【正文】 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 29 對(duì)于寡頭 1 來(lái)說(shuō)，其問(wèn)題是： ? ? ? ?2 ,1 1 , 2 2 , 2 1 , 2 1 , 2 2 , 2 1 , 2, , 0M a x q q q a q q c q? ? ? ? ? ? 其最優(yōu)化一階條件，有 ? ? ? ?1 , 2 **1 , 2 2 , 2 2 ,11 , 2 110 22d q a q c a q cdq? ? ? ? ? ? ? ? ?， 將
。 在這里，對(duì)寡頭 1 的問(wèn)題是： ? ? ? ?1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1, 0 , 0M a x q q a q c q? ? ? ? ? 對(duì)其進(jìn)行最優(yōu)化一階條件，得到： ? ?1 ,1 *1 ,11 ,1 10 2d q a cdq? ? ? ? ?，其中 0ac?＞ （ 31） 對(duì)于寡頭 2 來(lái)說(shuō)，其問(wèn)題是： ? ? ? ?**2 ,1 1 ,1 2 ,1 2 ,1 1 ,1 2 ,1 2 ,1, , 0M a x q q q a q q c q? ? ? ? ? ? 對(duì)其進(jìn)行最優(yōu)化一階條件，得到： ? ?2 ,1 **2 ,1 1 ,12 ,1 10 2d q a c qdq? ? ? ? ? ? 將（ 31）式代入上式得到： ? ?*2,1 14q a c?? （ 32） 對(duì)于第一期的斯坦克伯格的均衡結(jié)果 ? ?**1,1 2,1,qq 為 ? ? ? ?11,24a c a c????????。 模型分析： （ 1）在第一期，由于寡頭 2 的決策在寡頭 2 的決策之后，所以寡頭 1 只能簡(jiǎn)單的選擇產(chǎn)量 *1,q ，寡頭 2 在觀測(cè)到后自己的產(chǎn)量選擇為 *2,1q 。我們?cè)谶@里引入時(shí)間變量，原來(lái)假定的逆需求函數(shù)將變?yōu)椋? 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 28 ? ?1 1, 2 ,ttP Q a q q? ? ?， 而利潤(rùn)函數(shù)將變?yōu)椋? ? ? ? ?? ?, 1 , 2 , 1 , 1,i t t t tq q q P Q c? ??，其中 1, 2。 在本文中，寡頭 1 的這種慣例就是寡頭 1 依據(jù)函數(shù) ? ?* * *2 ,1 2 ,2 2 , 1, ,..., tS q q q ?對(duì)寡頭 2 在第 t 期將要選擇的產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，為了簡(jiǎn)化難度，我們?cè)谶@里假設(shè)寡頭 1 的在這種慣例選擇為繼承。寡頭 1 對(duì)寡頭 2 在第 t 期將要選擇的產(chǎn)量決策2,tq 的預(yù)期取決于這個(gè)函數(shù) ? ?* * *2 ,1 2 ,2 2 , 1, ,..., tS q q q ?。 （ 2）在決策期間，不考慮生產(chǎn)技術(shù)的改進(jìn)，要求兩個(gè)寡頭有著相應(yīng)的生產(chǎn)技術(shù) [14]。 建立模型，模型的假定條件。隨后，驢子大叫，老虎以為驢子要吃它，嚇得逃走了，可是后來(lái)想一想，又感覺(jué)不對(duì)勁，老虎就會(huì)不斷地繼續(xù)試探，直到驢子踢老虎，老虎才會(huì)覺(jué)得驢子只會(huì)這一項(xiàng)技巧，于是，老虎就會(huì)選 擇自己比驢子強(qiáng)的策略，從而把驢子吃掉。由于老虎并不了解驢子，所以它的做法就是不斷試探，在試探的過(guò)程中，不斷的修正自己對(duì)驢子看法。 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 26 在這一故事里，老虎并沒(méi)有見(jiàn)過(guò)驢子，所以它是不知道自己和驢子究竟誰(shuí) 強(qiáng)誰(shuí)弱。