【正文】 例 （單位：牛） 1f 與 2f 的夾角為 60 ，其中 1f ?（ 2， 0） ，某質(zhì)點在這兩個力的共同作用下，由點 A（ 1， 1） 移動到點 B（ 3， 3） （單位：米） （ 1） 求 1f ； （ 2） 求 1f 與 2f 的合力對質(zhì)點所做的功 分析 :理解向量及向量數(shù)量積的物理意義 ,將物理中的求力和功的問題轉(zhuǎn)化為向量問題解決 . 解 ： ? ?1 2 2 2 0?（ ， ） ， ， 令 （ ）f = f = f = t t12 132 = 222? ? ? ， （ 3 +1 ）t t t2??（ 3 +1， 3 +3）f ? ? ( ) 2 2 3 + 3 3 + 3 2 212? ? ? ? ?2 W = （ ， ） = （ ， ） （ ， ） = 1 2 + 4 3f A B f f 點撥 :學(xué)習(xí)向量要了解向量的實際背景 ,并能用向量的知識解決方一 些簡單的實際問題 . 【反饋練習(xí)】 ， O為坐標原點，已知兩點 A(3, 1)， B(－ 1, 3)， 若點 C滿足 O C O A O B? ? ? ?，其中 ? ， ? ∈ R且 ? +? =1，則點 C的軌跡方程為 x＋ 2y－ 5=0 a,b 是非零向量且滿足（ a－ 2b）⊥ a，（ b－ 2a）⊥ b，則 a 與 b 的夾角是 3? 3. 已知直線 x+y=a 與圓 x2+y2=4 交于 A、 B 兩點 ,且 |OA +OB |=|OA OB |,其中 O第 5 題 為原點 ,則實數(shù) a 的值為 2 或 2 a=(cos ,sin??)，向量 b=( 3, 1? )，則 |2a－ b|的最大值是 4 5．如圖， A B ( 6 , 1 ) , B C ( , ) , CD ( 2 , 3 )? ? ? ? ?xy ， （ 1）若 BC ∥ DA ，求 x 與 y 間的關(guān)系； （ 2） 在（ 1）的條件下， 若有 AC BD? ，求 x,y 的值及四邊形 ABCD的面積 . 解（ 1） ),2,4( ??? yxAD 又 BC ∥ ,DA x ( y 2 ) y ( 4 x ) 0? ? ? ? ? x 2y 0? ? ① （ 2）由 AC ⊥ BD ，得（ x－ 2） (6＋ x)＋ (y－ 3)＞ 0得 t＜－ 1或 t＞ 1. 故 k＝ f(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (－ 1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，－ 1）和（ 1，＋∞） . 點撥 :第 1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標運算分別求得兩個向量的坐標，再利用向量垂直的充要條件；二 是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達到同樣的求解目的（但運算過程大大簡化，值得注意）。(t) ＝ 43 t2－ 43 , 令 k180。 y＝ 0，即－ ka 2＋ t(t2－ 3)b 2＝ 0， ∴ t3－ 3t－ 4k＝ 0,即 k＝41t3－43t (2) 由 (1)知： k＝ f(t) ＝ 41 t3－ 43 t ∴ k180。 y＝ 2 3322 ??t （21t－ 3 k）＋ 2 2323 2 ??t ( 23 t＋ k)＝ 0。 x＝ 2a－ b,y＝ 3b－ a，則 x 與 y 的夾角的余弦值為 2114? 【 范例 導(dǎo)析 】 例 a＝ ( 3 ，－ 1)， b＝ (21 , 23 ). (1) 若存在實數(shù) k 和 t，便得 x＝ a＋ (t2－ 3)b, y＝－ ka＋ tb，且 x⊥ y，試求函數(shù)的關(guān)系式 k＝ f（ t） ； (2) 根據(jù) (1)的結(jié)論，確定 k＝ f(t)的單調(diào)區(qū)間。 點撥 :注意運用不同章節(jié)知識綜合處理問題 ,對于求二次函數(shù)得分最值問題 ,注意分類討論 . 【 反饋練習(xí) 】 1． 已知向量 ( 5,6)a?? ， (6,5)b? ，則 a 與 b （ A） A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 a= 71,22??????b= ?????? 27,21的夾解相等，且模為 1的向量是 4 3 4 3,5 5 5 5? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?或 ( 4 , 6) , (3 , 5 ),O A O B??且 , // ,OC OA AC OB? 則向量 OC 等于 ?????? ?214,72 5( 1 , 2) , ( 2 , 4) , | | 5 , ( ) ,2a b c a b c a c? ? ? ? ? ? ? ?