【正文】 分別抽出如下的樣本： kGG ,1 ? ),( )( ?ipN ?)1()1(2)1(11, nxxx ?)2()2(2)2(12, nxxx ?)()(2)(1 , knkkkxxx ????? ka ann 1? ??? )()(2)(1 , anaa axxx ?ax? ?? ?? kaniaia xn 1 1)(1x??? aniaiaa xn 1)(1x? ?? ? ???? ka ni a1 1 )( x)(xxxW ( a )i( a )i? ?? ? ???? ka ni aa1 1 )( x)(xxxE ( a )ia( a )i?? ???? ka an1 )( x) ( xxxB ( a )i( a )i W=E+B 當(dāng) K個(gè)總體的均值相等時(shí) , ),1(~ ??nW pW),(~ ?? knW pE),1(~ ??kW pBWEBEE ???? 服從 Wilks Λ分布。 在多元統(tǒng)計(jì)分析中 ， 起到相同作用的是統(tǒng)計(jì)量 和 分布 。 可以證明，當(dāng) 和 時(shí)， Wilks分布可以用 分布近似。 定理 ： ),(~)()( 212 npTxxn ?? ???? ???則相互獨(dú)立和設(shè) ,),(~),(~ ??? ?pp NxnW 當(dāng) 時(shí) ， 服從自由度為 n的 中心 霍特林分布 ，記為 。 p在一元正態(tài)的情形下 ， 我們有樣本的統(tǒng)計(jì)量 當(dāng)總體的方差未知時(shí) ， 我們必須用樣本的方差 來(lái)代替總體的方差 ， 則 那么在多元正態(tài)的情形下 ， 是否有相同的問(wèn)題呢 ？ 回答時(shí)肯定的 。 ),4,3,2,1( ni ??iX)(1)( 0120 ?? ?????????? ? xx0 ?nT? ? )()( 01 ?? ???? ? xx 0 ?n服從自由度為 的卡方分布 。 ),( 1 ?nW p ),( 2 ?nW p21 ?? ? ),( 21 ?nnW p ?（ 2） ， C為 m p階的矩陣，則 的分布為 分布。 2?2? 定理 1：若 ，且 ， ，則 的分布密度為 特別，當(dāng) 和 時(shí)， 服從 分布。 n ),(~ μ?? nW p?? ?? nl ljil XX1???????????????????????????npnnppnpppnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxXXA????????????212222111211212221212111 特別當(dāng) 是 階對(duì)稱陣，則 的分布的下三角部分組成的長(zhǎng)向量 X p X? ??? ??? pppppppp xxxxxxx ,1,1,1222111 ????x 在一元正態(tài)隨機(jī)變量中，我們?cè)?jīng)討論了 分布，在多元 正態(tài)隨機(jī)變量也有類似的樣本分布。 2 樣本分布 一 、 維希特 （ Wishart） 定義 隨機(jī)矩陣的分布 ?????????????npnnppxxxxxxxxx??????212222111211X設(shè)隨機(jī)矩陣 矩陣中的 每一個(gè)元素均為隨機(jī)變量 ，則矩陣 X的分布是其列 向量拉長(zhǎng)，組成一個(gè)長(zhǎng)向量 ? ? 的分布。 1 樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù) ),(~ ??pNx設(shè) ,0?? 則總體的密度函數(shù)為 )]()(21e x p[)2(),( 121221 ??? ????? ??? xxxxxf pp ???X1， X2， …… ， Xn是從總體中抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單 隨機(jī)樣本 ，滿足 X1，X2， …… ， Xn相互獨(dú)立，且同正態(tài)分布 ).,(~ ??pNx設(shè)?????????????????????????????2212222111211nnnppn xxxxxxxxx???????xxxX21稱為 樣本數(shù)據(jù)矩陣 ? ? )]()(21e x p[)( 112 ??? ????? ??? ? iininp2 XX ??)()()()( 21 nXfXfXff ???X)]()(21e x p[)2( 12121 ??? ????? ???? iipni xx ??為 樣本聯(lián)合密度函數(shù) 。 3 實(shí)例分析及 SPSS/CORR 例 1 35家上市公司 2020年報(bào)數(shù)據(jù) ， 考察的 8個(gè)指標(biāo)是： x1： 凈資產(chǎn)收益率 (%) x2： 總資產(chǎn)報(bào)酬率 (%) x3： 資產(chǎn)負(fù)債率 (%) x4： 總資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率 x5： 流動(dòng)資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率 x6： 已獲利息倍數(shù) x7： 銷售增長(zhǎng)率 (%) x8： 資本積累率 (%) 對(duì)這些指標(biāo)進(jìn)行一些相關(guān)分析 。 p1k x,x ?? ix jxkji ?,例 設(shè) X~N6(? ,?)