這種方法就是指根據(jù)觀察到現(xiàn)象的相關(guān)特征，并對(duì)這種相關(guān)特征的概率分布的主管判斷來(lái)進(jìn)行修正。并且根據(jù)這種不斷變化的判斷，來(lái)修正或改變自己的判斷。在不完全信息動(dòng)態(tài)博弈開(kāi)始的時(shí)候，某一參與人根據(jù)其 他參與人的不同類型及其所屬類型的概率分布，建立自己的初步判斷。 不完全信息動(dòng)態(tài)博弈的概念及案例 不完全信息動(dòng)態(tài)博弈是指，在動(dòng)態(tài)博弈中，各個(gè)博弈方的行動(dòng)有先后，在不完全信息的條件下，博弈中的每一參與人都可以知道其他參與人的那幾種類型以及各種類型出現(xiàn)的概率，即知道參與人的不同類型與相應(yīng)選擇之間的關(guān)系，但是，參與人并不知道其他參與者具體屬于哪一種類型。當(dāng)然，每一方都知道自己屬于哪一個(gè)派別，但是這一信息別人是不知道的，也就是說(shuō)這是一個(gè)不完全信息博弈的例子。 那么在這個(gè)博弈中，我們假定進(jìn)攻的支付為 1，撤退的支付為 4，很顯然，如果兩國(guó)都選擇進(jìn)攻，就會(huì)發(fā)生戰(zhàn)爭(zhēng)。 不完全信息靜態(tài)博弈是指在博弈中至少有一個(gè)局中人不完全了解另一個(gè)局中人的特征，也就是不知道某一參與人的真實(shí)類型，但是知道每一種類型出現(xiàn)的概率。這樣，我們就有必要對(duì)不完全信息下的博弈進(jìn)行研究。 我們不可否認(rèn)的是，這兩種模型都是建立在理想的情況下得出結(jié)論的，即完天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 24 全信息博弈。比如手機(jī)市場(chǎng)，國(guó)內(nèi)手機(jī)品牌因?yàn)榧夹g(shù)不到位，從而跟風(fēng)某些知名品牌生產(chǎn)，其盈利可想而知。 表 21 多寡頭斯坦克伯格均衡產(chǎn)量、價(jià)格和利潤(rùn) m *sq *fq Tsfq? *s? *f? Tsf?? p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 22 多寡頭斯坦克伯格均衡利潤(rùn)01 3 5 7 9 11 13 15 17 19寡頭數(shù)目均衡利潤(rùn)先動(dòng)寡頭后動(dòng)寡頭 圖 21： 均衡利潤(rùn)表（先動(dòng)寡頭為藍(lán)色線，后動(dòng)寡頭為粉色線） 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 23 多寡頭斯坦克伯格均衡產(chǎn)量0121 3 5 7 9 11 13 15 17 19寡頭數(shù)目均衡產(chǎn)量系列1系列2 圖 22： 均衡產(chǎn) 量表（先動(dòng)寡頭為藍(lán)色線，后動(dòng)寡頭為粉色線） 總結(jié)以上兩種情況，分別研究了一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和多個(gè)追隨者以及多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和多個(gè)追隨者的多寡頭斯坦克伯格博弈模型，分別從均衡產(chǎn)量和均衡利潤(rùn)的角度與多寡頭古諾博弈模型進(jìn)行比較，得出一系列結(jié)論。我們也可以看到，當(dāng)m 從 1增加到 4 時(shí)，先動(dòng)寡頭的利潤(rùn)大于古諾寡頭的利潤(rùn)，當(dāng) m 從 5 開(kāi)始增加時(shí)，先動(dòng)寡頭利潤(rùn)要小于古諾寡頭利潤(rùn)。顯而易見(jiàn)，先動(dòng)寡頭內(nèi)部的激烈競(jìng)爭(zhēng)的加劇從而導(dǎo)致其均衡產(chǎn)量減少，但是仍然大于古諾寡頭的產(chǎn)量；同時(shí)后動(dòng)寡頭的均衡產(chǎn)量先減少后增加，但是總小于古諾寡頭產(chǎn)量。 加入案例分析 具體的例子如下，在這里，我們假定 2 0 , 1 0 , 2 , 1n a b c? ? ? ?