若 則 與 的 夾 角 為120176。 分析 :利用向量的坐標運算轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解 . 解：（ 1） 33c os c os si n si n c os 22 2 2 2??? ? ? ? ?????xxa b x x x ， 2233c o s c o s sin sin2 2 2 2? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?xxa b x o s22c o s22 xx ??? 0 , , 2 c os2???? ? ? ?????x a b x。 b， |a|=|b| ∴ 1cos2abab? ???? ∴ 60?? 第 3 課 向量的坐標運算 【考點 導(dǎo)讀 】 1. 掌握平面向量的正交分解及坐標表示 . 2. 會用坐標表示平面向量的加減及數(shù)乘、數(shù)量積運算 . ,并利用它解決向量平行的有關(guān)問題 . 例 3 D CBA第 2 題 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 1新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/若 OA = )8,2( ， OB = )2,7(? ，則31 AB=( 3, 2)?? 2新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/平面向量 ,ab中，若 (4, 3)??a ， b =1，且 5??ab ，則向量 b = 43( , )55? ( , 1 2 ) , ( 4 , 5 ) , ( , 1 0 )O A k O B O C k? ? ? ?，且 A、 B、 C 三點共線，則 k= 23? (3,1)?a ， ( , 3)??bx ，且 ?ab，則 x? 1 【 范例導(dǎo)析 】 例 ? ? ? ? ? ?3 , 2 , 1 , 2 , 4 ,1? ? ? ?a b c，回答下列問題： （ 1）求滿足 ??a mb nc 的實數(shù) m,n； （ 2）若 ? ? ? ?// 2??a kc b a，求實數(shù) k； （ 3）若 d 滿足 ? ? ? ?//??d c a b，且 5??dc ，求 d 分析 :本題主要考察向量及向量模的坐標表示和向量共線的充要條件 . 解：（ 1）由題意得 ? ? ? ? ? ?1,42,12,3 nm ??? 所以??? ?? ??? 22 34nm nm，得???????9895nm （ 2） ? ? ? ?2,52,2,43 ??????? abkkcka ? ? ? ?? ? 1316,025432 ?????????? kkk （ 3）設(shè) ? ?,d x y? ，則 ? ? ? ?4,2,1,4 ?????? bayxcd 由題意得 ? ? ? ?? ? ? ???? ???? ???? 514 01244 22 yx yx 得??? ???13yx或??? ??35yx∴ ? ? ? ?3, 1 5 3d ?? 或 ， 點 撥 :根據(jù)向量的坐標運算法則及兩個向量平等行的充要條件、模的計算公式，建立方程組求解。 b－ 15 b2=0， 7a2－ 30 a（ 7a5b） =0，（ a－ 4b） b－ 3b2=2|a|2+5a b+|b|2，∴ 2 2 2 102a b a bab ? ? ?? ? ? （ 2）（ 2a－ b） b ；② (2a－ b) ∴ 00( ) | | | | c o s 1 2 0 | | | | c o s 1 2 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ?a b c a c b c a c b c ∴ ( ) 0? ? ?a b c （ 2）∵ | | 1? ? ?ka b c ，即 2| | 1? ? ?ka b c 也就是 2 2 2 2 2 2 2 1? ? ? ? ? ? ? ? ?k a b c k a b k a c b c ∵ 12? ? ? ? ? ? ?a b b c a c，∴ 022 ?? kk 所以 0?k 或 2?k ． 解 :對于有關(guān)向量的長度、夾角的求解以及垂直關(guān)系的判斷通常是運用平面向量的數(shù)量積解決 . 例 ，在直角△ ABC 中，已知 BC a? ，若長為 2a 的線段 PQ 以點 A 為中點，問 BCPQ與 的夾角 ?取 何值時 CQBP? 的值最大？