，其協(xié)方差矩陣為，計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)。 1x2x 十二、偏相關(guān)系數(shù) 矩陣 稱為 條件協(xié)方差矩陣 ， 它的元素用 表示 。與所以 1111212 xΣΣxx ??1則給定 時(shí) 的條件分布為 ， 其中 2x 1x ),( 21121 ?? ??kN).μ(xΣΣμμ 2212212121 ??? ??差。 kpk????????21xxx 十、將 作如下的分塊： ?,?xkpk????????21???pkk?????????????22211211則 與 相互獨(dú)立 ， 與 相互獨(dú)立 。 ),(~ I0Nx n ??? Axy ??? Bxz Anp? B nq? pArank ?)( qBra n k ?)(YZ 0??BA))(()c o v ( ???? zzyyzy, EEE?)( ???? BxA x) ( B xAx EEEBxx) ( xxA ????? )( EEEBxA ?? )(V arBAI ??BA ?? 九、設(shè) ， ， ，其中 是 階矩陣， 是 階矩陣， ， ，則 與 相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng) 。 證：必要性 相互獨(dú)立和 21 xx?][ )μx)(μ(xΣ 221112 ???? E?又0Σ 12 ??])μx) E (μE ( xΣ 221112 ????充分性 0?12Σ?????????????1221111Σ00ΣΣ2211 ΣΣΣ ?μ ) ](xΣ)μ(x21 1 ?????? ??? e x p [)2(),( 21221 ppxxxf ??????????????1221111ΣΣΣ]21e x p [)2( 21112/ μ)(xΣ)μ(x 111 11 ?????? ??? k?]21e x p [)2.( 222221222/)( 22 )μ(xΣ)μ(x 1 ????? ???? kp?相互獨(dú)立。（服從維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故是 )2*39。 ),(~ ??pNx x?nxxx , 21 ? ),(~ iipN ??ix ni ,2,1 ??n nkk ,1 ?).,(~1 1 12inininiiipi kNk ?? ? ?? ? ??ix 五 、 設(shè) , ， 相互 獨(dú)立 ，且 ， 則對(duì)任意 個(gè)常數(shù) ， 有 六 、 ， 則 分布 。 2 多元正態(tài)分布的性質(zhì) 二 、 x是一個(gè)服從 p維正態(tài)分布 ， 當(dāng)且僅當(dāng)它的任何 線性函數(shù) 服從一元正態(tài)分布 。 )()( qppr a n k ??A 1?? ??? Auxp 注： 設(shè)隨機(jī)向量 ， 是常數(shù)向量 ， 是一個(gè) 的常數(shù)矩陣 ， 則 服從正態(tài)分布 ， 記為 ， 其中 ),0(~ IqNu ? Aqp* ??? Aux),(~ ??pNx )*( ppAA ???011211102111211110101????????????????????????????????????????????????211110101110101111001AA? 例：設(shè)隨機(jī)向量 ， ， ， 則 的分布是退化的三元正態(tài)分布 。 1 多元正態(tài)分布的定義 一 、 標(biāo)準(zhǔn)多元正態(tài)分布 設(shè)隨機(jī)向量 , 獨(dú)立同分布于 ， 則的 密度函數(shù)為 ),( 21 ?? puuu ?upuuu , 21 ?)1,0(N),( 21 ?? puuuu????????? pi ipinipxxxxxf1222121)21e x p ()2()21e x p (21),( ????????? ix pi ,2,1 ??其中的 均值為 ),( 21 ?? puuu ?u 0),()( 21 ??? pEuEuEuE ?u???????????????2212221212121)()(pppppuuuuuuuuuuuuuuuEV ar??????uuEu 協(xié)方差為 I??????????????111? 二、一般的正態(tài)分布 )]()(21e x p [)2(),( 121221 ??? ??????? ??? xxxxxf pp??????? ix其中 的均值為 ),( 21 ?? pxxx ?x ),()( 21 ?? pE ??? ?x協(xié)方差為 ????????????????????????????22211222222122112211211)())(())(())(()())(())(())(()(pppppppppxxxxxxxxxxxxxxxE??????????????????????),( 21 ?? pxxx ?x稱 服從均值為 E(X)， 協(xié)方差為 ?的正態(tài)分布 。 例 設(shè)隨機(jī)變量 x服從均勻分布 U(0,1),即密度函數(shù) ??? ???其他0101)( xxfx的密度函數(shù)。兩隨機(jī)向量相互獨(dú)立若 0yx ?),(?167。 則 0),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (212221212111?????????