，在多寡頭古諾博弈達(dá)到均衡時(shí)，此時(shí)的寡頭產(chǎn)量為 * ? ，總產(chǎn)量為 ，此時(shí)的利潤(rùn)為 * ? ? ，總利潤(rùn)為 ，均衡價(jià)格 * ? ；然而，在多寡頭的斯坦克伯格博弈模型中，先動(dòng)寡頭，后動(dòng)寡頭的產(chǎn)量，利潤(rùn)和均衡價(jià)格見(jiàn)表 1。即 **if??＞ 。又因?yàn)槲覀兛梢缘贸鲈?2nm? 時(shí)， ??hm此時(shí)取到了最大值，又因?yàn)???10h ＞ ，? ?10hn? ＞ 。 0hm＜ 。 2 1 2 1h m m n m n m? ? ? ? ?，所以當(dāng) 1 2nm? ＜ 時(shí)，有 ? ?39。 這是因?yàn)椋? 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 20 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 22**221 , 1 11 1 1isn m m m n a c m n nb n m n m??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ＜ 因此，我們可以得到當(dāng) 4 5 11 2nm ??? ＜ 時(shí)，有 **is??＜ ；當(dāng) 4 5 12nm ??? 時(shí)，此時(shí)有 **is??? ；當(dāng) 4 5 1 12n mn?? ??＜ 時(shí)，有 **is??＞ 。 定理 3：當(dāng)市場(chǎng)程度較低時(shí)，多寡頭下的的古諾寡頭利潤(rùn)要小于斯坦克伯格先動(dòng)寡頭利潤(rùn)；但是，當(dāng)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)程度較高時(shí)，多寡頭下的古諾寡頭利潤(rùn)要大于斯坦克伯格先動(dòng)寡頭利潤(rùn)。同樣可以根據(jù)均衡的產(chǎn)量，可以得到： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?* 01 1 1Ti s f m m n a q q b m n n m? ???? ? ? ? ? ＜ 所以就有 * Ti sfnq ?＜ q 。 定理 2：多寡頭下的古諾各個(gè)寡頭的產(chǎn)量小于斯坦克伯格模型中的先動(dòng)寡頭的產(chǎn)量，但大于斯坦克伯格模型中后動(dòng)寡頭的產(chǎn)量，然而，古諾寡頭的總產(chǎn)量卻小于斯坦克伯格寡 頭的總產(chǎn)量。 接下來(lái)，我們將與之前的多寡頭古諾競(jìng)爭(zhēng)博弈模型進(jìn)行比較，分析在多個(gè)先動(dòng)寡頭，多個(gè)后動(dòng)寡頭情況下，產(chǎn)量和利潤(rùn)的大小關(guān)系。為了方便表述，我們?cè)谶@里引入兩個(gè)值 *1m ， *2m ，其中，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， *1 2nm?，當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， *1 12nm ??或 *1 12nm ??；當(dāng) ? ?*3n k k N??時(shí) ， *2 23nm?，當(dāng) 31nk??時(shí)， *2 213nm ??，當(dāng) 32nk??時(shí)， *2 223nm ??。 和上面分析 1 對(duì) N 的情形類似，我們先分析第二階段，首先給定先動(dòng)寡頭? ?1,...s s m? 的產(chǎn)量決策 sq ，而后動(dòng)寡頭 ? ?1,...,f f m n?? 在看到先動(dòng)寡頭的產(chǎn)量決策 sq 后，我們對(duì)（ 22）式利用最優(yōu)一階條件 0ffq?? ?? 