【正文】 ( ) ( )y P x y Q x???有兩個不同的解 12( ), ( ),y x y x C 為任意常數(shù)，則該方程的通解是（） (A) ? ?12( ) ( )C y x y x? . (B) ? ?1 1 2( ) ( ) ( )y x C y x y x??. (C) ? ?12( ) ( )C y x y x? . (D) ? ?1 1 2( ) ( ) ( )y x C y x y x?? (11) 設(shè) ( , ) ( , )f x y x y?與 均為可微函數(shù)，且 ( , ) 0y xy?? ? ，已知 00( , )xy 是 ( , )f xy 在約束條件 ( , ) 0xy? ? 下的一個極值點，下列選項正確的是（） (A) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . (B) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . (C) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . (D) 若 00( , ) 0xf x y? ? ，則 00( , ) 0yf x y? ? . (12) 設(shè) 12, , , s? ? ? 均為 n 維列向量， A 為 mn? 矩陣，下列選項正確的是（） (A) 若 12, , , s? ? ? 線性相關(guān)，則 12, , , sA A A? ? ?線性相關(guān) . (B) 若 12, , , s? ? ? 線性相關(guān)，則 12, , , sA A A? ? ?線性無關(guān) . (C) 若 12, , , s? ? ? 線性無關(guān)，則 12, , , sA A A? ? ?線性相關(guān) . 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 48 (D) 若 12, , , s? ? ? 線性無關(guān)，則 12, , , sA A A? ? ?線性無關(guān) . (13) 設(shè) A 為 3 階矩陣，將 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再將 B 的第 1 列的 1? 倍加到第 2 列得 C ，記 1 1 00 1 00 0 1P???????，則（） (A) 1C P AP?? . (B) 1C PAP?? . (C) TC P AP? . (D) TC PAP? . (14) 設(shè)隨機變量 X 服從正態(tài)分布 211( , )N?? ，隨機變量 Y 服從正態(tài)分布 222( , )N?? ，且 ? ? ? ?1211P X P Y??? ? ? ? ? 則必有（） (A) 12??? (B) 12??? (C) 12??? (D) 12??? 三、解答題 ： 15－ 23 小題，共 94分 . 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . （ 15）（本題滿分 7 分） 設(shè) ? ? 1 s i n, , 0 , 01 a r c t a nxyy yf x y x yx y x??? ? ? ?? ，求： (Ⅰ ) ? ? ? ?lim ,yg x f x y? ???； (Ⅱ ) ? ?0limx gx??。 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 51 （ 22）（本題滿分 13分） 設(shè)隨機變量 X 的概率密度為 ? ?1 , 1 021 , 0 240,Xxf x x? ? ? ????? ? ??????　 其 他， 令 ? ?2 ,Y X F x y? 為二維隨機變量 ( , )XY 的分布函數(shù)。 （ 18）（本題滿分 11 分） 設(shè)二元函數(shù) 222. 1 .( , ) 1 , 1 2 .x x yf x y xyxy? ???? ? ? ? ?? ?? 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 55 計算二重積分 ( , ) .D f x y d???其中 ? ?( , ) 2D x y x y? ? ?。 （ 22）（本題滿分 11 分） 設(shè) 3 階實對稱矩陣 A 的特征值 1 2 3 11 , 2 , 2 , (1 , 1 , 1 ) T? ? ? ?? ? ? ? ? ?是 A 的屬于 1? 的一個特征向量。 （Ⅱ） a 為何值時，該方程組有唯一解，并求 1x ； （Ⅲ） a 為何值時，方程組有無窮多解，并求通解。 （ Ⅰ ）驗證 1? 是矩陣 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值與特征向量； （ Ⅱ ）求矩陣 B。39。 （ 23）（本題滿分 13分） 設(shè)總體 X 的概率密度為 ? ?, 0 1,。 （ 17）（本題滿分 10分） 證明：當(dāng) 0 ab?? ? ? 時， s i n 2 c o s s i n 2 c o sb b b b a a a a??? ? ? ? ? （ 18）（本題滿分 8 分） 在 xOy 坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線 L 過點 ? ?1,0M ，其上任意點 ? ?? ?,0P x y x? 處的切線斜率與直線 OP 的斜率之差等于 ax （常數(shù) 0a ）。 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 49 （ 16）（本題滿分 7 分） 計算二重積分 2 ddD y xy x y???，其中 D 是由直線 , 1, 0y x y x? ? ?所圍成的平面區(qū)域。 （ Ⅰ ）求 Y 的概率密度 ??Yfy； （ Ⅱ ） Cov( , )XY ； （ Ⅲ ） 1,42F???????。 （ 19）（本題滿分 11 分 ） 設(shè)函數(shù) ()fx， ()gx 在 ? ?,ab 上內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又 ()fa＝ ()ga ，()fb＝ ()gb，證明： （Ⅰ ）存在 ( , ),ab?? 使得 ( ) ( )fg??? ； （ Ⅱ ）存在 ( , ),ab?? 使得 39。記 534B A A E? ? ?，其中 E 為 3 階單位矩陣。 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 62 （ 21）（本題滿分 10分） 設(shè) A 為 3 階矩陣， 12,aa為 A 的分別屬于特征值 1,1? 的特征向量，向量 3a 滿足3 2 3Aa a a??， （Ⅰ）證明 1 2 3,a a a 線性無關(guān)； （Ⅱ）令 ? ?1 2 3,P a a a? ，求 1PAP? . （ 22）（本題滿分 11分） 設(shè)隨機變量 X 與 Y 相互獨立， X 的概率分布為 ? ? ? ?1 1, 0 ,13P X i i? ? ? ?， Y 的概率密度為 ? ? 1 0 10Y yfy ???? ?? 其 它，記 Z X Y?? （Ⅰ）求 1 02P Z X????????； （Ⅱ）求 Z 的概率密度 ()Zfz． （ 23） （本題 滿分 11分） 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 63 設(shè) 12, , , nX X X 是總體為 2( , )N?? 的 簡 單 隨 機 樣 本 . 記11 n iiXXn ?? ?，2211 ()1 n iiS X Xn ???? ?， 2 21T Sn?? . （Ⅰ）證明 T 是 2? 的無偏估計量 . （Ⅱ）當(dāng) 0, 1????時，求 DT . 2020 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、選擇題： 1～ 8小題，每小題 4分，共 32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請把所選項前的字母填在答題紙指定位置上 . （ 1） 函數(shù) 3() sinxxfx x??? 的可去間斷點的個數(shù)為 (A)1. (B)2. (C)3. (D)無窮多個 . （ 2） 當(dāng) 0x? 時， ( ) sinf x x ax?? 與 2( ) ln(1 )g x x bx??是等價無窮小，則 (A) 1a? ， 16b?? . （ B） 1a? ， 16b? . (C) 1a?? ， 16b?? . （ D） 1a?? ， 16b? . 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 64 （ 3） 使不等式1 sin lnx t dt xt ?? 成立的 x 的范圍是 (A)(0,1) . (B)(1, )2? . (C)( , )2?? . (D)( , )??? . （ 4） 設(shè)函數(shù) ? ?y f x? 在區(qū)間 ? ?1,3? 上的圖形為 則函數(shù) ? ? ? ?0xF x f t dt? ?的圖形為 (A) (B) (C) (D) （ 5）設(shè) ,AB均為 2 階矩陣， *,AB? 分 別為 ,AB的伴隨矩陣，若 | | 2,| | 3AB??，則分塊矩陣 OABO??????的伴隨矩陣為 (A) **32OBAO??????. (B) **23OBAO??????. ()fx O 2 3 x 1 2 1 1 ()fx O 2 3 x 1 1 1 ()fx O 2 3 x 1 2 1 1 ()fx O 2 3 x 1 2 1 1 1 ()fx 2 O 2 3 x 1 1 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 65 (C) **32OABO??????. (D) **23OABO??????. （ 6） 設(shè) ,AP均為 3階矩陣， TP 為 P 的轉(zhuǎn)置矩陣，且 1000 1 00 0 2TP AP???????， 若 1 2 3 1 2 2 3( , , ) , ( , , )PQ? ? ? ? ? ? ?? ? ?，則 TQAQ 為 (A) 2 1 01 1 00 0 2??????. (B) 1 1 01 2 00 0 2??????. (C) 2 0 00 1 00 0 2??????. (D) 1000 2 00 0 2??????. （ 7） 設(shè)事件 A 與事件 B互不相容，則 (A) ( ) 0PAB ? . (B) ( ) ( ) ( )P AB P A P B? . (C) ( ) 1 ( )P A P B?? . (D) ( ) 1P A B??. （ 8） 設(shè)隨機變量 X 與 Y 相互獨立，且 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (0,1)N ， Y 的概率分布為1{ 0 } { 1} 2P Y P Y? ? ? ?，記 ()zFZ為隨機變量 Z XY? 的分布函數(shù)，則函數(shù) ()ZFz的間斷點個數(shù) 為 (A) 0. (B)1. (C)2. (D)3. 二、填空題： 9~14小題，每小題 4分，共 24分，請將答案寫在答題紙指定位置上 . （ 9） cos3 20lim 11xxeex?? ??? . （ 10） 設(shè) ()yxz x e?? ，則(1,0)zx? ?? . （ 11） 冪級數(shù)21 ( 1)nnnne xn????? 的收斂半徑為 . （ 12） 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為 ()Q QP? ,其對應(yīng)價格 P 的彈性 ? ? ，則當(dāng)需求量為 10000件時，價格增加 1元會使產(chǎn)品收益增加 元 . 20202020 年考研數(shù)學(xué)三歷年真題及真題解析 66 （ 13） 設(shè) (1,1,1)T?? , (1,0, )Tk?? ，若矩陣 T?? 相似于 3 0 0000000??????，則 k? . (1