圓錐曲線解答題中的定點(diǎn)和定值問(wèn)題的解題策略(解析版)(參考版)
2025-04-03 03:30本頁(yè)面
【正文】 北京高三期末）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，的交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在直線上.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】解：（1）因?yàn)?，橢圓離心率為，所以，解得，.所以橢圓的方程是.（2）①若直線的斜率不存在時(shí)，如圖，因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以直線的方程是.所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以直線的方程是，直線的方程是.所以直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)是.所以點(diǎn)在直線上.②若直線的斜率存在時(shí)，如圖..聯(lián)立方程組消去，整理得.，所以，.所以直線的方程是.令，得.直線的方程是.令，得.所以分子..所以點(diǎn)在直線上.（2021全國(guó)高三專題練習(xí)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)?焦距和短軸長(zhǎng)三者的平方依次成等差數(shù)列，直線與軸的正半軸和軸分別交于點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn)，各點(diǎn)互不重合，且滿足.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的方程為，求的值；（3）若，試證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析，.【詳解】（1）由題意，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，可得，設(shè)焦距為，又由長(zhǎng)軸長(zhǎng)?焦距和短軸長(zhǎng)三者的平方依次成等差數(shù)列，可得，即又因?yàn)?，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由直線的方程為，可得而，設(shè)，因?yàn)?，可得，從而，于是，所以，由，整理得，可得，所?（3）顯然直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，可得，由，可得， 所以，從而，同理，又，∴，聯(lián)立，得，則，且③代入①得，∴，(滿足②)故直線的方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).（2020安徽蚌埠市高三二模（理））已知圓，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與圓相切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2），是曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，記中點(diǎn)為，證明：為定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】解：（1）點(diǎn)在圓內(nèi)，∴圓內(nèi)切于圓，∴，所以點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，從而故點(diǎn)的軌跡的方程為：.（2）設(shè)，若直線斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得：，因?yàn)椋?，?化簡(jiǎn)得：，即，從而，①因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以，在直角中，記原點(diǎn)到直線的距離為，則，由①知，原點(diǎn)到直線的距離為，所以為定值.若直線斜率不存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，解得，由得，即，綜上，為定值.（2021湖北宜昌市高三期末）已知點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別是，直線AP、BP相交于點(diǎn)P，且它們斜率之積是．（1）試求點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）已知直線，過(guò)點(diǎn)的直線（不與x軸重合）與軌跡相交于M．N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)D．求證：直線ND過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.【詳解】（1）設(shè)，由題意得：，化簡(jiǎn)得．又，∴點(diǎn)P的軌跡方程為．（2）方法一：由橢圓的對(duì)稱性知，直線ND過(guò)的定點(diǎn)必在x軸上，由題意得直線MN的斜率不為0，設(shè)，與聯(lián)立消去x得：，恒成立，設(shè)，則，∴，令，∴，∴直線ND過(guò)定點(diǎn)．方法二：由題意可得直線MN的斜率不為0，設(shè)，與聯(lián)立消去x得：，恒成立，設(shè)，則，，∴時(shí)，∴直線ND過(guò)定點(diǎn).（2021廣東高三一模）已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)作直線，與橢圓分別交于點(diǎn)，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；（2）若直線，的斜率之和為，證明：直線的斜率為定值．【答案】（1），離心率為；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題設(shè)，得，①且，②由①②解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓的離心率為．（2）直線的斜率為定值1. 證明：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，記，．設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，并消去得，則，是該方程的兩根，則，即．設(shè)直線的方程為，同理得．因?yàn)椋?，因此直線的斜率為定值．（2021福建高三模擬）橢圓的離心率，在上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為短軸端點(diǎn)，過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)(異于)，：點(diǎn)恒在一定直線
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