來(lái)確定自己的的最優(yōu)的產(chǎn)量反應(yīng)函數(shù)： 天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 18 11 , 1 , . . . ,1 mfssacq q f m nn m b????? ? ? ????? ??? （ 23） 再來(lái)看第一階段，由于這種博弈屬于完全信息動(dòng)態(tài)博弈，即先動(dòng)寡頭 s 可以知道后動(dòng)寡頭 f 將根據(jù)（ 23）來(lái)選擇自己的最優(yōu)產(chǎn)量決策，因此此時(shí)先動(dòng)寡頭? ?1,...s s m? 的利潤(rùn)函數(shù)為： 1 1 11 1m n ms s s f s ss f m sq a c b q b q q a c b qnm? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ??? ???? ????? ? ? 對(duì)上述式子進(jìn)行最優(yōu)一階條件 0ssq?? ?? ，由此可以得到先動(dòng)寡頭 s 的最優(yōu)產(chǎn)量為： ? ?* , 1, ...,1s acq s mbm???? （ 24） 將（ 24）式代入（ 23）式可以得到后動(dòng)寡頭 f 的最優(yōu)產(chǎn)量為： ? ? ? ?* , 1 , . . . ,11f acq f m nb m n m?? ? ?? ? ? （ 25） 由上面的式子就可以得到多寡頭斯坦克伯格競(jìng)爭(zhēng)博弈的子博弈精煉納什均衡，得到相應(yīng)的廠商利潤(rùn)為： ? ?? ? ? ?2*2 , 1 , . . . ,11sac smb m n m????? ? ? （ 26） ? ?? ? ? ?2*22 , 1 , . . .11fac f m nb m n m??? ? ?? ? ? （ 27） 那么各個(gè)寡頭的總產(chǎn)量和總利潤(rùn)分別為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2**11Ts f s fm m n n a cq m q n m qb m n m?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? （ 28） ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 22**2211Ts f s fm m n n a cm n mb m n m? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? （ 29） 推導(dǎo)相關(guān)定理 接下來(lái)，我們對(duì)上面的方程分析一下，分析先動(dòng)寡頭市場(chǎng)的競(jìng)爭(zhēng)程度對(duì)斯坦克伯格先動(dòng)寡頭和后動(dòng)寡頭的產(chǎn)量和利潤(rùn)的影響情況，即 m 的大小對(duì)其產(chǎn)量和利天津科技大學(xué) 2020 屆本科生畢業(yè)論文 19 潤(rùn)的影響情況。 （ 3）在共有 n 個(gè)寡頭的多寡頭的斯坦克伯格競(jìng)爭(zhēng)博弈中， m 個(gè)寡頭先行動(dòng)，nm? 寡頭后行動(dòng)，并且后動(dòng)寡頭可以觀察到先動(dòng)寡頭的產(chǎn)量決策。 建立模型： （ 1）首先我們?nèi)匀患俣ㄋ泄杨^生產(chǎn)同質(zhì)同類產(chǎn)品，并且其需 求函數(shù)和逆需求函數(shù)都是線性的。我們接下來(lái)討論多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者與多個(gè)追隨者的模型的情況。因此呢，我們可以將這一結(jié)論應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中。領(lǐng)導(dǎo)寡頭均衡產(chǎn)量為 ，均衡利潤(rùn)為 。 加入案例分析 具體算例分析，在這里我們假設(shè)寡頭數(shù)目由 2 逐漸增加到 15，即 n 從 2 逐漸增到 15。根據(jù)上面的（ 14）和（ 111）式，我們可以有： ? ?? ? ? ?? ?22**2 , 2 , . . . , .1 6 1 1is ia c a c inbnbn????? ? ? ???