相關(guān)系數(shù)等于零，所以X，Y都服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立．則．三、解答題15．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，在時為等價無窮小，求常數(shù)的取值．【詳解】當(dāng)時，把函數(shù)展開到三階的馬克勞林公式，得由于當(dāng)時，是等價無窮小，則有，解得，16．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在定義域上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對任意的，曲線在點(diǎn)處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達(dá)式．【詳解】在點(diǎn)處的切線方程為令，得曲線在點(diǎn)處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積為整理，得，解方程，得，由于，得所求曲線方程為17．（本題滿分10分