并求出這個最大值新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 分析 :本題涉及向量較多 ,可通過向量的加減法則得 ( ) ( )B P CQ A P A B A Q A C? ? ? ? ?,再結(jié)合直角三 角形和各線段長度特征法解決問題 解： , 0 .A B A C A B A C? ? ? ? , , ,( ) ( )A P A Q B P A P A B CQ A Q A CB P CQ A P A B A Q A C? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 222222()1212c o s .AP AQ AP AC AB AQ AB ACa AP AC AB APa AP AB ACa PQ BCa PQ BCaa ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 2c o s 0 , ( ) , . .2 P Q B C B P CQ a???? ? ? ?故 當 即 與 方 向 相 同 時 最 大 其 最 大 值 為 點撥 :運用向 量的方法解決幾何問題 ,充分體現(xiàn)了向量的工具性 ,對于大量幾何問題 ,不僅可以用向量語言加以敘述 ,而且完全可以借助向量的方法予以證明和求解 ,從而把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的向量運算 . 【 反饋練習(xí) 】 a,b 滿足 1 4 , 2a = , b a b??且 , 則 a 與 b 的夾角為 3? ，在四邊形 ABCD 中， | | | | | | 4 ,A B B D D C? ? ?? ? ? 0,AB BD BD D C? ? ? ?? ? ? ? ???? ???? 4|||||||| DCBDBDAB ，則 ??? ?? ACDCAB )( 的值為 4 a,b 滿足 =1a =b ,a,b 的夾角為 60176。 例 a 、 b 、 c 的模均為 1，它們相互之間的夾角均為 120176。 【 范例導(dǎo)析 】 第 6 題 例 a 與 b 的夾角為 0120 ，若 2 , 3? ? ? ?c a b d b a，試求 c 與 d 的夾角的余弦值。 D C E F A B 例 1 解析：①原式 = ()A B B C CD A C CD A D? ? ? ? ?； ②原式 = ( ) 0D B B D A C A C A C? ? ? ? ?； ③原式 = ( ) ( ) ( ) 0O B O A O C CO A B O C CO A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“數(shù)”和“形”的特點，向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁，在處理向量問題時注意用數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 . 2. 平面向量基本定理是處理向量問題的基礎(chǔ)，也是平面向量坐標表 示的基礎(chǔ)，它表明同一平面內(nèi)任意向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合 . 3. 向量的坐標表示實際上是向量的代數(shù)形式，引入坐標表示，可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決 . 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解決平面幾何及解析幾何中的簡單問題的方法 . 第 1 課 向量的概念及基本運算 【考點 導(dǎo)讀 】 1. 理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示 . 2. 掌握向量的加法、減法、數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義 . 3. 了解平面向量基本定理及其意義 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 ： ① 若 ?ab，則 ?ab； ② 若 A、 B、 C、 D 是不共線的四點， 則 DCAB? 是四邊形為平行四邊形的充要條件； ③ 若 ,??a b b c ，則 ?ac； ④ ?ab的充要條件是 ?ab且 //ab； ⑤ 若 //ab，//bc，則 //ac。從高考新課程卷來看，對向量的考查 力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，將向量與解析幾何、向量與三角等內(nèi)容相結(jié)合，在知識交匯點處命題，既是當今高考的熱點，又是重點?！?的 必要而不充分 條件 ． 3．設(shè) 02x ??? ,且 1 s in 2 s in c o sx x x? ? ?，則 x